0预备知识 1
0.1绪论 1
0.1.1代数学发展概要 1
0.1.2学习高等代数的目的和意义 2
0.1.3怎样学好高等代数 2
0.2数学归纳法 3
0.2.1引例 3
0.2.2说明 3
0.2.3数学归纳法的本质 3
0.2.4数学归纳法的加强形式——第二数学归纳法 5
0.2.5应用——关于引例（4）的解法 5
0.2.6归纳法怪论 6
0.3整数的可除性 6
0.3.1整除 7
0.3.2最大公约数与转辗相除法 8
0.3.3算术基本定理 10
0.4数环和数域 11
0.4.1数环 11
0.4.2数域 12
1一元多项式 14
1.1一元多项式的定义及运算 14
1.1.1概念注释与要点分析 14
1.1.2例题 14
1.2整除的概念 15
1.2.1概念注释与要点分析 15
1.2.2例题 16
1.3最大公因式 17
1.3.1概念注释与要点分析 17
1.3.2例题 18
1.4因式分解定理 20
1.4.1概念注释与要点分析 20
1.4.2例题 20
1.5重因式 22
1.5.1概念注释与要点分析 22
1.5.2例题 22
1.6多项式函数 23
1.6.1概念注释与要点分析 23
1.6.2例题 23
1.7复系数与实系数多项式的因式分解 25
1.7.1概念注释与要点分析 25
1.7.2例题 25
1.8有理系数多项式 26
1.8.1概念注释与要点分析 26
1.8.2例题 27
1.9本章小结 28
1.9.1贯穿在多项式理论中的数学精神 28
1.9.2学习本章应着重理解和领会的数学思想 29
1.9.3本章应着重掌握的数学证明方法 30
1.9.4一元多项式理论的结构框图 30
2行列式 31
2.1引言 31
2.1.1线性方程组的一般形式与要解决的理论问题 31
2.1.2一种重要的思考方法、研究方法和证明方法 32
2.1.3对线性方程组（2-1）的分析 32
2.1.4寻求两个未知数、两个方程的线性方程组的公式解 33
2.1.5三个未知量、三个方程的方程组的求解公式 34
2.1.6一般化问题与着眼点 34
2.2排列 35
2.2.1概念注释与要点分析 35
2.2.2例题 36
2.3n阶行列式 37
2.3.1概念注释与要点分析 37
2.3.2例题 39
2.4行列式的性质 40
2.4.1概念注释与要点分析 40
2.4.2例题 43
2.5行列式按一行（列）展开 45
2.5.1概念注释与要点分析 45
2.6n阶行列式的计算方法 49
2.6.1概念注释与要点分析 49
2.6.2例题 52
2.7Gramer法则 58
2.7.1概念注释与要点分析 58
2.7.2例题 58
2.8本章小结 59
2.8.1学习本章应着重领会的数学精神 59
2.8.2学习本章应着重领会的数学思想和方法 60
2.8.3本章的发展脉络 60
3线性方程组 61
3.1概述 61
3.1.1本章中心问题 61
3.1.2几个有关的基本概念 62
3.1.3几个简单例子 62
3.2消元法 62
3.2.1概念注释与要点分析 63
3.2.2例题 64
3.3n维向量空间 64
3.3.1概念注释与要点分析 65
3.4线性相关性 66
3.4.1概念注释与要点分析 66
3.4.2例题 69
3.5矩阵的秩 73
3.5.1概念注释与要点分析 73
3.5.2例题 76
3.6线性方程组有解判别定理 77
3.6.1概念注释与要点分析 77
3.6.2例题 78
3.7线性方程组解的结构 83
3.7.1概念注释与要点分析 83
3.7.2例题 84
3.8本章小节 88
3.8.1学习本章应着重领会的数学精神 88
3.8.2学习本章应着重领会建立本章理论的基本思想 89
3.8.3学习本章应进一步体会“数学研究与证明的一般原则” 89
3.8.4本章的基本结构与发展脉络 89
4矩阵 91
4.1矩阵的概念及其运算 91
