第1章 群论 1
1.1 集合与映射 1
1.1.1 集合的概念 1
1.1.2 集合的运算 2
1.1.3 映射 3
1.1.4 偏序集与Zorn引理 5
1.1.5 集合的分类与等价关系 8
1.1.6 集合的基数 9
习题1.1 14
1.2 半群与群 16
1.2.1 半群 16
1.2.2 半群的基本性质 16
1.2.3 群 19
1.2.4 半群为群的等价条件 20
习题1.2 21
1.3 子群与陪集 22
1.3.1 子群定义及其性质 22
1.3.2 生成子群 23
1.3.3 元素的周期 24
1.3.4 子群的陪集 25
习题1.3 28
1.4 循环群与变换群及群的同构 29
1.4.1 循环群 29
1.4.2 群的同构 29
1.4.3 变换群 32
习题1.4 37
1.5 正规子群与商群 38
1.5.1 正规子群 38
1.5.2 商群 40
习题1.5 43
1.6 群同态与同态基本定理 44
1.6.1 群同态 44
1.6.2 群的同态基本定理及同构定理 46
1.6.3 群的自同态与自同构 50
习题1.6 50
1.7 群的直积 51
1.7.1 群的外直积 51
1.7.2 群的内直积 53
1.7.3 群的外直积与内直积的一致性 54
1.7.4 多个群的外直积与内直积 54
习题1.7 56
第2章 环与域 58
2.1 环的定义与基本性质 58
2.1.1 环和域的定义 58
2.1.2 环的基本性质 60
2.1.3 整环和除环 62
习题2.1 64
2.2 子环、理想与商环 66
2.2.1 子环 66
2.2.2 理想 68
2.2.3 商环 70
习题2.2 71
2.3 环的同态与同态基本定理 72
2.3.1 环的同态 73
2.3.2 同态的基本性质 74
2.3.3 环同态基本定理 75
2.3.4 扩环定理 75
习题2.3 76
2.4 素理想与极大理想、分式环 77
2.4.1 素理想 78
2.4.2 极大理想 78
2.4.3 分式环 80
习题2.4 84
2.5 环的特征与素域 85
2.5.1 环的特征 85
2.5.2 素域 86
习题2.5 87
2.6 环的直和 88
2.6.1 环的外直和 88
2.6.2 环的内直和 88
2.6.3 任意多个环的直积与直和 91
2.6.4 中国剩余定理 93
习题2.6 94
第3章 交换环的因子分解理论 96
3.1 唯一分解环 96
3.1.1 素元与既约元 96
3.1.2 唯一因子分解环 98
3.1.3 公因子 100
习题3.1 101
3.2 主理想环与欧氏环 102
3.2.1 主理想环 102
3.2.2 欧氏环 104
习题3.2 105
3.3 多项式环 105
3.3.1 多项式环与未定元 106
3.3.2 唯一分解环上的多项式 109
3.3.3 因式分解与多项式的根 112
习题3.3 115
第4章 群的进一步讨论 117
4.1 群在集合上的作用 117
4.1.1 群在集合上作用的定义 117
4.1.2 轨道与稳定子群 118
4.1.3 伯恩赛德引理 120
习题4.1 121
4.2 p-群与西罗定理 122
4.2.1 p-群 123
4.2.2 西罗定理 124
习题4.2 126
4.3 有限交换群 127
4.3.1 有限交换群的结构 127
4.3.2 有限生成阿贝尔群 131
习题4.3 134
4.4 幂零群与可解群 135
4.4.1 幂零群 135
4.4.2 可解群 137
4.4.3 正规序列和亚正规序列 138
习题4.4 142
第5章 模论 144
5.1 模的定义与基本性质 144
5.1.1 左模 144
5.1.2 双模 146
习题5.1 146
5.2 子模与模同态 147
5.2.1 子模 147
5.2.2 子模的和与直和 149
5.2.3 同态 152
5.2.4 子模格与模的自同态环 153
习题5.2 155
5.3 模同态的基本定理、模的直积与直和 157
5.3.1 模同态的基本定理 157
5.3.2 模的直积与直和 160
5.3.3 模的同态正合列 164
习题5.3 166
5.4 本质子模与多余子模、合成列 167
