专题一 数学史选讲 1
第1节 球体积公式的发现和证明 1
1.1中算家对球体积的探求 1
1.2古希腊学者对球体积公式的发现与证明 4
1.3球体积计算研究的启示 7
第2节 几何证题和几何解题——东西方几何研究传统的启示 13
2.1几何证题方式的演变 14
2.2几何解题的渊源及思想方法 15
2.3几何证题与几何解题的启示 18
第3节 中国古代数学瑰宝 18
3.1《九章算术》中的数学 18
3.2中国古代数学家介绍 19
第4节 近代数学两巨星——欧拉和高斯 22
4.1 18世纪的数学英雄——欧拉 22
4.2数学家之王——高斯 23
参考文献 24
习题 25
专题小结 26
附录：《普通高中数学课程标准（实验）》系列3-1：数学史选讲 28
专题二 信息安全与密码 30
第1节 保密通讯的基本常识 30
1.1保密通信 30
1.2两点说明 32
第2节 古典密码体制 34
2.1凯撒（Caesar）密码体制 34
2.2维吉尼亚（Vigenere）密码体制 36
2.3流密码体制—M序列 37
第3节 公钥密码体制 39
3.1公钥体制的思想 39
3.2 RSA公钥方案 40
3.3离散对数方案 43
3.4数论知识选讲 44
第4节 密钥管理 45
4.1密钥管理 45
4.2量子计算机和量子密码 46
阅读材料 密码学的发展史 48
参考文献 49
习题 50
专题小结 51
附录：《普通高中数学课程标准（实验）》系列3-2：信息安全与密码 53
专题三 球面上的几何 54
第1节 球面几何概述 54
1.1球面几何和球面三角学 54
1.2球面几何学的发展历程 55
1.3球面上的一些基本图形 56
阅读材料 三角学简介 58
第2节 球面三角形的性质 59
2.1球面三角形的全等定理 59
2.2球面三角形的面积公式 60
2.3球面余弦定理和勾股定理、正弦定理 61
2.4球面三角形的其他性质 64
2.5球面几何和平面几何的比较 65
阅读材料 大球面上的三角公式与平面三角公式 66
第3节 球面几何的应用 68
3.1利用球面多边形面积公式证明欧拉公式 68
3.2球面上点的确定 69
3.3实际应用一例—如何确定航线？ 70
第4节 非欧几何模型 71
4.1非欧几何的诞生 71
4.2非欧几何的球面模型 73
4.3非欧几何的庞加莱模型 74
参考文献 76
习题 77
专题小结 78
附录：《普通高中数学课程标准（实验）》系列3-3：球面上的几何 80
专题四 对称与群 82
第1节 图形的对称性 82
1.1平面图形对称性分类 82
1.2刚体运动 85
第2节 对称变换及变换的合成 88
2.1变换的定义 88
阅读材料 反演变换 89
2.2变换的合成 90
2.3对称变换的合成 90
第3节 变换群与抽象群 91
3.1图形的对称群 91
3.2抽象群的概念 93
阅读材料 群的来源 95
3.3群的表示方法—乘法表法 95
3.4构造复杂群的方法—直积法 97
第4节 对称与群的应用 98
4.1一元n次方程的根的对称多项式 98
4.2 n元多项式的对称群 101
4.3分子和晶体对称群 102
阅读材料 伽罗瓦和高次方程的解法 106
参考文献 108
习题 108
专题小结 109
附录：《普通高中数学课程标准（实验）》系列3-4：对称与群 111
专题五 欧拉公式与闭曲面分类 113
第1节 拓扑变换与拓扑不变量 113
1.1拓扑变换 113
1.2几个最简单的拓扑不变量 114
阅读材料 常见的初等几何变换 117
第2节 多面体的欧拉公式 118
2.1欧拉公式的发现 118
2.2欧拉公式的证明 119
2.3欧拉公式的应用 121
第3节 闭曲面的分类 124
3.1曲面和闭曲面的概念 124
3.2曲面的三角剖分 127
3.3曲面的欧拉示性数 129
3.4闭曲面的分类 129
阅读材料 闭曲面的分类 130
第4节 拓扑思想的一些应用 131
4.1哥尼斯堡七桥问题与一笔画问题 131
4.2地图着色问题 133
4.3布劳威尔不动点定理 134
阅读材料 布劳威尔简介 136
4.4平面布线问题 137
参考文献 138
习题 138
专题小结 139
附录：《普通高中数学课程标准（实验）》系列3-5：欧拉公式与闭曲面分类 141
专题六 三等分角与数域扩充 143
第1节 尺规作图问题 143
1.1古希腊三大几何作图问题 143
1.2尺规作图的范围 144
阅读材料 揭开《三等分角问题》的神秘面纱 147
第2节 尺规作图问题的代数化 149
2.1历史沿革 149
2.2数域扩充与几何作图 149
2.3用代数方法讨论几何作图的预备知识 151
第3节 三大几何作图问题的解 153
3.1立方倍积问题 153
3.2化圆为方问题 153
3.3三等分角问题 154
第4节 正多边形作图问题 154
4.1正七边形不可作 154
4.2正十七边形可用尺规作图 155
参考文献 157
习题 157
专题小结 158
附录：《普通高中数学课程标准（实验）》系列3-6：三等分角与数域扩充 160
专题七 算法初步 162
第1节 算法的起源 162
