第一篇 微积分 1
第一章 函数 极限 连续 1
考点与要求 1
1 函数 1
内容精讲 1
一、定义 1
二、重要性质、定理、公式 4
例题分析 5
一、求复合函数的定义域 5
二、由函数的奇偶性与周期性构造函数 5
三、求分段函数的复合函数的表达式 6
四、求反函数的表达式 7
五、关于函数有界（无界）的讨论 8
2 极限 9
内容精讲 9
一、定义 9
二、重要性质、定理、公式 10
三、计算极限的一些有关方法 11
例题分析 13
一、求函数的极限 14
二、已知某极限，求其中的某些参数，或已知两个无穷小为同阶、等价或高阶，求某些参数 20
三、已知某些极限求另一些极限 25
四、无穷小的比较 26
五、求以极限表示的函数的表达式 27
六、极限运算定理的正确运用 28
3 函数的连续与间断 31
内容精讲 31
一、定义 31
二、重要性质、定理、公式 32
例题分析 32
一、讨论初等函数或抽象函数的连续与间断，并说明间断点的类型 32
二、讨论分段函数的连续性，或由连续性确定其中某些参数 33
三、讨论由极限定义的函数的连续性 33
四、运算定理的正确使用 34
五、连续函数的零点问题 35
自测题 36
第二章 一元函数微分学 39
考点与要求 39
1 导数与微分，导数的计算 39
内容精讲 39
一、定义 39
二、重要性质、定理、公式 40
例题分析 43
一、按定义求一点处的导数 43
二、已知某些极限，求函数在指定点处的导数，或讨论函数在指定点处的可导性 44
三、已知f（x）在某点x=a处可导，求与此有关的极限 45
四、已知f（x）在某点x=a处存在二阶导数，求与此有关的极限 46
五、可导条件下求某些参数 47
六、讨论函数的微分与函数的增量间的大小关系或者无穷小的阶的高低 48
七、讨论由极限式定义的函数的可导性 49
八、绝对值函数的导数 50
九、隐函数求导数，由某方程确定的函数求极限 50
十、求导数的计算题 52
2 导数的应用 53
内容精讲 53
一、定义 53
二、重要性质、定理、公式与方法 54
例题分析 56
一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论 56
二、最大值、最小值问题 59
三、渐近线 60
3 中值定理、不等式与零点问题 61
内容精讲 61
一、重要定理 61
二、重要方法 63
例题分析 64
一、不等式的证明 64
二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题 67
三、复合函数ψ（x,f（x）,f′（x））的零点 69
四、复合函数ψ（x,f（x）,f′（x）,f″（x））的零点 70
五、“双中值”问题 71
六、零点的个数问题 71
七、证明存在某ξ满足某不等式 72
八、？f′（x）与f（x0）的关系 73
九、f′（x）与f（x）的一些极限性质的关系 74
十、关于奇函数、偶函数、周期函数的导数的性质 75
自测题 76
第三章 一元函数积分学 79
考点与要求 79
1 不定积分与定积分的概念、性质、理论 79
内容精讲 79
一、定义 79
二、重要性质、定理、公式 80
例题分析 82
一、分段函数的不定积分与定积分 82
二、定积分与原函数的存在性 85
三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分 85
2 不定积分与定积分的计算 88
内容精讲 88
一、基本积分公式 88
二、基本积分方法 89
例题分析 91
一、简单有理分式的积分 91
二、三角函数的有理分式的积分 93
三、简单无理式的积分 93
四、两种不同类型的函数相乘的积分 94
五、被积函数中含有导数或变限函数的积分 97
六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分 98
七、含参变量带绝对值号的定积分 100
3 反常积分及其计算 101
内容精讲 101
一、定义 101
二、重要性质、定理、公式 102
例题分析 103
一、反常积分的计算与反常积分的敛散性 103
二、关于奇、偶函数的反常积分 105
4 一元微积分在经济中的应用，定积分在几何上的应用 107
内容精讲 107
一、定义 107
二、重要性质、定理、公式与方法 108
例题分析 110
一、几何应用 110
二、经济上的应用 112
5 定积分的证明题 116
内容精讲 116
例题分析 116
一、讨论变限积分所定义的函数的奇、偶性，周期性，极值，单调性等 116
二、由积分定义的函数求极限 118
三、积分不等式的证明 119
四、零点问题 122
自测题 124
第四章 多元函数微积分学 128
考点与要求 128
1 多元函数的极限、连续、偏导数与全微分 128
内容精讲 128
一、多元函数 128
二、二元函数的极限与连续 128
三、二元函数的偏导数与全微分 129
例题分析 131
一、讨论二重极限 131
二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性 133
三、讨论二元函数的可微性 134
2 多元函数的微分法 137
内容精讲 137
例题分析 139
一、求复合函数的偏导数与全微分 139
二、求隐函数的偏导数与全微分 146
3 极值与最值 150
内容精讲 150
例题分析 151
一、无条件极值问题 151
二、条件极值（最值）问题 153
三、多元函数的最大（小）值问题 154
4 二重积分 159
内容精讲 159
例题分析 162
一、计算二重积分 162
二、累次积分交换次序及计算 170
三、与二重积分有关的综合题 172
四、与二重积分有关的积分不等式问题 175
自测题 177
第五章 无穷级数 181
考点与要求 181
1 常数项级数 181
内容精讲 181
例题分析 183
一、正项级数敛散性的判定 183
二、交错级数敛散性的判定 187
三、任意项级数敛散性判定 189
四、有关常数项级数的证明题与综合题 193
2 幂级数 195
内容精讲 195
例题分析 197
一、求幂级数的收敛域 197
二、将函数展开为幂级数 199
三、级数求和 202
自测题 207
第六章 常微分方程及差分方程 210
考点与要求 210
1 常微分方程 210
内容精讲 210
一、微分方程的基本概念 210
二、常见的几类一阶方程及解法 210
三、高阶线性方程 211
例题分析 212
一、微分方程求解 212
二、微分方程的综合题 218
三、微分方程的应用 221
2 差分及一阶差分方程 224
内容精讲 224
例题分析 225
自测题 225
第二篇 线性代数 228
第一章 行列式 228
考点与要求 228
