1 函数、极限与连续 1
1.1 函数 1
1.1.1 函数的概念 1
1.1.2 函数的表示法 4
1.1.3 函数的性质 5
1.1.4 反函数与复合函数 7
1.1.5 初等函数 11
1.1.6 其他函数 13
1.2 数列的极限 15
1.2.1 数列 15
1.2.2 数列的极限 16
1.3 函数的极限 17
1.3.1 函数f（x）当x→∞时的极限 18
1.3.2 函数f（x）当x→x0时的极限 19
1.4 无穷小与无穷大、极限运算法则 21
1.4.1 无穷小 21
1.4.2 无穷小的性质 21
1.4.3 无穷大 22
1.4.4 极限运算法则 23
1.5 极限的性质、重要极限 25
1.5.1 极限的性质 25
1.5.2 极限存在准则与重要极限 25
1.6 无穷小的比较 29
1.6.1 无穷小的阶 29
1.6.2 等价无穷小的代换 30
1.7 函数的连续性 32
1.7.1 函数连续的定义 32
1.7.2 函数的间断点 33
1.7.3 连续函数 34
习题1 36
2 导数及应用 40
2.1 导数的概念 40
2.1.1 导数的定义 40
2.1.2 左、右导数 42
2.1.3 导数与连续的关系 43
2.1.4 导数的几何意义与物理意义 45
2.2 初等函数的导数 46
2.2.1 基本初等函数的导数 46
2.2.2 函数和、差、积、商的导数 47
2.2.3 复合函数的导数 48
2.2.4 反函数的导数 50
2.2.5 基本导数表 50
2.3 其他函数的求导方法 51
2.3.1 隐函数的导数 51
2.3.2 对数求导法 52
2.3.3 参数方程所确定函数的导数 52
2.4 高阶导数 53
2.4.1 高阶导数的概念 53
2.4.2 高阶导数的运算法则 55
2.4.3 隐函数及参数方程的二阶导数 55
2.5 微分及其应用 56
2.5.1 微分的概念 56
2.5.2 微分与导数的关系 56
2.5.3 基本微分表和微分运算法则 57
2.5.4 微分的应用 58
2.6 微分中值定理 58
2.6.1 费马引理 59
2.6.2 罗尔定理 59
2.6.3 拉格朗日定理 60
2.6.4 柯西定理 62
2.7 洛必达法则 62
2.7.1 不定型“0/0的定值法 62
2.7.2 不定型“∞/∞”的定值法 65
2.7.3 其他不定型的定值法 66
2.8 利用导数研究函数的性态 68
2.8.1 函数单调性的判别法 68
2.8.2 函数的极值及其计算 70
2.8.3 函数的最大值、最小值问题 71
2.8.4 函数曲线的凹、凸性与拐点 73
2.8.5 曲线的渐近线与函数图形的描绘 75
习题2 78
3 积分学 83
3.1 不定积分 83
3.1.1 不定积分的概念 83
3.1.2 不定积分的换元积分法 85
3.1.3 不定积分的分部积分法 91
3.1.4 有理函数的积分 95
3.2 定积分 99
3.2.1 定积分的概念 99
3.2.2 定积分的计算 101
3.2.3 定积分的应用 107
3.3 反常积分 109
3.3.1 无穷区间上的反常积分 109
3.3.2 无界函数的反常积分 110
习题3 112
4 微分方程 117
4.1 微分方程的概念 117
4.2 一阶微分方程 118
4.2.1 可分离变量的微分方程 118
4.2.2 齐次微分方程 118
4.2.3 一阶线性微分方程 120
4.2.4 伯努利方程 121
4.3 高阶可降阶的微分方程 122
4.3.1 y″=f（x）型方程 122
4.3.2 y″=f（x,y′）型方程 122
4.3.3 y″=f（y,y′）型方程 123
4.4 线性微分方程 125
4.4.1 二阶齐次线性微分方程解的结构 125
4.4.2 二阶非齐次线性微分方程解的结构 126
4.5 二阶常系数线性微分方程 127
4.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程 127
4.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 128
4.5.3 微分方程的应用 130
习题4 131
5 多元函数微积分 135
5.1 多元函数微分学 135
5.1.1 多元函数的概念 135
5.1.2 偏导数与全微分 138
5.1.3 多元复合函数及隐函数的偏导数 141
5.1.4 多元函数的极值与最值 147
5.2 二重积分 151
5.2.1 二重积分的概念 151
5.2.2 二重积分的计算 153
习题5 159
6 概率论基础 164
6.1 随机事件及其概率 164
6.1.1 随机试验与随机事件 164
6.1.2 事件的关系和运算 165
6.2 概率的定义 168
6.2.1 概率的统计定义 168
6.2.2 概率的古典定义 170
6.2.3 概率的几何定义 172
6.2.4 概率的公理化定义 173
6.2.5 概率的性质 174
6.3 条件概率 176
6.3.1 条件概率及乘法公式 176
6.3.2 事件的独立性 179
6.3.3 贝努利概型 180
6.4 全概率公式与贝叶斯公式 181
6.4.1 全概率公式 181
6.4.2 贝叶斯公式 183
6.5 随机变量及其分布 185
6.5.1 随机变量 185
6.5.2 离散型随机变量 186
6.5.3 连续型随机变量 189
6.5.4 分布函数 192
6.5.5 随机变量函数 195
6.6 二维随机变量 196
6.6.1 二维随机变量及其联合分布 197
6.6.2 二维随机变量的边缘分布 198
6.6.3 二维离散型随机变量的分布律 198
6.6.4 二维连续型随机变量的分布 200
6.6.5 二维随机变量的独立性 202
6.7 随机变量的数字特征 204
6.7.1 数学期望 204
6.7.2 随机变量的方差 209
6.7.3 协方差及相关系数 211
6.8 大数定律以及中心极限定理 214
6.8.1 大数定律 214
6.8.2 中心极限定理 215
习题6 216
7 线性代数初步 224
7.1 行列式的定义和性质 224
7.1.1 二阶和三阶行列式 224
7.1.2 n阶行列式 226
7.1.3 n阶行列式的性质 228
7.1.4 克拉默法则 233
7.2 矩阵 236
7.2.1 矩阵的概念 236
7.2.2 矩阵的运算 237
7.2.3 矩阵的逆 240
7.2.4 矩阵的秩与初等变换 242
7.2.5 利用矩阵的初等变换求解线性方程组 244
7.3 n维向量 249
7.3.1 n维向量的定义 249
7.3.2 向量组的线性相关和线性无关 250
7.3.3 向量组的秩 252
7.3.4 向量空间 254
7.3.5 线性方程组解的结构 255
7.3.6 矩阵的特征值和特征向量 259
习题7 262
习题答案 267
附表1 泊松分布表 283
附表2 标准正态分布函数表 285
参考文献 287