第一篇 概论 3
第一章 预备知识 3
1.1 记号和Sobolev空间 3
1.1.1 常用的记号 3
1.1.2 Sobolev空间 4
1.2 Sobolev空间的几个基本定理 5
1.3 有限元空间和函数插值 6
1.3.1 区域剖分和有限元空间 6
1.3.2 Lagrange插值及展开 7
1.3.3 ω元、投影型插值和有限元空间Vv k（Ω） 9
1.4 基本模型问题和分片Sobolev空间 11
1.4.1 基本模型和Lax-Milgram定理 11
1.4.2 有限元逼近（Galerkin逼近） 13
1.4.3 分片Sobolev空间 14
1.5 Green函数和离散Green函数 14
1.5.1 Green函数和离散Green函数及一些已有结果 14
1.5.2 Green函数Galerkin逼近的逐点估计 16
1.6 逼近误差的阶的一个等价定义方法 17
1.6.1 经典有限元超收敛理论的一个悖论 17
1.6.2 研究超收敛理论应当怎样定义误差的阶？ 18
1.6.3 广义误差阶的几个性质 20
第二章 超收敛理论的基本框架（兼论一维有限元问题的高精度后处理） 22
2.1 Legendre多项式与ω多项式（Lobatto多项式） 23
2.1.1 定义 23
2.1.2 若干性质 24
2.1.3 分数次空间Hε 26
2.2 一维投影型插值 28
2.2.1 定义 28
2.2.2 p次投影型插值ipu的逼近性质 31
2.3 一维ω元和广义误差阶的定义 36
2.3.1 一维ω元的定义 36
2.3.2 误差阶的新定义 37
2.3.3 计算误差阶的实例 38
2.4 一维两点边值问题的有限元逼近的误差估计 40
2.4.1 几个引理 40
2.4.2 一个等价估计 41
2.5 Green函数与有限元的逐点误差估计 42
2.5.1 Green函数及其性质 42
2.5.2 一个超逼近结果 44
2.5.3 有限元的逐点估计和超收敛估计 45
2.5.4 Green函数有限元逼近的若干估计 47
2.6 两个基本估计、一致超逼近和逐点超收敛性 48
2.6.1 基本估计 48
2.6.2 局部一致超逼近 49
2.6.3 天然的超收敛点 50
2.7 插值后处理（对k=1的情形） 51
2.7.1 一个引理 51
2.7.2 单元片及插值处理算子 53
2.7.3 超收敛插值处理 54
2.8 超收敛SPR处理 54
2.8.1 基本概念 54
2.8.2 主要定理 57
2.9 一个整体的校正结果 58
2.10 后验误差估计 60
2.11 一个最佳校正结果 61
2.11.1 问题描述和精确有限元 61
2.11.2 插值的正交修正 63
2.11.3 节点恢复导数的构造 66
2.11.4 主要定理及其证明 67
第二篇 插值误差的弱估计和超逼近估计第三章 高次矩形元的插值误差的弱估计和超逼近估计 71
3.1 空间H（e）和投影型插值 71
3.1.1 空间H（e）及其函数的展开 71
3.1.2 指标集和投影型插值 75
3.1.3 有限元空间Vv k（Ω）及投影型插值 78
3.1.4 空间H（Ω） 79
3.2 ω矩形元及投影型插值误差估计 80
3.2.1 ω矩形元的定义 80
3.2.2 误差阶的新定义 81
3.2.3 插值误差的基本估计 84
3.2.4 插值导数误差的估计 84
3.2.5 有限元空间中的一个估计 85
3.3 有限元解的一个平均超逼近估计 86
3.4 Qv k型投影型插值误差的基本弱估计 89
3.4.1 指标集和Qv k型投影型插值的某些性质 89
3.4.2 常系数问题的基本弱估计 90
3.5 强基本估计 94
3.5.1 单元片和单元片上的一个引理 94
3.5.2 强基本估计的证明 96
3.6 变系数问题的基本弱估计 98
3.7 最大模超逼近、强超逼近和天然超收敛性 101
3.7.1 最大模超逼近 101
3.7.2 天然的超收敛性 102
第四章 双线性元的超收敛性和外推 104
4.1 引言：一个新估计方法 104
4.2 双线性插值误差的几个积分估计 105
4.2.1 ∫Ω？1（u-uI）？1vdxdy 105
4.2.2 ∫Ω？1（u-uI）？2vdxdy 106
4.2.3 ∫Ω（u-uI）vdxdy和∫Ω？1（u-uI）vdxdy 107
4.3 变系数问题及其他 108
4.3.1 变系数问题 108
4.3.2 一般二阶椭圆问题和双线性元的第一基本估计 110
4.3.3 一般光滑区域和几乎一致剖分 110
4.3.4 超逼近和超收敛性 111
4.4 基本展开式和有限元外推 111
4.4.1 林氏积分恒等式 111
