第一章 预备知识 1
第一节 微分方程的相关概念与分类 1
一、微分方程的相关概念 1
二、微分方程的分类 2
第二节 数值分析的工具 3
本章要求及小结 6
习题一 6
第二章 常微分方程的数值解法 7
第一节 欧拉（Euler）方法 8
一、欧拉方法 8
二、梯形方法 9
三、改进的欧拉方法 11
第二节 误差分析的相关概念 12
一、局部截断误差与相容性 12
二、稳定性 13
三、收敛性 14
四、收敛阶的数值意义 15
第三节 龙格-库塔（Runge-Kutta）方法 15
一、泰勒级数方法 16
二、龙格-库塔方法 17
第四节 线性多步法 20
一、线性多步法 21
二、阿当姆斯方法 24
三、预估—校正方法 26
第五节 一阶方程组及高阶方程初值问题的解法 27
一、一阶方程组初值问题的解法 27
二、高阶方程初值问题的解法 29
第六节 两点边值问题的解法 30
一、打靶法求解两点狄利克雷边值问题 30
二、打靶法求解两点混合边值问题 32
三、差分法求解两点狄利克莱边值问题 33
四、差分法求解两点混合边值问题 36
第七节 高精度算法 39
一、理查德森（Richardson）外推法 39
二、紧差分方法 42
本章参考文献 43
本章要求及小结 43
习题二 44
第三章 抛物型偏微分方程的有限差分法 46
第一节 向前欧拉方法 46
一、向前欧拉格式 46
二、向前欧拉格式解的存在唯一性、稳定性和收敛性分析 48
三、数值算例 52
第二节 向后欧拉方法 55
一、向后欧拉格式 55
二、向后欧拉格式解的存在唯一性、稳定性和收敛性分析 57
三、数值算例 57
第三节 Crank-Nicolson方法 60
一、理查德森差分格式 61
二、Crank-Nicolson差分格式 65
三、Crank-Nicolson格式解的存在唯一性、稳定性和收敛性分析 67
四、数值算例 68
第四节 高精度算法 69
一、理查德森外推法 70
二、紧差分方法 76
第五节 混合边界条件下的差分方法 80
一、几种差分格式的建立 81
二、差分格式稳定性的讨论 84
三、数值算例 87
第六节 二维抛物型方程的交替方向隐格式 89
一、向前欧拉格式 90
二、Crank-Nicolson格式 91
三、交替方向隐（ADI）格式 94
四、关于添加辅助项的说明 97
五、数值算例 100
第七节 二维抛物型方程的紧交替方向隐式方法 101
一、二维紧差分格式 101
二、紧交替方向隐格式 103
三、紧ADI格式的收敛性分析 105
四、数值算例 105
本章参考文献 106
本章要求及小结 107
习题三 107
第四章 双曲型偏微分方程的有限差分法 110
第一节 一阶双曲型方程的若干差分方法 110
一、精确解所具有的波的传播性质及对初值的局部依赖性 110
二、迎风格式 111
三、一个完全不稳定的差分格式 113
四、蛙跳（Leapfrog）格式 113
五、Lax-Friedrichs格式 115
六、Lax-Wendroff格式 116
七、Beam-Warming格式 116
八、隐格式的设计 117
九、Courant-Friedrichs-Lewy条件 118
十、数值算例 119
十一、推广 120
第二节 二阶双曲型方程的显式差分法 122
一、三层显差分格式的建立 122
二、显格式的稳定性、收敛性分析 123
三、改进的三层显格式 126
四、数值算例 127
第三节 二阶双曲型方程的隐式差分法 128
一、隐差分格式的建立 128
二、隐格式的稳定性、收敛性分析 130
三、数值算例 131
第四节 二阶双曲型方程的紧差分方法 131
一、紧差分格式的建立 131
二、紧差分格式的稳定性、收敛性分析 133
三、数值算例 135
第五节 二维双曲型方程的交替方向隐格式 135
一、显差分格式 135
二、交替方向隐格式 137
三、交替方向隐格式的稳定性、收敛性分析 140
四、二维抛物型方程交替方向隐格式的稳定性 142
五、数值算例 142
第六节 二维双曲型方程的紧交替方向隐式方法 143
一、二维紧差分格式 143
二、紧交替方向隐格式 145
三、紧交替方向隐格式的稳定性、收敛性分析 146
四、二维抛物型方程紧交替方向隐格式的稳定性 148
五、数值算例 148
本章参考文献 149
本章要求及小结 150
习题四 150
第五章 椭圆型偏微分方程的有限差分法 155
第一节 五点菱形差分方法 155
一、五点菱形格式 155
二、五点菱形格式的收敛性分析 159
三、数值算例 162
第二节 九点紧差分方法 162
一、九点紧差分格式 163
二、九点紧差分格式的收敛性分析 165
三、数值算例 170
第三节 混合边界条件下的差分方法 170
一、二阶差分格式 171
二、差分格式的收敛性分析 176
三、数值算例 176
本章参考文献 177
本章要求及小结 177
习题五 177
第六章 有限元法简介 182
第一节 一个引例 182
一、常微分方程两点边值问题的等价形式 182
二、模型问题的有限元法 184
三、有限元法的编程 185
四、有限元法的收敛性分析 188
五、数值算例 189
第二节 变分原理与弱解 190
一、原问题的等价变分形式 191
二、Lax-Milgram定理 192
第三节 有限元空间的构造 194
一、对区域Ω的剖分 194
二、三角形一次元 194
三、一次元的基函数与面积坐标 195
四、三角形二次元及其基函数 196
第四节 有限元法的实现 198
一、单元刚度矩阵及单元荷载 198
二、总刚度矩阵和总荷载的合成 199
三、边界条件的处理 200
四、数值算例 200
第五节 抛物型方程初边值问题的有限元方法 201
一、原方程的变分形式 201
二、用有限元法进行空间半离散 202
三、用差分法进行时间全离散 203
四、相关量的数值计算 203
五、编程时的一些说明 204
六、数值算例 204
本章参考文献 205
本章要求及小结 205
习题六 205
附录A 二阶线性偏微分方程的变换与分类 207
附录B 四阶龙格-库塔方法的推导 212
附录C 解线性方程组的迭代法 217