第1章 函数、极限与连续 1
1.1 函数 1
1.1.1 预备知识 1
1.1.2 函数的概念 2
1.1.3 函数的几种特性 5
1.1.4 反函数 7
1.1.5 初等函数 8
习题1.1 13
1.2 数列的极限 14
1.2.1 数列的定义 14
1.2.2 数列极限的概念 14
1.2.3 数列极限的四则运算 16
习题1.2 16
1.3 函数的极限 17
1.3.1 当x→∞时函数的极限 17
1.3.2 当x→x0时函数的极限 18
1.3.3 当x→x0时函数的左极限与右极限 20
习题1.3 21
1.4 无穷小与无穷大 21
1.4.1 无穷小 21
1.4.2 无穷大 22
1.4.3 无穷小的比较 23
习题1.4 24
1.5 极限的运算法则 25
1.5.1 极限的四则运算法则 25
1.5.2 当x→x0时有理分式函数的极限 25
1.5.3 当x→∞时有理分式函数的极限 26
1.5.4 特例 27
习题1.5 27
1.6 两个重要极限 28
1.6.1 极限存在的两个准则 28
1.6.2 两个重要极限 28
1.6.3 利用等价无穷小代换求极限 31
习题1.6 33
1.7 函数的连续性 33
1.7.1 函数的连续性 33
1.7.2 初等函数的连续性 35
1.7.3 函数的间断点 36
1.7.4 闭区间上连续函数的性质 38
习题1.7 39
复习题1 40
第2章 导数与微分 43
2.1 导数的概念 43
2.1.1 引出导数概念的实例 43
2.1.2 导数的定义 44
2.1.3 基本初等函数求导公式 47
2.1.4 导数的几何意义 49
习题2.1 50
2.2 导数的四则运算法则 51
习题2.2 53
2.3 复合函数的求导法则 54
习题2.3 56
2.4 特殊函数求导法和高阶导数 57
2.4.1 隐函数及其求导法 57
2.4.2 对数求导法 58
2.4.3 由参数方程所确定的函数的导数 59
2.4.4 高阶导数 60
习题2.4 62
2.5 函数的微分 63
2.5.1 微分的定义 63
2.5.2 微分的几何意义 65
2.5.3 微分公式与微分法则 66
2.5.4 微分的应用 69
习题2.5 70
复习题2 71
第3章 中值定理与导数的应用 73
3.1 中值定理 73
习题3.1 75
3.2 洛必达法则 75
3.2.1 0/0型和∞／∞型不定式的极限 76
3.2.2 其他类型的不定式 78
习题3.2 79
3.3 函数的单调性 80
习题3.3 83
3.4 函数的极值 83
3.4.1 函数极值的概念 83
3.4.2 函数极值的判定和求法 84
习题3.4 87
3.5 函数的最大值与最小值 87
3.5.1 函数最值的求法 88
3.5.2 几何应用问题 89
习题3.5 91
3.6 利用导数研究函数图像 91
3.6.1 函数图像的凹凸性与拐点 91
3.6.2 函数图像的描绘 93
习题3.6 95
复习题3 96
第4章 不定积分 98
4.1 不定积分的概念与性质 98
4.1.1 不定积分的概念 98
4.1.2 不定积分的性质 101
4.1.3 不定积分的几何意义 104
习题4.1 105
4.2 换元积分法 106
4.2.1 第一类换元法 106
4.2.2 第二类换元法 110
习题4.2 114
4.3 分部积分法 115
习题4.3 119
4.4 简单有理函数的积分 119
4.4.1 简单有理函数的积分 119
4.4.2 三角函数有理式的积分 121
习题4.4 122
复习题4 123
第5章 定积分及其应用 125
5.1 定积分的定义及性质 125
5.1.1 引例 125
5.1.2 定积分的定义 127
5.1.3 定积分的几何意义 128
5.1.4 定积分的基本性质 129
习题5.1 131
5.2 牛顿-莱布尼茨公式 132
5.2.1 变上限的定积分及其导数 132
5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式 134
习题5.2 136
5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 136
5.3.1 定积分换元法 137
5.3.2 定积分的分部积分法 139
习题5.3 140
5.4 无穷区间上的广义积分 141
习题5.4 142
5.5 定积分的应用 143
5.5.1 定积分的微元法 143
5.5.2 平面图形的面积 144
5.5.3 旋转体的体积 146
5.5.4 平行截面面积已知的立体的体积 148
5.5.5 定积分应用举例 149
习题5.5 151
复习题5 152
第6章 二元微积分初步 155
6.1 空间解析几何简介 155
6.1.1 空间直角坐标系 155
6.1.2 空间任意两点间的距离 155
6.1.3 曲面与方程 156
习题6.1 158
6.2 二元函数及其极限与连续 159
6.2.1 二元函数的概念 159
6.2.2 二元函数的极限 160
6.2.3 二元函数的连续性 161
习题6.2 162
6.3 二元函数的偏导数 162
6.3.1 二元函数的一阶偏导数 162
6.3.2 二元函数的二阶偏导数 165
习题6.3 166
6.4 二元函数的全微分 166
6.4.1 全微分的概念 166
6.4.2 全微分在近似计算中的应用 168
习题6.4 169
6.5 二重积分的概念与性质 169
6.5.1 二重积分的概念 169
6.5.2 二重积分的性质 172
习题6.5 173
复习题6 174
第7章 常微分方程 175
7.1 微分方程的基本概念 175
习题7.1 177
7.2 可分离变量的微分方程 178
7.2.1 可分离变量的微分方程 179
7.2.2 可分离变量的微分方程的解法 179
习题7.2 181
7.3 齐次微分方程 181
7.3.1 齐次微分方程的概念 181
7.3.2 齐次方程的解法 182
习题7.3 184
7.4 一阶线性微分方程 185
7.4.1 一阶线性微分方程的概念 185
7.4.2 齐次线性方程的解法 185
习题7.4 187
附录A 微积分发展简史 188
附录B 初等数学常用公式 193
附录C 习题参考答案 197
参考文献 211