5.4.1 本质子模与多余子模 167
5.4.2 模的合成列 171
习题5.4 173
5.5 加补与交补、半单模 173
5.5.1 加补与交补 173
5.5.2 半单模 176
习题5.5 178
5.6 根与基座 179
5.6.1 模的根与基座 179
5.6.2 阿廷模与诺特模 183
习题5.6 187
5.7 自由模、投射模与内射模 189
5.7.1 自由模 189
5.7.2 投射模与内射模 191
5.7.3 投射模的对偶基引理 193
5.7.4 内射模的贝尔判别法 195
习题5.7 196
5.8 投射盖与内射包 197
5.8.1 可除阿贝尔群 197
5.8.2 模的内射扩张 199
5.8.3 模的投射盖与内射包 201
习题5.8 203
5.9 有限生成模和有限余生成模 204
5.9.1 有限生成模与有限余生成模的特征 204
5.9.2 主理想环上的有限生成模 206
习题5.9 209
第6章 环的进一步理论 211
6.1 单环与本原环 211
6.1.1 单环 211
6.1.2 本原环 213
习题6.1 218
6.2 环的Jacobson根 218
6.2.1 拟正则元与拟正则理想 218
6.2.2 Jacobson根 221
习题6.2 224
6.3 半单环 225
6.3.1 半单环的定义与性质 225
6.3.2 Jacobson半单环 229
6.3.3 半单环与Jacobson半单环的关系 231
习题6.3 234
6.4 局部环 234
6.4.1 局部环的等价条件 234
6.4.2 不可分解模 236
6.4.3 模的直和分解 237
习题6.4 242
6.5 阿廷环与诺特环 242
6.5.1 诺特环 242
6.5.2 诺特环和阿廷环上的内射模 244
6.5.3 阿廷环和诺特环的刻画 246
习题6.5 248
第7章 域论 250
7.1 扩域 250
7.1.1 扩域的定义与性质 250
7.1.2 单扩域 253
7.1.3 代数扩域 256
习题7.1 257
7.2 分裂域 259
7.2.1 分裂域及其性质 259
7.2.2 单个多项式的分裂域 260
7.2.3 一般的多项式集合的分裂域 261
习题7.2 264
7.3 尺规作图——古希腊三大几何问题 265
7.3.1 问题的引入 265
7.3.2 问题的解答 266
习题7.3 268
7.4 有限域 269
7.4.1 有限域的性质 269
7.4.2 有限域的构造 270
习题7.4 271
7.5 超越基 272
7.5.1 代数无关与超越基 272
7.5.2 超越扩域与超越次数 275
习题7.5 277
第8章 伽罗瓦理论 279
8.1 伽罗瓦理论的基本定理 279
8.1.1 伽罗瓦扩域 279
8.1.2 基本定理 281
习题8.1 287
8.2 正规扩域与代数扩域、代数基本定理 288
8.2.1 可离扩域 288
8.2.2 正规扩域 290
8.2.3 代数基本定理 292
习题8.2 294
8.3 多项式的伽罗瓦群 295
8.3.1 多项式的伽罗瓦群的定义和性质 295
8.3.2 四次多项式的伽罗瓦群 299
8.3.3 伽罗瓦群计算例子 301
习题8.3 305
8.4 纯不可离扩域 306
8.4.1 纯不可离扩域及其性质 306
8.4.2 域的可离次数和纯不可离次数 309
习题8.4 312
8.5 迹与范数 313
8.5.1 迹与范数及其性质 313
8.5.2 迹与范数同伽罗瓦群的联系 315
习题8.5 319
8.6 循环扩域 320
8.6.1 循环扩域及其性质 320
8.6.2 循环扩域的构造 322
习题8.6 325
8.7 分圆扩域 326
8.7.1 分圆扩域及其性质 326
8.7.2 有理数域上的分圆扩域 328
习题8.7 329
8.8 根扩域 331
8.8.1 根扩域及其性质 331
8.8.2 根扩域上的伽罗瓦群 333
习题8.8 337
8.9 一般n次代数方程 337
8.9.1 对称有理函数 337
8.9.2 一般n次代数方程的公式求解 340
习题8.9 345
参考文献 346
索引 347