第三篇 多元函数微积分 3
第七章 多元函数微分学 3
1 多元函数的极限与连续 3
Rn中的点集 3
多元函数 5
多元函数的极限 7
多元函数的连续性 10
有界闭区域上连续函数的性质 12
Rn→Rm的映射（向量值函数） 12
习题 14
2 全微分与偏导数 15
全微分 16
偏导数 16
偏导数与全微分的计算 19
空间曲面的切平面（1） 22
高阶偏导数 23
可微映射 26
空间曲线的切线（1） 28
习题 29
3 链式求导法则 31
多元函数求导的链式法则 31
全微分的形式不变性 37
复合映射的导数 37
坐标变换下的微分表达式 39
习题 41
4 隐函数微分法及其应用 44
一元函数的隐函数存在定理 44
多元函数的隐函数存在定理 46
多元函数组的隐函数存在定理 47
空间曲面的切平面（2） 51
空间曲线的切线（2） 54
习题 57
5 方向导数、梯度 59
方向导数 59
数量场的梯度 62
等值面的法向量 64
势量场 65
习题 66
6 Taylor公式 67
二元函数的Taylor公式 67
n元函数的Taylor公式 71
习题 72
7 极值 72
多元函数的无条件极值 72
函数的最值 78
最小二乘法 80
矛盾方程组的最小二乘解 82
条件极值 85
习题 89
8 空间曲线和曲面的几何特征 91
一元向量值函数的导数 91
空间曲线的弧长 92
空间曲线的曲率和挠率 94
曲面的第一基本形式 98
曲面的第二基本形式 100
曲面的法曲率、平均曲率和Gauss曲率 103
习题 106
第八章 多元函数积分学 107
1 重积分的概念及其性质 107
重积分概念的背景 107
重积分的概念 109
重积分的性质 110
习题 111
2 二重积分的计算 112
直角坐标系下二重积分的计算 112
二重积分的变量代换法 116
极坐标系下二重积分的计算 119
习题 121
3 三重积分的计算及应用 123
直角坐标系下三重积分的计算 123
三重积分的变量代换 126
柱坐标变换和球坐标变换 127
重积分的应用：质心与转动惯量 129
重积分的应用：引力 131
习题 133
4 反常重积分 134
无界区域上的反常重积分 135
无界函数的反常重积分 139
习题 141
5 两类曲线积分 142
第一类曲线积分的概念及性质 142
第一类曲线积分的计算 143
第二类曲线积分的概念及性质 146
第二类曲线积分的计算 148
两类曲线积分的关系 150
习题 150
6 第一类曲面积分 152
曲面的面积 152
第一类曲面积分的概念 155
第一类曲面积分的计算 155
习题 158
7 第二类曲面积分 159
曲面的侧与有向曲面 159
第二类曲面积分的概念及性质 161
第二类曲面积分的计算 163
习题 168
8 Green公式和Stokes公式 169
Green公式 169
Stokes公式 174
习题 179
9 旋度和无旋场 180
环量和旋度 180
无旋场、保守场和势量场 183
原函数 187
习题 190
10 Gauss公式和散度 190
流场的流出量 190
Gauss公式 193
散度 196
Hamilton算符和Laplace算符 199
习题 202
第九章 级数 204
1 数项级数 204
级数的概念 204
级数的基本性质 207
级数的Cauchy收敛准则 209
正项级数的比较判别法 210
正项级数的Cauchy判别法与d'Alembert判别法 214
正项级数的积分判别法 216
任意项级数 218
更序级数 221
级数的乘法 222
习题 224
2 幂级数 227
函数项级数 227
幂级数 228
幂级数的收敛半径 229
幂级数的性质 232
幂级数性质的证明 236
函数的Taylor级数 239
初等函数的Taylor展开 241
习题 249
3 Fourier级数 251
周期为2π的函数的Fourier展开 251
正弦级数和余弦级数 254
任意周期的函数的Fourier展开 256
Fourier级数的收敛性 257
最佳平方逼近 261
习题 263
4 Fourier变换初步 265
Fourier变换和Fourier逆变换 265
Fourier变换的性质 268
习题 272
第四篇 常微分方程 276
第十章 常微分方程 276
1 常微分方程的概念 276
习题 279
2 一阶常微分方程 279
变量可分离方程 280
齐次方程 283
全微分方程 286
线性微分方程 289
Bernoulli方程 292
数学建模 294
一阶微分方程的数值解法 300
习题 302
3 二阶线性微分方程 305
二阶线性微分方程 305
线性微分方程的解的结构 306
二阶常系数齐次线性微分方程 310
二阶常系数非齐次线性微分方程 313
用常数变易法解二阶非齐次线性微分方程 319
Euler方程 321
习题 324
4 可降阶的高阶微分方程 326
方程形式为F（x,y（n））=0 327
方程形式为F（x,y（k），y（k+1），…，y（n））=0 329
方程形式为F（y,y′，y″，…，y（n））=0 333
习题 336
5 微分方程的幂级数解法 337
习题 342
6 一阶线性微分方程组 343
解的存在与唯一性 343
一阶线性微分方程组的解的结构 345
常系数一阶线性微分方程组的一些解法 349
习题 357
第五篇 概率论与数理统计 360
第十一章 概率论 360
1 概率 360
随机事件 360
事件之间的关系与运算 362
概率的概念 363
古典概率 364
几何概率 366
概率的公理化定义与概率的性质 367
习题 372
2 条件概率与事件的独立性 374
条件概率 374
全概率公式和Bayes公式 376
事件的独立性 379
Bernoulli概型 382
习题 383
3 一维随机变量 385
随机变量的概念 385
离散型随机变量 387
连续型随机变量 392
习题 401
4 二维随机变量 404
二维随机变量 404
二维离散型随机变量 405
二维连续型随机变量 407
随机变量的相互独立性 411
随机变量函数的分布 413
习题 419
5 随机变量的数字特征 423
数学期望 423
随机变量的函数的数学期望 426
方差和标准差 428
几种常见分布的数学期望和方差 430
协方差与相关系数 434
分位数与中位数 440
习题 441
6 大数定律和中心极限定理 444
ЧебЫШёв不等式 445
大数定律 446
中心极限定理 449
习题 453
第十二章 数理统计 455
1 样本与抽样分布 455
总体与样本 455
直方图 457
统计量 459
三个重要分布 461
抽样分布 465
习题 468
2 参数估计 469
点估计 469
矩估计法 470
最大似然估计法 472
估计量优劣的评判标准 475
区间估计 479
习题 486
3 假设检验 489
假设检验的基本概念 489
单个正态总体均值与方差的假设检验 490
两个正态总体的均值差与方差比的假设检验 494
总体分布的假设检验 497
习题 501
4 一元线性回归分析 504
一元线性回归分析的数学模型 504
回归函数的确定 506
估计量的分布 508
回归系数的区间估计 510
线性假设的显著性检验 510
预测和控制 513
习题 516
附表1 Poisson分布表 518
附表2 标准正态分布数值表 521
附表3 x2分布的上侧分位数表 523
附表4 t分布的上侧分位数表 525
附表5 F分布的上侧分位数表 526
部分习题答案与提示 533