1.1算法产生的历史背景和沿革 162
1.2算法的发展及应用 164
第2节 算法的基本知识 165
2.1算法的概念 165
2.2算法的特性 166
2.3算法的表示 166
2.4算法的构成要素 169
2.5算法的性能分析 170
第3节 基本算法的语句 170
3.1 C语言语句 170
3.2 MATLAB程序语句 172
第4节 算法的应用及意义 174
4.1古代数学的算法举例 174
阅读材料 开方数与无理数 177
4.2计算机的算法举例 178
阅读材料 高斯（Causs）消去法 181
4.3高中数学算法举例 183
4.4学习算法的意义 184
参考文献 185
习题 186
专题小结 186
附录：《普通高中数学课程标准（实验）》必修课程数学3 188
专题八 矩阵与变换 191
第1节 矩阵的运算和变换 191
1.1矩阵的概念 191
1.2矩阵表示网络图 193
1.3矩阵的运算与变换矩阵 196
第2节 变换矩阵及变换的复合 199
2.1几类重要的变换矩阵 199
2.2复合变换 205
第3节 矩阵与线性方程组 207
3.1逆矩阵 207
3.2行列式 209
3.3用矩阵解线性方程组 212
第4节 变换的不变量 216
4.1特征值与特征向量 216
4.2特征值和特征向量的应用 217
阅读材料 足球联赛成绩排序的算法 220
参考文献 223
习题 224
专题小结 225
附录：《普通高中数学课程标准（实验）》系列4-2：矩阵与变换 227
专题九 优选法与试验设计初步 229
第1节 单因素问题的优选法（一）——0.618法、分数法、对分法 229
1.1优选的数学模型与方法 229
1.2黄金分割法 230
1.3分数法 233
1.4对分法 237
第2节 单因素问题的优选法（二）——分批实验法、爬山法及多峰情况 237
2.1分批实验法 237
2.2爬山法 240
2.3多峰情况 240
第3节 双因素优选法 241
3.1纵横对折法 241
3.2从好点出发法 242
3.3平行法 243
第4节 正交试验设计 244
4.1指标、因素、水平 244
4.2正交表 245
4.3用正交表安排试验 246
4.4用正交表分析试验结果——极差分析 248
参考文献 251
习题 251
专题小结 253
附录一：分数法的证明 254
附录二：常用正交表 258
附录：《普通高中数学课程标准（实验）》系列4-7：优选法与试验设计初步 260
专题十 统筹法与图论初步 262
第1节 统筹法及其发展 262
1.1统筹法及其发展 263
1.2统筹法的基本概念 264
第2节 统筹图的绘制 265
2.1图的基本概念 265
2.2统筹图的绘制方法 267
第3节 关键路线（CP）的概念及其算法 272
3.1关键路线的概念 272
3.2顺序计算各结点最早可能开始时间，找出关键路线 273
3.3反序计算各结点最迟必须开始时间 274
3.4事项时间 275
3.5工序时间 277
3.6工序总时差（R）和单时差（r）的计算公式 277
第4节 图论初步 279
4.1图的实际背景 279
4.2几个相关概念 280
参考文献 286
习题 286
专题小结 289
附录：《普通高中数学课程标准（实验）》系列4-8：统筹法与图论初步 290
专题十一 风险与决策 292
第1节 决策问题与决策分析 292
1.1决策与决策分析 292
1.2决策问题中的基本概念 294
1.3确定型决策的条件 296
1.4风险型决策的条件 296
1.5不确定性决策方法 297
第2节 风险型决策方法 299
2.1风险型决策的期望值法 299
2.2决策树方法 300
2.3界差与最优方案的评定 303
第3节 风险决策灵敏度分析与效用理论 304
3.1灵敏度分析的意义 304
3.2转折概率 305
3.3效用理论 305
第4节 马尔柯夫型决策与决策方法 306
4.1马尔柯夫链 307
4.2转移概率和转移概率矩阵 308
4.3马尔柯夫型问题的决策方法 309
阅读材料概率的解释——客观概率与主观概率 312
参考文献 313
习题 313
专题小结 315
附录：《普通高中数学课程标准（实验）》系列4-9：风险与决策 317
专题十二 开关电路与布尔代数 318
第1节 开关电路 318
1.1开关的串联、并联及反演 318
1.2电路状态及状态运算 320
1.3电路函数与电路多项式 320
第2节 命题演算 321
2.1命题及逻辑联结词 322
2.2命题公式及真值表 324
2.3语句的形式化 325
第3节 布尔代数与布尔多项式 328
3.1布尔代数的定义与性质 328
3.2布尔多项式及其化简 329
3.3布尔函数及其标准形式 330
3.4布尔函数的范式 331
第4节 布尔代数及其应用 333
4.1布尔代数在开关电路中的应用 333
4.2布尔代数的发展历程 336
4.3布尔代数的抽象定义及布尔代数举例 337
参考文献 338
习题 339
专题小结 340
附录：《普通高中数学课程标准（实验）》系列4-10：开关电路与布尔代数 341
参考答案 343