第1章 绪论 1
1.1计算方法的研究内容与意义 2
1.2误差 3
1.2.1误差来源 4
1.2.2误差、误差限与有效数字 6
1.2.3误差的积累与传播 10
1.3设计计算方法的基本原则 15
本章小结 18
复习题 19
第2章 非线性方程的数值解法 21
2.1二分算法 22
2.1.1二分法 22
2.1.2线性插值二分法 26
2.2迭代法 28
2.2.1一般迭代法 28
2.2.2迭代算法理论 32
2.2.3加速收敛迭代法 36
2.3牛顿法 42
2.4弦截法 47
2.5抛物线法 49
2.6解非线性方程组的迭代法 51
本章小结 53
复习题 55
上机实验题 57
第3章 线性方程组的数值解法 59
3.1高斯算法 61
3.1.1高斯消去法 61
3.1.2列主元高斯消去法 66
3.1.3高斯-若当消去法 69
3.2矩阵分解法 73
3.2.1LU分解法 73
3.2.2LDLT分解法和LLT分解法 78
3.2.3追赶法 87
3.3矩阵求逆及行列式的运算 90
3.4向量与矩阵的范数 93
3.5线性方程组的病态性及误差分析 98
3.6线性方程组的迭代解法 104
3.6.1迭代法的基本概念 105
3.6.2雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法 107
3.6.3松弛迭代法 114
本章小结 117
复习题 120
上机实验题 122
第4章 矩阵的特征值和特征向量 123
4.1矩阵的特征值和特征向量 124
4.1.1背景知识 124
4.1.2特征值与特征向量 125
4.1.3特征值的范围 127
4.2幂方法与反幂法 130
4.2.1幂方法求按模最大的特征值和对应的特征向量 130
4.2.2反幂法 133
4.2.3幂方法的收敛性分析与加速技术 135
4.3雅可比方法 138
4.3.1雅可比方法的理论基础 139
4.3.2旋转矩阵和旋转变换 140
4.3.3雅可比方法 144
4.3.4雅可比方法的收敛性 147
4.4QR方法 148
4.4.1QR分解 148
4.4.2基本QR方法 152
本章小结 153
复习题 154
上机实验题 155
第5章 插值 157
5.1插值的基本概念 158
5.2拉格朗日插值多项式 160
5.2.1线性插值 160
5.2.2二次插值 163
5.2.3n次拉格朗日插值多项式 165
5.3牛顿插值多项式 168
5.3.1差商 168
5.3.2牛顿插值多项式 171
5.3.3差分与等距节点的牛顿插值公式 173
5.4埃尔米特插值 178
5.4.1三次埃尔米特插值 178
5.4.22n+1次埃尔米特插值 182
5.5分段插值 182
5.5.1分段线性插值 183
5.5.2分段三次埃尔米特插值 185
5.6样条插值 186
5.6.1样条函数 186
5.6.2三次样条函数 187
本章小结 194
复习题 196
上机实验题 198
第6章 拟合 199
6.1拟合的基本概念与最小二乘原理 200
6.2解线性超定方程组 204
6.3离散最小二乘拟合问题的一般解法 206
6.3.1线性组合模型下最小二乘拟合的一般解法 207
6.3.2常用线性组合模型的最小二乘解 210
6.3.3非线性组合模型的最小二乘拟合 214
6.4离散正交多项式的拟合 217
6.5广义最小二乘拟合问题 220
6.5.1广义的多项式拟合 220
6.5.2正交多项式拟合 223
本章小结 226
复习题 227
上机实验题 228
第7章 数值积分 231
7.1数值积分的基本概念 232
7.2梯形公式 233
7.2.1梯形公式积分方法 233
7.2.2梯形公式的误差分析 234
7.3辛普森公式 234
7.3.1辛普森公式积分方法 234
7.3.2辛普森公式的误差分析 236
7.4牛顿-柯特斯公式 238
7.4.1牛顿-柯特斯公式积分方法 238
7.4.2牛顿-柯特斯公式的误差分析 240
7.5复合积分公式 241
7.5.1复合梯形积分公式 241
7.5.2复合辛普森积分公式 243
7.5.3自适应变步长的复合求积方法 245
7.6龙贝格公式 247
7.7高斯型积分公式 251
7.7.1高斯型积分公式的一般形式 251
7.7.2高斯-勒让德积分公式 254
本章小结 256
复习题 258
上机实验题 259
第8章 数值微分 261
8.1差商法求导数 262
8.2拉格朗日插值法求导数 265
8.2.1基本概念 265
8.2.2两点微分公式 265
8.2.3三点微分公式 266
8.2.4n+1个插值点的微分公式 269
8.3样条插值法求导数 270
本章小结 271
复习题 272
上机实验题 273
第9章 常微分方程的数值解法 275
9.1常微分方程的基本概念 276
9.2欧拉方法求解初值问题 278
9.2.1向前欧拉法 279
9.2.2改进的欧拉法 281
9.2.3向后欧拉法 285
9.2.4欧拉法与改进的欧拉法的误差分析 286
9.2.5向前／向后欧拉法的收敛性与稳定性分析 288
9.3龙格-库塔方法 290
9.3.1二阶龙格-库塔方法 290
9.3.2四阶龙格-库塔方法 291
9.3.3龙格-库塔方法的误差与最优步长分析 296
9.4其他求解常微分方程初值问题的数值方法 297
9.4.1泰勒级数法 297
9.4.2预测-校正法 298
9.5微分方程组和高阶微分方程 302
9.5.1微分方程组 302
9.5.2高阶常微分方程 306
9.6常微分方程的边值问题 308
9.6.1边值问题的基本概念 308
9.6.2线性打靶法 309
9.6.3有限差分法 312
本章小结 314
复习题 316
上机实验题 318
第10章 现代计算方法简介 319
10.1现代计算方法概述 320
10.2禁忌搜索 321
10.2.1算法概念与原理 321
10.2.2算法流程与应用举例 322
10.2.3算法发展与应用 325
10.3模拟退火 326
10.3.1算法概念与原理 326
10.3.2算法流程与应用举例 327
10.3.3算法发展与应用 330
10.4神经网络 331
10.4.1神经网络的原理与兴起 331
10.4.2后向传播前馈型神经网络 332
10.4.3神经网络的发展与应用 336
10.5遗传算法 337
10.5.1算法来源 337
10.5.2算法流程与应用举例 337
10.5.3遗传算法的发展与应用 344
10.6蚁群优化 344
10.6.1算法来源 344
10.6.2算法流程与应用举例 345
10.6.3算法发展与应用 348
10.7粒子群优化 349
10.7.1算法来源 349
10.7.2算法流程与应用举例 350
10.7.3算法发展与应用 351
本章小结 353
复习题 356
上机实验题 356
名词索引 357
参考文献 361