第1章 求解方法概述 1
1.1 梁弯曲挠度计算讨论 1
1.1.1 弯曲问题分类理念 1
1.1.2 梁内荷载级数特解 4
1.1.3 梁端外界作用特解 7
1.2 梁弯曲挠度计算的启示 15
1.2.1 广义静定和广义超静定问题分类 15
1.2.2 外界作用格式化 16
1.2.3 微分方程解 18
1.3 级数正交性及函数的级数展开 19
1.4 结语 23
第2章 弹性薄板弯曲 25
2.1 弹性力学的基本方程 25
2.1.1 平衡微分方程 25
2.1.2 几何方程 27
2.1.3 物理方程 28
2.1.4 弹性力学问题解 28
2.2 薄板小挠度弯曲平衡微分方程 29
2.2.1 薄板弯曲计算假定 29
2.2.2 板弯曲平衡微分方程 30
2.3 薄板横截面内力和边界条件 33
2.3.1 横截面内力与挠度w相关式 33
2.3.2 扭矩的等效剪力 35
2.3.3 边界条件 36
2.4 矩形边界薄板弯曲经典解法 39
2.4.1 四边简支板纳维叶解 39
2.4.2 莱维解法 40
2.4.3 经典叠加法 42
2.5 矩形边界薄板弯曲统一解法基本思路 46
2.5.1 广义静定弯曲与广义超静定弯曲分类 46
2.5.2 外界作用连续化、格式化 46
2.5.3 广义静定弯曲求解方法 47
2.5.4 广义超静定弯曲求解方法 52
2.6 四边支承矩形板 52
2.6.1 通解和级数特解 52
2.6.2 边界条件对应的线性方程组 54
2.6.3 线性方程组系数行列式 56
2.6.4 多项式特解 57
2.6.5 通用规则 58
2.7 三边支承、一边非支承矩形板 60
2.7.1 通解和级数特解 61
2.7.2 边界条件对应的线性方程组 62
2.7.3 多项式特解 63
2.8 一对边支承、一对边非支承矩形板 67
2.8.1 通解和级数特解 67
2.8.2 边界条件对应的线性方程组 69
2.8.3 多项式特解 70
2.9 二邻边支承、二邻边非支承矩形板 72
2.9.1 通解和级数特解 72
2.9.2 边界条件对应的线性方程组 74
2.9.3 多项式特解 75
2.10 一边支承、三边非支承矩形板 76
2.10.1 通解和级数特解 77
2.10.2 边界条件对应的线性方程组 79
2.10.3 求解待定系数 79
2.10.4 多项式特解 80
2.11 四边非支承矩形板 85
2.11.1 通解和级数特解 85
2.11.2 边界条件对应的线性方程组 88
2.11.3 求解待定系数 88
2.12 逆向命题验算 91
2.13 结语 96
第3章 平面问题 97
3.1 平面问题基本方程和边界条件 97
3.1.1 两种平面问题 97
3.1.2 平面问题平衡方程 几何方程 物理方程 98
3.1.3 变形协调方程 99
3.1.4 边界条件 101
3.2 平面问题求解理念和方法 103
3.2.1 广义静定问题与广义超静定问题分类 103
3.2.2 外界作用连续化 格式化 103
3.2.3 平面问题解的构成及求解特点 103
3.2.4 广义静定问题求解方法 105
3.2.5 广义超静定问题求解方法 106
3.3 角点力作用应力解 107
3.3.1 角点力作用下角部微元受力特征 107
3.3.2 隔离体平衡法 108
3.3.3 FOy作用应力解 109
3.3.4 FBy作用应力解 111
3.3.5 FAy作用应力解 112
3.3.6 FCy作用应力解 113
3.4 体力作用应力解 114
3.4.1 体力作用格式化 114
3.4.2 求解体力作用应力解 116
3.5 计算边值条件解 121
3.5.1 应力函数解的组成 121
3.5.2 应力函数通解 121
3.5.3 应力函数特解 124
3.5.4 计算边值条件对应的线性方程 125
3.6 四边法向自由平面问题 127
3.6.1 应力函数 128
3.6.2 计算边值条件对应的方程 129
3.6.3 通用规则 132
3.7 一边法向支承平面问题 139
3.7.1 Nxl-Ny2类平面问题应力函数 140
3.7.2 Nxl-Ny2类平面问题计算边值条件对应的方程 141
3.7.3 通用规则 144
3.8 一对边法向支承平面问题 153
3.8.1 Nx4-Ny1类平面问题应力函数 154
