第1章 随机徘徊和随机过程的概念 1
1.1 简单随机徘徊模型与随机过程的概念 1
1.1.1 简单随机徘徊的均值、方差以及协方差 2
1.1.2 随机过程的定义和独立增量过程 2
1.2 随机徘徊的变种 4
1.2.1 具有吸收壁的简单随机徘徊 4
1.2.2 具有反射壁的简单随机徘徊 5
习题 5
第2章 泊松过程 7
2.1 泊松过程 7
2.1.1 泊松过程——模型和普适性 7
2.1.2 泊松过程在随机选取下的不变性 12
2.2 非时齐泊松过程 13
2.2.1 非时齐泊松过程在随机选取下的不变性 13
2.2.2 具有有界强度函数的非时齐泊松过程的随机模拟 14
2.3 复合泊松过程与条件泊松过程 14
2.3.1 复合泊松过程 14
2.3.2 条件泊松过程 15
习题 16
第3章 离散时间马尔可夫链 20
3.1 离散时间马尔可夫链的概念与统计分布 20
3.1.1 马尔可夫链及其转移概率矩阵 20
3.1.2 马尔可夫链的例子 21
3.1.3 n步转移概率、Chapman-Kolmogorov方程与主方程 24
3.2 离散时间马尔可夫链的遍历极限及不变概率分布（平稳分布） 26
3.2.1 马尔可夫链的状态分类、常返性与正常返性 26
3.2.2 马尔可夫链转移概率的遍历极限与不变分布 31
3.2.3 正常返状态的平均返回时间与不变概率分布 34
3.3 可逆马尔可夫链 35
3.3.1 马尔可夫链的可逆性及其等价条件 35
3.3.2 网络的设施规模设计 38
3.3.3 玻尔兹曼原理、有限格点上的Ising模型及其Glauber动力学 39
3.3.4 神经网络的随机动力学模型——玻尔兹曼机与Hopfield反馈神经网络 40
3.4 马尔可夫链及其遍历极限定理的应用 40
3.4.1 系统的时间平均与空间平均 40
3.4.2 Google搜索引擎的效率排序评估的Page算法 41
3.4.3 简单分支链 42
3.4.4 马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）算法 42
3.4.5 高阶马尔可夫链 45
3.4.6 隐马尔可夫模型（HMM） 47
3.5 马尔可夫链的初达时分布、禁忌概率与环流 48
3.5.1 初达时与禁忌转移概率 48
3.5.2 环流分布 49
习题 51
第4章 连续时间马尔可夫链 58
4.1 连续时间马尔可夫链及其转移矩阵 58
4.1.1 连续时间马尔可夫链的定义及等价性描述 58
4.1.2 连续时间马尔可夫链的概率转移矩阵 59
4.2 由转移速率矩阵确定连续时间马尔可夫链的转移矩阵 62
4.2.1 Kolmogorov方程及主方程 63
4.2.2 转移速率矩阵的概率含义 64
4.2.3 Gillespie算法（Gillespie过程）——由转移速率矩阵生成马尔可夫链的样本的随机模拟方法 64
4.3 连续时间马尔可夫链的极限分布和不变概率分布 65
4.3.1 连续时间马尔可夫链的极限分布 65
4.3.2 连续时间马尔可夫链转移矩阵的不变概率分布与嵌入链的不变概率分布的关系 65
4.3.3 可逆的连续时间马尔可夫链 66
4.4 禁忌概率 67
4.5 连续时间马尔可夫链的应用与建模的案例 67
4.5.1 系统与有效度 68
4.5.2 酶催化反应、化学反应的主方程与其简化马尔可夫链 71
4.5.3 生灭类过程 73
4.5.4 连续时间简单分支过程 75
4.6 加速收敛的均匀化方法 76
习题 77
第5章 布朗运动与扩散过程 81
5.1 高斯过程的定义 81
5.2 布朗运动模型 83
5.2.1 直观推导 83
5.2.2 布朗运动的数学模型 84
5.2.3 布朗运动的联合分布密度 85
