第1章 数学理论基础 1
1.1 多面体 1
1.1.1 多面体的定义及概述 1
1.1.2 多面体与分子结构 5
1.1.3 多面体的数学理论 6
1.1.4 多面体的操作 10
1.2 纽结理论 11
1.2.1 纽结理论概述 11
1.2.2 辫子和Seifert表示 14
1.2.3 纽结不变量 14
1.2.4 纽结理论与化学 15
1.3 Seifert构造 15
参考文献 18
第2章 实验背景 22
2.1 DNA纳米技术概述 22
2.2 DNA多面体的化学合成进展 24
2.3 病毒多面体 40
2.4 多面体研究的目的和意义 41
参考文献 42
第3章 扩展的柏拉图多面体及其在化学中的应用 47
3.1 引言 47
3.2 Goldberg构造方法 48
3.3 扩展的十二面体 49
3.3.1 扩展的十二面体的性质 49
3.3.2 扩展的十二面体的生成规律 51
3.3.3 扩展的十二面体的应用 52
3.4 扩展的四面体 54
3.4.1 扩展的四面体的性质 54
3.4.2 扩展的四面体的生成规律 54
3.4.3 扩展的四面体的应用 55
3.5 扩展的六面体 56
3.5.1 扩展的六面体的性质 56
3.5.2 扩展的六面体的生成规律 57
3.5.3 扩展的六面体的应用 57
3.6 扩展的八面体 59
3.6.1 扩展的八面体的性质 59
3.6.2 扩展的八面体的生成规律 59
3.6.3 扩展的八面体的应用 61
3.7 扩展的二十面体 63
参考文献 63
第4章 DNA多面体分子结构的数学分析 66
4.1 DNA多面体链环的研究进展 67
4.1.1 柏拉图多面体链环 67
4.1.2 截角柏拉图多面体链环和阿基米德多面体链环及其手性 71
4.2 DNA多面体的欧拉公式 73
4.2.1 多面体结构的几何规则 73
4.2.2 DNA多面体的欧拉公式的推导 74
参考文献 79
第5章 扩展的柏拉图多面体链环 82
5.1 引言 82
5.2 扩展的四面体链环 83
5.2.1 三分支型 84
5.2.2 顶点扩展型 86
5.2.3 三交叉型 87
5.2.4 星状型 89
5.3 扩展的八面体链环 90
5.3.1 四分支型 90
5.3.2 顶点扩展型 92
5.3.3 四交叉型 93
5.3.4 星状型 94
参考文献 96
第6章 扩展的Goldberg多面体 99
6.1 引言 99
6.2 旋转扩展Goldberg多面体 100
6.3 拉伸扩展Goldberg多面体 102
6.4 稳定性和对称性 104
参考文献 105
第7章 偶数次缠绕的Goldberg多面体链环 107
7.1 引言 107
7.2 构筑方法 108
7.3 第一类多面体链环 109
7.4 第二类多面体链环 112
7.5 链环的拓扑变换 113
参考文献 115
第8章 奇数次缠绕的Goldberg多面体链环 119
8.1 引言 119
8.2 奇数次缠绕 120
8.3 分支算法 121
8.4 多面体链环 122
8.4.1 扩展的Goldberg多面体 122
8.4.2 （3，4）-扩展多面体链环 123
8.4.3 （3，0）-扩展多面体链环 125
参考文献 127
第9章 Goldberg多面体的拓扑变换 131
9.1 引言 131
9.2 Leapfrog富勒烯和（3，8）-富勒烯 132
9.2.1 基本操作 132
9.2.2 球面旋转-顶点分叉 133
9.2.3 球面拉伸-顶点分叉 135
9.3 富勒烯多面体链环 138
9.3.1 纽结算法 138
9.3.2 一些化学应用 139
参考文献 141
第10章 扩展柏拉图多面体链环的表征和描述 145
10.1 引言 145
10.2 定义 146
10.3 计算式 146
10.3.1 一般多面体链环和DNA多面体链环的联系与区别 146
10.3.2 链环三要素的计算式 147
10.4 扩展的柏拉图多面体链环的表征 147
10.4.1 一种扩展的四面体链环[34 64] 148
10.4.2 一种扩展的六面体链环[46 68] 149
10.4.3 一种扩展的八面体链环[38 46] 151
10.4.4 一种扩展的十二面体链环[512 620] 152
10.5 欧拉公式的扩展 154
参考文献 154
第11章 总结与展望 156