3.8.2 Nx4-Ny1类平面问题计算边值条件对应的方程 155
3.9 二邻边法向支承平面问题 163
3.9.1 Nx2-Ny2类平面问题应力函数 164
3.9.2 Nx2-Ny2类平面问题计算边值条件对应的方程 165
3.10 三边法向支承平面问题 171
3.10.1 Nx4-Ny2类平面问题应力函数 172
3.10.2 Nx4-Ny2类平面问题计算边值条件对应的方程 173
3.11 四边法向支承平面问题 179
3.11.1 应力函数 180
3.11.2 计算边值条件对应的方程 181
3.12 结语 187
第4章 弹性薄板自由振动 189
4.1 板自由振动微分方程 189
4.2 无点支承的矩形板 190
4.2.1 基本思路 190
4.2.2 振形曲面 191
4.2.3 振形曲面的正交性 193
4.2.4 降低频率方程行列式阶数 194
4.3 非角点支承的矩形板 203
4.3.1 边界内设有点支座 204
4.3.2 边界上设有点支座 206
4.4 角点支承的矩形板 208
4.4.1 基本思路 209
4.4.2 一边和一角点支承的矩形板 209
4.4.3 利用对称性分析一边和二角点支承的矩形板 212
4.4.4 二邻边和一角点支承的矩形板 216
4.4.5 单角点、多角点支承的四边非支承矩形板 218
4.4.6 四角点支承对称分布的四边非支承矩形板 223
4.5 结语 227
附录A 常见函数的三角级数展开系数 228
A.1 函数在[0，a]区间展开为级数Σm=1，2，…sinαm x、αm=mπ/a 228
A.2 函数在[0，a]区间展开为级数Σm=0，1，…cosαm x、αm=mπ/a 229
A.3 函数在[0，a]区间展开为级数Σm=1，3，…sinλm x、λm=mπ/2a 230
A.4 函数在[0，a]区间展开为级数Σm=1，3，…sinλm x、λm=mπ/2a 231
A.5 函数在[0，b]区间展开为级数Σn=1，2，…sinβn y、βn=nπ/b 232
A.6 函数在[0，b]区间展开为级数Σn=0，1，…cosβn y、βn=nπ/b 233
A.7 函数在[0，b]区间展开为级数Σn=1，3，…sinγn y、γn=nπ/2b 235
A.8 函数在[0，b]区间展开为级数Σn=1，3，…cosγn y、γn=nπ/2b 236
附录B x轴向角点力作用应力解 237
B.1 FOx作用 237
B.2 FBx作用 238
B.3 FAx作用 239
B.4 FCx作用 239
附录C 体力Fy作用应力解 240
C.1 图C.1（a）所示Ny1-Px1类平面问题 241
C.2 图C.1（b）所示Ny1-Px2类平面问题 241
C.3 图C.1（c）所示Ny1-Px3类平面问题 242
C.4 图C.1（d）所示Ny1-Px4类平面问题 242
C.5 图C.1（e）所示Ny2-Px1类平面问题 243
C.6 图C.1（f）所示Ny2-Px2类平面问题 244
C.7 图C.1（g）所示Ny2-Px3类平面问题 244
C.8 图C.1（h）所示Ny2-Px4类平面问题 245
C.9 图C.1（i）所示Ny3-Px1类平面问题 245
C.10 图C.1（j）所示Ny3-Px2类平面问题 246
C.11 图C.1（k）所示Ny3-Px3类平面问题 246
C.12 图C.1（l）所示Ny3-Px4类平面问题 247
C.13 图C.1（m）所示Ny4-Px1类平面问题 247
C.14 图C.1（n）所示Ny4-Px2类平面问题 248
C.15 图C.1（o）所示Ny4-Px3类平面问题 248
C.16 图C.1（p）所示Ny4-Px4类平面问题 249
附录D 试算法确定平面问题特解φ21、φ22 250
D.1 构造规则 250
D.2 构造方法 250
D.3 构造特解φ21x、φ22x 252
D.4 构造特解φ21y、φ22y 255
附录E 振形曲面正交性推导示例 258
E.1 基本方法 258
E.2 由三角函数特性和边界挠度 剪力条件计算R1 260
E.3 由边界弯矩 转角条件计算R1 264
E.4 由三角函数特性和边界挠度 剪力条件计算R2、R3 265
E.5 由边界弯矩 转角条件计算R2.R3 267
附录F 矩形板附加振形推导示例 271
参考文献 273