内容精讲 228
例题分析 231
一、数字型行列式的计算 231
二、抽象型行列式的计算 237
三、行列式｜A｜是否为零的判定 239
四、关于代数余子式求和 240
自测题 241
第二章 矩阵 243
考点与要求 243
内容精讲 243
1 矩阵的概念及运算 243
一、矩阵的概念 243
二、矩阵的运算 244
三、矩阵的运算规则 244
四、特殊矩阵 245
2 可逆矩阵 246
一、可逆矩阵的概念 246
二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件 246
三、逆矩阵的运算性质 246
四、求逆矩阵的方法 246
3 初等变换、初等矩阵 247
一、定义 247
二、初等矩阵与初等变换的性质 248
4 矩阵的秩 248
一、矩阵秩的概念 248
二、矩阵秩的公式 248
5 分块矩阵 249
一、分块矩阵的概念 249
二、分块矩阵的运算 249
例题分析 250
一、矩阵的概念及运算 250
二、特殊方阵的幂 253
三、伴随矩阵的相关问题 257
四、可逆矩阵的相关问题 260
五、初等变换、初等矩阵 263
六、矩阵秩的计算 266
七、矩阵方程的求解 268
自测题 271
第三章 向量 273
考点与要求 273
内容精讲 273
1 向量、向量组的线性相关性 273
2 极大线性无关组、秩 275
3 内积，正交规范化方法 276
例题分析 277
一、线性相关性的判别 277
二、向量的线性表示 279
三、向量组线性无关的证明 282
四、秩、极大线性无关组 285
五、正交矩阵、施密特正交化方法 291
自测题 293
第四章 线性方程组 295
考点与要求 295
内容精讲 295
1 克莱姆法则 295
2 齐次线性方程组 296
3 非齐次线性方程组 297
例题分析 298
一、线性方程组的基本概念题 298
二、线性方程组的求解 302
三、基础解系 309
四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A 310
五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系 312
六、两个方程组的公共解 313
七、同解方程组 315
八、线性方程组的有关杂题 317
自测题 320
第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 322
考点与要求 322
内容精讲 322
1 特征值、特征向量 322
一、定义 322
二、特征值的性质 322
三、求特征值、特征向量的方法 323
2 相似矩阵、矩阵的相似对角化 323
一、定义 323
二、矩阵可相似对角化的充分必要条件 323
三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 324
3 实对称矩阵的相似对角化 324
一、定义 324
二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化 324
三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 324
例题分析 325
一、特征值，特征向量的求法 325
二、两个矩阵有相同的特征值的证明 330
三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法 330
四、矩阵是否相似于对角阵 332
五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数 334
六、由特征值、特征向量反求A 335
七、矩阵相似及相似标准形 337
八、相似对角阵的应用 342
自测题 347
第六章 二次型 349
考点与要求 349
内容精讲 349
1 二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵 349
一、二次型概念 349
二、二次型的矩阵表示 349
2 化二次型为标准形、规范形、合同二次型 350
一、定义 350
3 正定二次型、正定矩阵 351
一、定义 351
例题分析 352
一、二次型的矩阵表示 352
二、化二次型为标准形、规范形 353
三、合同矩阵、合同二次型 360
四、正定性的判别 363
五、正定二次型的证明 368
六、综合杂题 369
自测题 372
第三篇 概率论与数理统计 375
第一章 随机事件与概率 375
考点与要求 375
1 事件、样本空间、事件间的关系与运算 375
内容精讲 375
例题分析 377
2 概率、条件概率、独立性和五大公式 379
内容精讲 379
例题分析 380
3 古典概型与伯努利概型 385
内容精讲 385
例题分析 386
自测题 388
第二章 随机变量及其概率分布 390
考点与要求 390
1 随机变量及其分布函数 390
内容精讲 390
例题分析 391
2 离散型随机变量和连续型随机变量 392
内容精讲 392
例题分析 393
3 常用分布 394
内容精讲 394
例题分析 397
4 随机变量函数的分布 400
内容精讲 400
例题分析 400
自测题 402
第三章 多维随机变量及其分布 405
考点与要求 405
1 二维随机变量及其分布 405
内容精讲 405
例题分析 407
2 随机变量的独立性 412
内容精讲 412
例题分析 413
3 二维均匀分布和二维正态分布 418
内容精讲 418
例题分析 419
4 两个随机变量函数Z=g（X，Y）的分布 421
内容精讲 421
例题分析 422
自测题 427
第四章 随机变量的数字特征 430
考点与要求 430
1 随机变量的数学期望和方差 430
内容精讲 430
例题分析 432
2 矩、协方差和相关系数 439
内容精讲 439
例题分析 440
3 切比雪夫不等式 448
内容精讲 448
例题分析 448
自测题 449
第五章 大数定律和中心极限定理 452
考点与要求 452
内容精讲 452
例题分析 453
自测题 455
第六章 数理统计的基本概念 456
考点与要求 456
1 总体、样本、统计量和样本数字特征 456
内容精讲 456
例题分析 458
2 常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布 459
内容精讲 459
例题分析 461
自测题 465
第七章 参数估计 468
考点与要求 468
1 点估计 468
内容精讲 468
例题分析 468
2 估计量求法 473
内容精讲 473
例题分析 474
自测题 477