第1章 整数 1
1．1 交换环·整环 1
1．2 交换环的基本性质 2
1．3 有序整环的性质 7
1．4 良序原则 9
1．5 数学归纳法·指数定律 10
1．6 可除性 13
1．7 欧几里得算法 14
1．8 算术基本定理 18
1．9 同余式 20
1．10 环Z 23
1．11 集合·函数·关系 26
1．12 同构与自同构 29
第2章 有理数和域 31
2．1 域的定义 31
2．2 有理数域的构造 35
2．3 联立线性方程 39
2．4 有序域 43
2．5 正整数公设 45
2．6 皮亚诺公设 48
第3章 多项式 52
3．1 多项式形式 52
3．2 多项式函数 55
3．3 交换环的同态 59
3．4 多元多项式 61
3．5 辗转相除法 63
3．6 单位与相伴 65
3．7 不可约多项式 67
3．8 唯一因子分解定理 69
3．9 其他唯一因子分解整环 72
3．10 爱森斯坦不可约判别准则 76
3．11 部分分式 78
第4章 实数 82
4．1 毕达哥拉斯二难推论 82
4．2 上界与下界 83
4．3 实数公设 85
4．4 多项式方程的根 87
4．5 戴德金分割 90
第5章 复数 94
5．1 复数的定义 94
5．2 复平面 96
5．3 代数基本定理 99
5．4 共轭数与实多项式 102
5．5 二次方程与三次方程 104
5．6 四次方程的根式解法 106
5．7 稳定型方程 107
第6章 群 109
6．1 正方形的对称 109
6．2 变换群 111
6．3 其他例子 115
6．4 抽象群 117
6．5 同构 120
6．6 循环群 123
6．7 子群 126
6．8 拉格朗日定理 128
6．9 置换群 131
6．1 0偶置换与奇置换 134
6．1 1同态 136
6．1 2自同构·共轭元素 138
6．1 3商群 141
6．1 4等价关系与同余关系 144
第7章 向量与向量空间 147
7．1 平面向量 147
7．2 推广 148
7．3 向量空间与子空间 150
7．4 线性无关与维数 153
7．5 矩阵与行等价 157
7．6 线性相关的检验 159
7．7 向量方程·齐次方程 163
7．8 基与坐标系 167
7．9 内积 172
7．10 欧几里得向量空间 174
7．11 标准正交基 177
7．12 商空间 179
7．13 线性函数与对偶空间 181
第8章 矩阵代数 186
8．1 线性变换与矩阵 186
8．2 矩阵加法 192
8．3 矩阵乘法 193
8．4 对角矩阵·置换矩阵·三角形矩阵 198
8．5 长方矩阵 201
8．6 逆矩阵 205
8．7 秩与零度 210
8．8 初等矩阵 212
8．9 等价与标准型 216
8．10 双线性函数与张量积 218
8．11 四元数 222
第9章 线性群 226
9．1 基的变换 226
9．2 相似矩阵与特征向量 228
9．3 全线性群与仿射群 233
9．4 正交群与欧几里得群 236
9．5 不变量与标准型 240
9．6 线性型与双线性型 242
9．7 二次型 245
9．8 全线性群之下的二次型 247
9．9 全线性群之下的实二次型 250
9．10 正交群之下的二次型 252
9．11 仿射群和欧几里得群之下的二次型 256
9．12 酉矩阵与埃尔米特矩阵 260
9．13 仿射几何 263
9．14 射影几何 270
第10章 行列式与标准型 275
10．1 行列式的定义和基本性质 275
10．2 行列式的乘积 279
10．3 作为体积的行列式 282
10．4 特征多项式 286
10．5 极小多项式 290
10．6 凯莱-哈密顿定理 294
10．7 不变子空间与可约性 295
10．8 第一分解定理 299
10．9 第二分解定理 301
10．10 有理标准型与若当标准型 304
第11章 布尔代数与格 307
11．1 基本定义 307
11．2 定律：同算术定律类比 308
11．3 布尔代数 310
11．4 其他基本定律的推导 313
11．5 布尔多项式的标准型 315
11．6 半序 318
11．7 格 320
11．8 集合表示 323
第12章 超限算术 327
12．1 数与集合 327
12．2 可数集 329
12．3 其他基数 331
12．4 基数的加法与乘法 334
12．5 取幂 335
第13章 环与理想 338
13．1 环 338
13．2 同态 341
13．3 商环 345
13．4 理想的代数 347
13．5 多项式理想 350
13．6 线性代数中的理想 353
13．7 环的特征 355
13．8 域的特征 357
第14章 代数数域 359
14．1 代数扩张与超越扩张 359
14．2 域上的代数元素 361
14．3 根的添加 363
14．4 次数与有限扩张 365
14．5 多重代数扩张 368
14．6 代数数 371
14．7 高斯整数 374
14．8 代数整数 377
14．9 代数整数的和与积 379
14．10 二次代数整数的因子分解 381
第15章 伽罗瓦理论 385
15．1 方程的根域 385
15．2 唯一性定理 387
15．3 有限域 388
15．4 伽罗瓦群 391
15．5 可分多项式与不可分多项式 395
15．6 伽罗瓦群的性质 397
15．7 子群与子域 399
15．8 三次不可约方程 402
15．9 五次方程的不可解性 406
参考文献 410
数学符号表 413
索引 416