4.4.2 在u∈H（Ω）条件下的展开式 115
4.4.3 在u∈H（Ω）条件下的外推结果 116
4.4.4 一点注释 118
4.5 一般四边形元的新估计方法 118
4.5.1 凸四边形单元分析 118
4.5.2 一般网格上的超收敛问题 120
4.6 补充：奇妙族矩形元上的展开问题 121
4.6.1 几个基本展开式 122
4.6.2 一般变系数问题的基本展开 123
4.6.3 超逼近和超收敛性 124
第五章 高次三角形元中的几个问题 126
5.1 三角形元上的函数展开 127
5.1.1 点态插值和边界函数空间H1+ε（？e） 127
5.1.2 边上的投影型插值及其延拓 130
5.1.3 权函数空间Lφ（e）和函数的基本展开 135
5.2 三角元上的Pv k型投影型插值及其基本估计 139
5.2.1 投影型插值及其性质 139
5.2.2 投影型插值的误差估计 141
5.3 Pv k和Pk型插值误差的基本弱估计 144
5.3.1 误差阶的定义 144
5.3.2 一个单元上的弱估计 145
5.3.3 单元片上的弱估计 146
5.3.4 Pk型三角元的超逼近问题 149
5.4 Pv k（v≥1）型插值误差的超收敛弱估计问题讨论 149
5.4.1 余项的估计 149
5.4.2 单元分析 150
5.4.3 离散Green函数的一个特殊性质 151
5.4.4 主项的估计—单元合并技术 151
第三篇 有限元超收敛后处理理论第六章 离散Green函数和局部对称处理技巧 155
6.1 Green函数——局部对称的处理法 155
6.1.1 准Green函数Galerkin逼近的几个估计 155
6.1.2 局部对称点 156
6.1.3 局部处理技巧 157
6.1.4 u关于z对称的情形 158
6.1.5 对称处理技巧 158
6.2 离散Green函数的逐点估计 160
6.2.1 离散δ函数及估计 160
6.2.2 权范数及估计 161
6.2.3 高阶离散Green函数及估计 162
6.2.4 Green函数Galerkin逼近的逐点估计 166
6.2.5 角域上Green函数Galerkin逼近的某些估计 169
6.3 二次三角形元的强超逼近 170
6.3.1 主要定理及证明 171
6.4 高次Pk型三角形元和QO k型矩形元的超逼近问题 172
6.4.1 带权rl的范数 172
6.4.2 一个引理 173
6.4.3 Pk型元问题 174
6.4.4 奇妙族矩形元即QO K型元问题 176
6.5 Pv k（v≥1）型三角元和Qv k（v≥1）型矩形元的超逼近 178
6.5.1 整体超逼近估计 178
6.5.2 超逼近性的直接证明 179
6.5.3 对Qv k型矩形元超逼近的进一步讨论 180
6.5.4 Pv k型元讨论 182
6.5.5 在角上的超逼近估计 183
6.6 国外的局部对称处理理论简介 184
6.6.1 一个精细的内估计结果 184
6.6.2 两个超收敛结果 185
6.6.3 一个利用Green函数的证明方法 186
第七章 超收敛后处理基本理论 188
7.1 超逼近和天然的超收敛性 188
7.1.1 超逼近性质 188
7.1.2 天然超收敛性 191
7.1.3 超逼近点集和超收敛点集示意图 193
7.2 单元片导数恢复算子和基本定理 195
7.2.1 单元片导数恢复算子的定义 195
7.2.2 Z-Z算子 196
7.2.3 林氏插值处理算子 198
7.2.4 磨光处理算子 198
7.2.5 单元片导数恢复算子超收敛基本定理 199
7.3 插值的恢复导数及恢复导数佳点 200
7.3.1 Z-Z算子处理的佳点 201
7.3.2 林氏插值处理的佳点 203
7.4 Z-Z算法的超收敛性分析 203
7.4.1 Z-Z处理的超收敛性 203
7.4.2 二次三角元的强超收敛后处理结果 205
7.4.3 高次三角元和奇妙族矩形元的天然超收敛性 206
7.5 Z-Z算法的强超收敛性处理 206
附录 样本点的选取 209
7.6 Z-Z算法的强超收敛性处理的进一步探讨 210
7.6.1 一个引理 210
7.6.2 主要定理 211
7.6.3 样本集选择表 212
7.7 林氏插值处理法简介 213
7.7.1 第一型插值处理 213
7.7.2 第二型插值处理 213
第八章 调和方程边值问题的一类高效算法 221
8.1 调和方程边值问题的Monte-Carlo概率算法 221
8.1.1 概率转移矩阵 221
8.1.2 齐次椭圆边值问题和极限转移阵Q∞ 223
8.1.3 求解非齐次椭圆边值问题的方法 227