4.1.1概念注释与要点分析 91
4.1.2例题 94
4.2矩阵乘积的行列式与秩 98
4.2.1概念注释与要点分析 98
4.2.2例题 99
4.3矩阵的逆 100
4.3.1概念注释与要点分析 101
4.3.2例题 102
4.4矩阵的分块 103
4.4.1概念注释与要点分析 103
4.4.2例题 105
4.5初等矩阵 106
4.5.1概念注释与要点分析 106
4.5.2例题 109
4.6分块矩阵的应用 110
4.6.1主要内容及要点分析 110
5二次型 117
5.1二次型的矩阵表示 117
5.1.1概念注释与要点分析 117
5.1.2例题 119
5.2标准形 121
5.2.1概念注释与要点分析 121
5.3唯一性与二次型的分类 123
5.3.1概念注释与要点分析 123
5.3.2例题 126
5.4正定二次型 127
5.4.1概念注释与要点分析 127
5.4.2例题 134
5.5本章小结 138
5.5.1基本概念与全章中心问题 138
5.5.2本章基本结构 139
5.5.3学习本章应着重领会的数学精神、思想和方法 139
6线性空间 141
6.1线性空间的定义与基本性质 141
6.1.1概念注释与要点分析 141
6.1.2例题 144
6.2维数、基与坐标 145
6.2.1概念注释与要点分析 145
6.2.2例题 147
6.3基变换与坐标变换 150
6.3.1概念注释与要点分析 150
6.3.2例题 152
6.4线性子空间 155
6.4.1概念注释与要点分析 155
6.4.2例题 156
6.5子空间的交与和 159
6.5.1概念注释与要点分析 159
6.5.2例题 161
6.6子空间的直和 162
6.6.1概念注释与要点分析 163
6.6.2例题 165
6.7线性空间的同构 166
6.7.1概念注释与要点分析 166
6.7.2例题 168
6.8本章小结 169
6.8.1本章所体现的基本的数学精神、思想和方法 169
6.8.2本章的基本结构与发展脉络 170
7线性变换 171
7.1线性变换及其运算 171
7.1.1概念注释与要点分析 171
7.1.2例题 175
7.2线性变换与矩阵 177
7.2.1概念注释与要点分析 178
7.2.2例题 181
7.3特征值、特征向量与“对角化” 184
7.3.1概念注释与要点分析 185
7.3.2例题 192
7.4不变子空间与“准对角化” 195
7.4.1概念注释与要点分析 195
7.4.2例题 199
7.5本章小结 201
7.5.1应着重领会的数学精神 201
7.5.2应着重领会的数学思想 201
7.5.3应着重掌握或领会的数学方法 202
7.5.4本章基本结构与发展脉络 203
8欧几里得空间 204
8.1欧几里得空间的定义与基本性质 204
8.1.1概念注释与要点分析 204
8.1.2例题 209
8.2欧几里得空间的正交性 210
8.2.1概念注释与要点分析 210
8.2.2例题 216
8.3正交变换 218
8.3.1概念注释与要点分析 218
8.3.2例题 221
8.4对称变换与实对称矩阵的标准形 222
8.4.1概念注释与要点分析 222
8.4.2例题 226
8.5本章小结 229
8.5.1应着重领会的数学精神 229
8.5.2应着重领会的数学思想和方法 230
8.5.3本章基本结构及发展脉络 230
9代数基本概念导引 231
9.1代数运算与代数系统 231
9.1.1代数运算 231
9.1.2代数系统 235
9.2附加于代数系统的一些条件 236
9.2.1运算规律 236
9.2.2特殊元素 238
9.3代数系统的比较——同构与同态 239
9.4三种基本代数系统——群、环、域 242
9.4.1群 242
9.4.2环 245
9.4.3域 246
参考文献 249