第1章 矩阵基础知识 1
1.1 线性空间与线性映射 1
1.1.1 线性空间与线性子空间 1
1.1.2 Euclid空间、酉空间 5
1.1.3 线性映射及其矩阵表示 6
1.1.4 几个重要的线性子空间及其性质 9
1.2 矩阵的数值特征 10
1.2.1 秩 10
1.2.2 行列式 13
1.2.3 迹 15
1.2.4 特征值、特征向量和特征多项式 16
1.3 矩阵的标准形 19
1.3.1 等价变换下的标准形 19
1.3.2 相似变换下的Jordan标准形 20
1.3.3 相合变换下的标准形 31
1.4 半正定和正定矩阵 32
1.5 矩阵求逆公式 35
1.5.1 Leverrier-Faddeev算法 36
1.5.2 分块求逆公式 36
1.5.3 Sherman-Morrison-Woodbury公式 37
1.6 Hadamard与Kronecker积 38
1.6.1 Hadamard积及其性质 38
1.6.2 Kronecker积及其性质 40
习题 43
第2章 向量范数和矩阵范数 45
2.1 向量范数 45
2.1.1 向量范数的定义 45
2.1.2 常用向量范数 46
2.1.3 向量范数的分析性质 49
2.1.4 向量范数的代数性质 52
2.2 矩阵范数 54
2.2.1 矩阵范数的定义及分析性质 54
2.2.2 常用的矩阵范数 56
2.2.3 由向量范数诱导的矩阵范数 58
2.3 一些应用 62
2.3.1 谱半径与矩阵范数 62
2.3.2 矩阵逆与线性方程组解的扰动问题 64
2.3.3 条件数 68
习题 69
第3章 矩阵函数和矩阵微积分 71
3.1 矩阵序列和矩阵级数 71
3.1.1 矩阵序列 71
3.1.2 矩阵级数 74
3.1.3 矩阵幂级数 77
3.2 矩阵函数 79
3.2.1 矩阵函数的定义与性质 79
3.2.2 矩阵函数值的计算 82
3.3 矩阵的微分和积分 87
3.3.1 以一元函数为元素的矩阵的微积分 87
3.3.2 函数对向量的微分 91
3.3.3 函数对矩阵的微分 93
3.3.4 矩阵对矩阵的微分 101
3.4 一些应用 103
3.4.1 特征多项式系数的表示 103
3.4.2 线性常系数微分方程组的求解 105
3.4.3 矩阵最优低秩逼近 107
习题 108
第4章 矩阵分解 110
4.1 满秩分解 110
4.2 三角分解 111
4.2.1 LU分解 111
4.2.2 LDU分解 115
4.2.3 LU分解的算法 116
4.2.4 Cholesky分解 118
4.3 QR分解 119
4.3.1 QR分解 120
4.3.2 Gram-Schmidt算法及其修正 121
4.3.3 Householder变换法 123
4.3.4 Givens旋转法 126
4.4 奇异值分解 128
4.4.1 定义及性质 128
4.4.2 极分解 130
4.5 矩阵的同时对角化 131
4.5.1 Hermite矩阵和正规矩阵同时对角化 131
4.5.2 广义奇异值分解 134
4.6 一些应用 137
4.6.1 随机向量的模拟 137
4.6.2 基于QR分解的最小二乘算法 137
4.6.3 矩阵的最优逼近 139
习题 142
第5章 特征值分析 144
5.1 特征值的连续性 144
5.2 特征值的估计 145
5.2.1 特征值的界 145
5.2.2 特征值所在的区域 149
5.3 Hermite矩阵的特征值及其极性 155
5.3.1 Rayleigh商 155
5.3.2 广义Rayleigh商 159
5.3.3 特征值的分隔 160
5.3.4 Hermite扰动下的特征值 164
5.4 一些应用 167
5.4.1 与对角矩阵相似的矩阵特征值的扰动 167
5.4.2 主成分分析 169
5.4.3 概率分布的Wasserstein距离 170
习题 173
第6章 广义逆矩阵 175
6.1 投影矩阵 175
6.2 广义逆矩阵及其性质 179
6.2.1 广义逆的定义 179
6.2.2 广义逆的性质 181
6.2.3 广义逆的等价形式 184
6.2.4 广义逆的反序法则 186
6.2.5 广义逆矩阵的连续性问题 188
6.3 广义逆的计算方法 190
6.3.1 单个矩阵的广义逆 190
6.3.2 更新矩阵的广义逆 195
6.3.3 分块算法 200
6.4 一些应用 214
6.4.1 矩阵方程、线性方程组的解与广义逆 214
6.4.2 精确初始化的最小二乘递推算法 221
习题 227
第7章 矩阵不等式 229
7.1 数值特征的不等式 229
7.1.1 迹不等式 229
7.1.2 与特征值相关的不等式 235
7.2 L？wner序 238
7.2.1 A≥B 238
7.2.2 A2≥B2 246
7.2.3 几个重要不等式的矩阵形式 248
7.3 一些应用 255
7.3.1 最优线性无偏估计融合 255
7.3.2 线性最小均方误差估计的解析表达式 259
7.3.3 估计的相对效率 261
习题 263
参考文献 265
索引 267