第1章 矢量分析与场论初步 1
1.1 矢量函数及其导数与积分 1
1.1.1 矢量函数 1
1.1.2 矢量函数的极限与连续性 3
1.1.3 矢量函数的导数和积分 5
1.2 梯度、散度与旋度在正交曲线坐标系中的表达式 10
1.2.1 直角坐标系下“三度”及Hamilton算子 10
1.2.2 正交曲线坐标系下的“三度” 17
1.2.3 “三度”的运算公式 21
1.3 正交曲线坐标系下的Laplace算符、Green第一公式和Green第二公式 23
1.4 算子方程 25
习题一 31
第2章 数学物理定解问题 34
2.1 基本方程的建立 34
2.1.1 均匀弦的微小横振动 34
2.1.2 均匀膜的微小横振动 36
2.1.3 传输线方程 37
2.1.4 电磁场方程 39
2.1.5 热传导方程 40
2.1.6 扩散方程 42
2.2 定解条件 43
2.2.1 初始条件 43
2.2.2 边界条件 44
2.3 定解问题的提法 46
2.4 二阶线性偏微分方程的分类与化简 47
2.4.1 两个自变量方程的分类与化简 47
2.4.2 常系数偏微分方程的进一步简化 53
2.4.3 线性偏微分方程的叠加原理 54
习题二 55
第3章 分离变量法 57
3.1 （1＋1）维齐次方程的分离变量法 57
3.1.1 有界弦的自由振动 57
3.1.2 有限长杆上的热传导 65
3.2 二维Laplace方程的定解问题 70
3.3 高维Fourier级数及其在高维定解问题中的应用 77
3.4 非齐次方程的解法 82
3.4.1 固有函数法 82
3.4.2 冲量法 89
3.4.3 特解法 93
3.5 非齐次边界条件的处理 95
习题三 102
第4章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题 105
4.1 二阶常微分方程系数与解的关系 105
4.2 二阶常微分方程的级数解法 106
4.2.1 常点邻域内的级数解法 106
4.2.2 正则奇点附近的级数解法 111
4.3 Sturm-Liouville（斯特姆-刘维尔）本征值问题 117
习题四 122
第5章 Legendre多项式及其应用 124
5.1 Legendre方程与Legendre多项式的引入 124
5.2 Legendre多项式的性质 127
5.2.1 Legendre多项式的微分表示 127
5.2.2 Legendre多项式的积分表示 129
5.2.3 Legendre多项式的母函数 129
5.2.4 Legendre多项式的递推公式 131
5.2.5 Legendre多项式的正交归一性 132
5.2.6 按P（x）的广义Fourier级数展开 134
5.2.7 一个重要公式 134
5.3 Legendre多项式的应用 135
5.4 关联Legendre多项式 139
5.4.1 关联Legendre函数的微分表示 140
5.4.2 关联Legendre函数的积分表示 140
5.4.3 关联Legendre函数的正交性与模方 141
5.4.4 按P m l（x）的广义Fourier级数展开 141
5.4.5 关联Legendre函数递推公式 141
习题五 143
第6章 Bessel函数的性质及其应用 145
6.1 Bessel方程的引出 145
6.2 Bessel函数的性质 147
6.2.1 Bessel函数的基本形态及本征值问题 147
6.2.2 Bessel函数的递推公式 149
6.2.3 Bessel函数的正交性和模方 152
6.2.4 按Bessel函数的广义Fourier级数展开 153
6.2.5 Bessel函数的母函数积分表示和加法公式 154
6.3 Bessel函数在定解问题中的应用 156
6.4 修正Bessel函数 164
6.4.1 第一类修正Bessel函数 164
6.4.2 第二类修正Bessel函数 165
6.5 球Bessel函数 169
6.5.1 波动方程的变量分离 169
6.5.2 热传导方程的分离变量 170
6.6.3 Helmholtz方程的分离变量 170
6.5.4 球Bessel函数 171
6.6 柱面波与球面波 177
6.6.1 柱面波 177
6.6.2 球面波 180
6.7 可化为Bessel方程的方程 181
6.7.1 Kelvin （W.ThomSon）方程 181
6.7.2 其他例子 181
6.7.3 含Bessel函数的积分 182
6.8 其他特殊函数方程简介 186
6.8.1 Hemiter多项式 186
6.8.2 Laguerre多项式 188
习题六 189
第7章 行波法与积分变换法 191
7.1 一维波动方程的D’ Alember（达朗贝尔）公式 191
7.2 三维波动方程的Poisson公式 196
7.3 Fourier积分变换法求定解问题 203
7.3.1 预备知识——Fourier变换及性质 204
7.3.2 Fourier变换法 205
7.4 Laplace变换法解定解问题 208
7.4.1 Laplace变换及其性质 208
7.4.2 Laplace变换法 210
习题七 213
第8章 Green函数法 216
8.1 引言 216
8.2 δ函数的定义与性质 217
8.2.1 δ函数的定义 217
8.2.2 广义函数的导数 218
8.2.3 δ函数的Founer变换 219
8.2.4 高维δ函数 220
8.3 Poisson方程的边值问题 220
8.3.1 Green公式 220
8.3.2 解的积分形式—Green函数法 221
8.3.3 Green函数关于源点和场点是对称的 225
8.4 Green函数的一般求法 225
8.4.1 无界区域的Green函数 226
8.4.2 用本征函数展开法求边值问题的Green函数 227
8.5 用电像法求某些特殊区域的Dirichlet-Green函数 229
8.5.1 Poisson方程的Dirichlet-Green函数及其物理意义 229
8.5.2 用电像法求Green函数 230
8.6 含时间的定解问题的Green函数 233
习题八 238
第9章 变分法 239
9.1 泛函和泛函极值 239
9.1.1 泛函 239
9.1.2 泛函的极值与泛函的变分 240
9.1.3 泛函取极值的必要条件—欧拉方程 241
9.1.4 复杂泛函的Euler方程 244
9.1.5 泛函的条件极值问题 247
9.1.6 求泛函极值的直接方法——Ritz（里兹）方法 252
9.2 用变分法解数理方程 255
9.2.1 本征值问题和变分问题的关系 255
9.2.2 通过求泛函的极值来求本征值 257
9.2.3 边值问题与变分问题的关系 260
9.3 与波导相关的变分原理及近似计算 262
9.3.1 共振频率的变分原理 262
9.3.2 波导的传播常数γ的变分原理 264
9.3.3 任意截面的柱形波导管截止频率的近似计算 265
习题九 273
附录A Fourier变换和Laplace变换简表 276
附录B 通过计算留数求拉普拉斯变换的反演 281
参考文献 283