序 1
第一章 基础数学 6
1.1 空间Rn及其拓扑 6
1.2 映射 10
1.3 实分析 16
1.4 群理论 18
1.5 线性代数 21
1.6 方阵代数 24
1.7 参考文献 29
第二章 微分流形和张量 33
2.1 流形的定义 33
2.2 作为流形的球面 37
2.3 流形的另一些例子 39
2.4 整体考虑 40
2.5 曲线 41
2.6 M上的函数 42
2.7 矢量和矢量场 43
2.8 基矢和基矢场 46
2.9 纤维丛 47
2.10 纤维丛的例子 50
2.11 对纤维丛的深入考察 51
2.12 矢量场和积分曲线 56
2.13 算符d/dλ的指数 57
2.14 李括号和非坐标基 58
2.15 什么情况下一个基为坐标基 62
2.16 1-形式 65
2.17 1-形式的例子 66
2.18 狄拉克8函数 67
2.19 梯度和1-形式的图象表示 69
2.20 基1-形式和1-形式分量 72
2.21 指标符号 74
2.22 张量和张量场 75
2.23 张量的例子 76
2.24 张量的分量和外积 77
2.25 缩併 78
2.26 基的变换 80
2.27 关于分量的张量运算 84
2.28 函数和标量 85
2.29 在矢量空间上的度规张量 85
2.30 流形上的度规张量场 91
2.31 狭义相对论 93
2.32 参考文献 95
第三章 李导数和李群 97
3.1 引论 97
3.3 矢量场的李拖曳 98
3.2 函数的李拖曳 98
3.4 李导数 100
3.5 1-形式的李导数 104
3.6 子流形 105
3.7 Frobenius定理(矢量场)表述 107
3.8 Frobenius定理的证明 109
3.9 一个例子：S2的生成元 113
3.10 不变性 115
3.11 Killing矢量场 117
3.12 Killing矢量和粒子动力学守恒量 118
3.13 轴对称 119
3.14 抽象李群 122
3.15 李群的例子 125
3.16 李代数和它的群 134
3.17 实现和表示 139
3.18 球对称、球谐及转动群的表示 142
3.19 参考文献 148
4.1 体积的定义——微分形式的几何角色 150
第四章 微分形式 150
A.形式代数和积分计算 150
4.2 反对称张量的符号和意义 153
4.3 微分形式 155
4.4 微分形式的使用 157
4.5 形式的限制 159
4.6 形式的场 160
4.7 手征和可定向胜 160
4.8 可定向流形上的体积和积分 161
4.9 N-矢量、对偶和符号？ 165
4.10 张量密度 171
4.11 广义克罗内克尔δ符号 172
4.12 行列式和？ 175
4.13 度规体元 176
B. 形式的微分计算及其应用 178
4.14 外微分 179
4.15 导数的符号 180
4.16 外微分常见例子 182
4.17 偏微分方程可积条件 183
4.18 恰当形式 184
4.19 闭形式局部恰当性证明 186
4.20 形式的李导数 190
4.21 李导数和外微分的对易 192
4.22 斯托克斯定理 192
4.23 高斯定理和散度定理 196
4.24 上同调(cohomology)理论一瞥 200
4.25 微分形式和微分方程 203
4.26 Frobenius定理(微分形式变型) 205
4.27 Frobenius定理两种形式等价的证明 210
4.28 守恒定律 211
4.29 矢量球谐函数 213
4.30 参考文献 215
第五章 物理学中的应用 217
A.热力学 217
5.1 简单系统 217
5.2 Maxwell和另一些数学恒等式 218
5.3 组合热力学系统，Carathecdory定理 220
B. 哈密顿力学 223
5.4 哈密顿矢量场 223
5.5 正则变换 224
5.6 矢量和由？提供的1-形式间的映射 225
5.7 泊松符号 226
5.8 多粒子系统：辛形式(Symplectic forms) 227
5.9 线性力学系统：辛内积和守恒量 229
5.10 哈密顿方程的纤维丛结构 232
C. 电磁学 234
5.11 应用微分形式重写Maxwell方程组 234
5.12 电荷和拓扑 239
5.13 矢势 240
5.14 平面波一个简单的例子 241
D.理想流体力学 243
5.15 李导数的作用 243
5.16 共动时间导数 243
5.17 运动方程 245
5.18 涡量守恒 246
E.宇宙学 249
5.19 宇宙学原理 249
5.20 最大对称的李导数 253
5.21 球对称、3-空间的度规 256
5.22 六个Killing矢量的构成 259
5.23 开宇宙、闭宇宙和平直宇宙 262
5.24 参考文献 265
6.2 曲面上的平行 268
第六章 黎曼流形的联络和规范理论 268
6.1 引论 268
6.3 协变导数 270
6.4 分量：基的协变导数 272
6.5 挠率 275
6.6 短程线 277
6.7 正则坐标 279
6.8 黎曼张量 280
6.9 黎曼张量的几何解释 283
6.10 平直空间 285
6.11 联络和体积-测量或度规的一致性 287
6.12 度规联络 288
6.13 仿射联络和等价原理 291
6.14 联络和规范理论：电磁学的例子 292
6.15 参考文献 296
附录：选题的解和提示 299
符号 327
索引 329