8.1.4 计算Q∞和S∞的Monte-Carlo法 228
8.2 调和方程边值问题的概率算法 230
8.2.1 调和方程边值问题和概率转移矩阵 230
8.2.2 圆上的转移矩阵 234
8.2.3 一般区域的概率转移矩阵 235
8.2.4 误差的超收敛估计 236
8.2.5 数例分析 237
8.3 二维配置算法的超收敛性 239
8.3.1 解边值问题的延拓思想 239
8.3.2 边值问题的配置算法及其逐点强超收敛性 240
8.3.3 数值实例 242
第四篇 多维超收敛理论和后验误差估计方法第九章 多维离散Green函数理论 247
9.1 Galerkin投影和离散Green函数 249
9.1.1 Galerkin投影 249
9.1.2 离散Green函数 251
9.2 离散δ函数和L2投影 252
9.2.1 离散δ函数 252
9.2.2 L2投影 254
9.3 准Green函数及其L2估计 256
9.4 权范数及其性质 259
9.5 准Green函数的权范数估计及其他估计 263
9.6 准Green函数的Galerkin逼近及有限元的L∞估计 266
9.7 导数准Green函数？zG＊ z及其Galerkin逼近 270
9.7.1 导数准Green函数？zG＊ z的性质及权范数估计 270
9.7.2 ？zG＊ z的Galerkin逼近及其估计 273
附录 d=3时？zG＊ z的W1,1半范估计 276
第十章 三维问题的超逼近和超收敛性 280
10.1 三元函数在长方体单元的展开和三维投影型插值算子 280
10.2 三维投影型插值算子的等价构作方法 283
10.3 三维ω元和基本空间 284
10.4 张量积长方体有限元的超逼近 285
10.4.1 三m次长方体有限元的弱估计 285
10.4.2 三m次长方体有限元的最大模超逼近 298
10.5 奇妙族长方体有限元的超逼近 299
10.5.1 二次奇妙族长方体有限元的最大模超逼近 299
10.5.2 三次奇妙族长方体有限元的最大模超逼近 305
10.6 弱估计的另一种证明方法 312
第十一章 ω有限元算法 314
11.1 Legendre和Lobatto多项式表 314
11.1.1 Legendre多项式表 314
11.1.2 ω函数表 316
11.2 ω有限元算法 318
11.2.1 一维单元分析 318
11.2.2 二维矩形ω元分析 320
11.2.3 二维三角形ω元分析 322
11.2.4 三维长方体ω元分析 323
11.3 Lagrange算法和ω算法比较 323
11.3.1 Lagrange基函数 323
11.3.2 一维ω算法实例分析 324
11.4 二维ω有限元计算实例分析 338
11.5 三维ω有限元计算实例分析 338
11.5.1 （Ⅰ）型问题计算结果分析 339
11.5.2 （Ⅱ）型问题计算结果分析 340
11.5.3 （Ⅲ）型奇性问题计算结果分析 340
11.5.4 三维奇性解的超收敛分析 344
11.6 一般区域的处理 348
第十二章 后验误差估计和超收敛 349
12.1 引言 349
12.2 基于残值的后验误差估计简介 350
12.2.1 基本概念 350
12.2.2 一个简单的后验误差估计 352
12.2.3 泡泡函数 354
12.2.4 残数的一个估计 357
12.2.5 误差的两边估计 359
12.3 基于超收敛后处理的后验误差估计：一维问题 360
12.3.1 模型问题 360
12.3.2 Z-Z提出的一个估计方法 361
12.3.3 两类后验误差估计因子 363
12.3.4 第三类后验误差估计因子 366
12.3.5 几类后验误差估计因子的有效指标分析 367
12.4 基于超收敛后处理的后验误差估计：二维一次元问题 368
12.4.1 基本思想 368
12.4.2 一次元后验误差估计因子的直接构作法 371
12.5 单元片应力超收敛后处理技巧 372
12.5.1 Z-Z SPR处理技巧 372
12.5.2 多维一次元的SPR处理和后验误差估计因子 374
12.5.3 二次三角元的SPR处理和后验误差估计因子 374
12.5.4 一般元的SPR处理和后验误差估计因子 375
12.6 自适应过程探讨 376
12.6.1 Z-Z的h-p自适应过程 376
12.6.2 一种新的构思——h-l-p自适应过程 377
12.6.3 单元边上的后验误差估计 378
12.6.4 p细分过程的实现 379
参考文献 381
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