5.2.4 用随机徘徊近似布朗运动 85
5.3 布朗运动的性质 86
5.3.1 简单性质 86
5.3.2 布朗运动的反射原理、首达性质与最大值分布 87
5.4 布朗运动的简单推广 90
5.4.1 吸附布朗运动 90
5.4.2 0点的反射布朗运动 90
5.4.3 积分布朗运动 91
5.4.4 漂移布朗运动 91
5.4.5 几何布朗运动 91
5.4.6 布朗桥 92
5.5 Ito随机积分——对布朗运动的积分 92
5.6 随机微分方程 98
5.7 扩散过程 101
习题 103
第6章 时间序列 105
6.1 平稳性与宽平稳性 105
6.2 ARMA模型 107
6.3 AR模型的定阶、偏相关系数与模型参数的估计 108
6.3.1 偏相关系数的定义 108
6.3.2 偏相关系数的求法 108
6.3.3 用样本数据拟合AR模型的阶 109
6.3.4 AR（p）的自回归系数（a1，…，ap）的估计 110
6.3.5 残差方差的估计 110
6.4 MA模型的定阶与模型参数的估计 110
6.5 ARMA模型的定阶、参数估计与新息序列 111
6.5.1 定阶与参数估计 111
6.5.2 ARMA模型的预报问题与新息序列 112
6.6 ARCH模型 113
6.7 GARCH模型 114
6.8 Kalman Bucy滤波 115
6.8.1 Kalman Bucy滤波简介 115
6.8.2 Kalman Bucy模型与滤波的一般形式 116
习题 118
第7章 泊松点过程 120
7.1 点过程与泊松点过程 120
7.1.1 从点过程视角看泊松过程 120
7.1.2 非时齐泊松点过程 121
7.1.3 非时齐泊松点过程的随机模拟 124
7.2 非时齐泊松点过程泛函的统计特征 124
7.3 非时齐泊松点过程的似然函数和强度函数参数的最大似然估计 126
习题 128
第8章 鞅和金融模型 130
8.1 鞅列 130
8.1.1 鞅列的定义 130
8.1.2 鞅列的例子 131
8.1.3 关于随机序列的停时和鞅列的选样定理 132
8.2 随机徘徊的应用——金融中的二叉模型 136
8.2.1 基本概念 136
8.2.2 二叉模型下的欧式未定权益的定价 137
8.2.3 二叉模型的美式未定权益 140
8.3 金融证券的Black-Scholes模型的欧式未定权益与定价 144
8.3.1 Black Scholes偏微分方程的推导 145
8.3.2 Black Scholes偏微分方程的求解 146
8.4 连续时间的鞅和金融衍生证券定价的一般方法 147
8.4.1 连续时间的鞅 147
8.4.2 欧式未定权益定价的风险中性概率方法 148
8.4.3 倒向随机微分方程方法 150
8.4.4 时变的Black-Scholes模型 151
8.5 Black-Scholes模型用二叉模型近似 151
8.6 随机利率与债券利率的期限结构 153
8.6.1 s-零息债券 153
8.6.2 零息债券导出的各种随机利率概念 153
8.6.3 资产定价基本定理与利率衍生证券 155
8.6.4 短期利率的风险中性模型 156
习题 157
第9章 风险问题的破产模型 160
9.1 复合泊松风险模型 160
9.1.1 最大累计损失 162
9.1.2 调节系数和破产概率的界 166
9.1.3 混合指数理赔 169
9.2 离散时间模型 172
9.2.1 复合泊松理赔的离散模型的调节系数和连续模型的调节系数的关系 172
9.2.2 调节系数的近似公式 173
习题 174
附录A 概率论的简要复习 176
附录B 随机变量的样本（随机数）的生成 187
参考文献 192
名词索引 193