第一章 量纲分析 1
第二章 量纲分析的基本概念和Π定理 3
2.1 量纲 3
2.2 量纲的幂次律 5
2.3 量纲一致性定律 7
2.4 Π定理 7
2.5 量纲分析的6步法 8
2.6 量纲分析的难点 9
2.7 一些常用的无量纲量 10
第三章 量纲分析的经典问题 13
3.1 肥皂泡中的压强问题 13
3.2 机翼的升力问题 15
3.3 管中的流动摩擦阻力问题 18
3.4 Rayleigh低速绕流换热问题 20
3.5 弹性线在拉紧状态下的振动频率问题 21
3.6 单摆的振动周期问题 22
第四章 量纲分析的扩展 23
4.1 定向量纲 23
4.1.1 炮弹的水平距离问题 24
4.1.2 弹性线的振动能量问题 25
4.1.3 弹性圆球的接触问题 26
4.2 量纲分析的不完全相似问题 27
第五章 相似论 29
5.1 相似论的基本概念 29
5.2 弹性梁的挠度 31
5.3 相似变量 32
第六章 量纲分析和相似论的应用 35
6.1 破甲弹金属射流的稳定性问题 35
6.2 薄板在高速射流冲击下的撕裂问题 39
6.3 固体的断裂问题 42
6.4 航天器液体推进剂的晃动问题 43
6.5 海面原油泄漏的扩展问题 45
6.6 风吹声问题 47
6.7 不可压各向同性湍流的标度律 48
6.8 可压缩湍流的能谱标度律初探 51
6.8.1 对应速度场u的可压缩湍流能谱 52
6.8.2 对应υ=ρ1/3u的可压缩湍流能谱 53
6.9 湍流噪声问题 54
6.9.1 Lighthill U8标度律 54
6.9.2 超音速功率的实测标度律 55
6.9.3 湍流噪声的统一标度律 55
6.9.4 结论 57
6.10 点源强爆炸问题 57
6.11 沙漠治理中草方格的障沙问题 60
6.11.1 草方格 60
6.11.2 草方格的空气动力学分析 61
6.11.3 草方格的量纲分析 62
6.11.4 结论 64
6.12 考虑温度变化时微机电系统陀螺仪的标度律 64
6.13 水力压裂问题 66
6.13.1 水力压裂的量纲分析 66
6.13.2 不同情况的简化 68
6.13.3 时间效应 68
6.13.4 结论 69
6.14 高超声速的相似律 69
6.14.1 高超声速的微分方程 69
6.14.2 二维流动的相似律 70
6.14.3 轴对称流动 73
第七章 群论基本概念 75
7.1 群的定义 76
7.2 Lie群的创立和传播 78
第八章 Lie群分析的基本概念 81
8.1 3个微分方程求解实例 82
8.2 单参数Lie群和Lie级数 85
8.3 无穷小生成元 87
8.4 正则坐标 88
8.5 不变性或对称性 89
8.6 无穷小生成元的延拓和对称性 89
第九章 微分方程的对称性和Lie群对称性决定方程 95
9.1 一阶微分方程的决定方程 96
9.2 二阶微分方程的决定方程 97
9.3 特征线法和不变量 102
9.3.1 特征线法 102
9.3.2 不变量 104
9.4 无穷小生成元一次延拓的不变量 105
9.5 无穷小生成元二次延拓的不变量 106
第十章 Lie代数 109
10.1 Lie代数 109
10.2 可解Lie代数 112
第十一章 二阶微分方程的求解 115
11.1 正则变量方法 115
11.2 Lie群求解微分方程的5步法 116
第十二章 偏微分方程的Lie群对称方法 121
第十三章 泛函的Lie群对称性和Noether守恒律 125
13.1 泛函变分的Lie群对称性 125
13.2 多变量情况下的导数和全导数 127
13.3 Noether守恒律 129
13.4 Ibragimov守恒律 135
第十四章 Lie群对称方法的外微分形式 139
14.1 微分形式简介 139
14.2 微分方程的微分形式 141
14.3 微分方程对称的微分形式 141
第十五章 Lie群对称方法的软件系统 143
15.1 Mathematica 143
15.2 Maple 144
第十六章 Lie群的应用 147
16.1 传热问题 147
16.2 平板大挠度的von Kármán方程 150
16.3 二维平行剪切流的线性稳定Orr-Sommerfeld方程的Lie群对称性分析 152
16.4 无黏流体的Euler方程的Lie群对称性分析 152
16.5 黏性流体的Navier-Stokes方程的Lie群对称性分析 157
16.6 一般非线性Burgers方程的精确解 158
16.6.1 Lie群对称无穷小生成元 158
16.6.2 Lie代数和Lie群 160
16.6.3 精确解和通解 161
16.6.4 精确相似解 162
16.7 反应扩散方程的Lie群对称性分析和求解 164
16.7.1 式（16.103）的Lie群对称性分析 164
16.7.2 守恒律 166
16.7.3 精确解 167
16.8 弹性力学的Noether守恒律 169
16.8.1 弹性力学势能的Noether守恒律 169
16.8.2 弹性余能的Noether守恒律 170
16.9 二维流体边界层方程的Lie群对称性分析 171
16.10 不可压流体的湍流问题 175
第十七章 量纲理论与Lie群 177
17.1 多参数拉伸群 177
17.2 量纲理论 178
参考文献 181
结束语 187