第一章 微分方程 3
第一节 一阶线性微分方程及其解法 3
一、关于微分方程的一些基本知识 3
二、一阶线性微分方程 5
三、求解非齐次微分方程特解的一般方法 10
四、微分方程的几种解法 11
五、一阶微分方程的相位图及动态稳定性 14
第二节 二阶线性微分方程 16
一、高阶线性微分方程求解的理论基础 16
二、二阶非齐次线性微分方程的形式及特殊积分 18
三、二阶非齐次线性微分方程的余函数 19
四、二阶非齐次线性微分方程的通解 21
五、动态稳定性分析 22
六、具有可变项的二阶线性微分方程 24
第三节 微分方程的简化处理 26
一、二阶微分方程化为一阶微分方程组 26
二、非线性微分方程的线性近似 27
三、对数线性化（对数线性近似） 27
附录：将余函数的指数形式转化为三角函数形式 30
第二章 微分方程组 33
第一节 一阶线性微分方程组 33
一、线性微分方程组求解的基础理论 33
二、一阶线性微分方程组 35
三、一般一阶线性微分方程组 45
第二节 线性微分方程组的动态稳定性 48
一、动态稳定性分析的一些基础概念 48
二、均衡的分类 50
三、均衡动态稳定性的条件 53
四、鞍点均衡及其动态稳定性 55
五、一般线性微分方程组的动态稳定性 58
第三节 一阶非线性微分方程组 59
一、非线性微分方程组的相位图分析 59
二、非线性微分方程组线性化及局部稳定性 61
第三章 差分方程 65
第一节 一阶线性差分方程 65
一、差分方程及相关概念 65
二、一阶常系数常数项线性差分方程 66
三、一阶常系数可变项线性差分方程 69
四、一阶线性差分方程的前向解、后向解 70
五、一阶线性差分方程的动态稳定性 72
六、一阶非线性差分方程 75
第二节 二阶线性差分方程 76
一、高阶线性差分方程求解的理论基础 76
二、二阶线性差分方程及其特殊积分 78
三、二阶线性差分方程的余函数与通解 79
四、二阶线性差分方程的动态稳定性 80
五、具有可变项的二阶线性差分方程 81
第三节 线性差分方程与滞后算子 82
一、时间序列算子与滞后算子 82
二、一阶线性差分方程的滞后算子解法 84
三、二阶线性差分方程的滞后算子解法 86
四、n阶线性差分方程的滞后算子解法 90
第四节 线性随机差分方程 92
一、线性随机差分方程 93
二、协方差生成函数与谱密度函数的计算公式 95
三、一阶线性随机差分方程 98
四、二阶线性随机差分方程 100
第五节 线性条件期望差分方程 102
一、线性条件期望差分方程概述 102
二、一阶线性条件期望差分方程 103
三、二阶线性条件期望差分方程 105
附录一：随机过程简介 108
一、随机过程 108
二、随机过程的数字特征 110
三、马尔可夫链与马尔可夫过程 112
附录二：鞅理论 113
一、鞅的含义 113
二、鞅差序列 115
附录三：时间序列分析与白噪声过程 116
一、时间序列分析 116
二、白噪声过程 116
三、平稳时间序列的线性模型 117
四、单位根过程与随机游走过程 119
附录四：协方差生成函数和谱密度函数 120
一、平稳随机过程的自协方差生成函数 120
二、平稳随机过程的谱密度函数 122
三、互协方差生成函数和互谱密度函数 125
附录五：傅立叶变换 128
一、序列傅立叶变换 129
二、Z变换 130
第四章 差分方程组 132
第一节 一阶线性差分方程组 132
一、一阶线性差分方程组 133
二、一般一阶线性差分方程组 138
第二节 差分方程组的动态稳定性 140
一、线性差分方程组的动态稳定性 140
二、非线性差分方程组 143
第五章 变分法 149
第一节 动态最优化与变分法 149
一、动态最优化与泛函 149
二、泛函的变分 152
三、泛函的极值与变分法 153
四、欧拉方程：泛函极值的必要条件 154
五、泛函极值的充分条件 157
第二节 不同情形下的泛函极值 158
一、欧拉方程的不同形式 158
二、多变量下的欧拉方程 159
三、可变端点下的泛函极值 160
四、泛函极值的角点问题 163
五、无限期界的泛函极值 164
六、有约束的泛函极值 166
附录一：用求导方法推导欧拉方程 167
附录二：矩阵的主子式与顺序主子式 168
附录三：海赛矩阵与海赛行列式 170
第六章 最优控制论 172
第一节 最优控制问题及其解法 172
一、最优控制问题：变分法与极大值原理 172
二、经济学中的最优控制论 177
三、最优控制论必要条件的推导 181
四、变分法与最优控制论最优性条件的等价性 183
第二节 最优控制论的扩展 184
一、不同边界条件的最优控制问题 185
二、目标泛函含终值项的最优控制问题 189
第三节 最优控制问题的经济学情形 190
一、含贴现的最优控制问题 190
二、无限期界的最优控制问题 192
第四节 有约束的最优控制问题 195
一、最优控制问题中约束条件的类型 195
二、一般泛函的不等式约束 196
三、积分泛函的等式约束 197
第五节 离散时间的最优控制问题 199
一、离散时间的最优控制问题 199
二、含贴现的离散时间最优控制问题 202
附录：含参变量积分及其求导 204
第七章 动态规划 207
第一节 确定性下的动态规划 207
一、动态规划原理与贝尔曼方程 207
二、离散系统有限期界的动态规划 210
三、离散系统动态规划的经济学情形 214
四、连续系统有限期界的动态规划 217
五、连续系统动态规划的经济学情形 219
第二节 随机动态规划 221
一、离散系统随机动态规划的经济学情形 221
二、布朗运动 225
三、随机积分 228
四、伊藤积分 231
五、伊藤随机微分方程与伊藤引理 232
六、连续系统有限期界的随机动态规划 236
七、连续系统随机动态规划的经济学情形 239
附录一：斯蒂尔切斯积分简介 242
附录二：随机变量的数学期望及性质 242
附录三：随机变量的条件期望及其性质 244
附录四：随机变量函数的期望和条件期望 245
第八章 线性二次型动态最优化 247
第一节 线性二次型问题 247
一、线性二次型问题及其优势 248
二、线性二次型问题的三种情形 251
三、经济学对线性二次型问题的应用 252
第二节 线性二次型动态最优化 254
一、连续定常系统的线性状态调节器问题 254
二、离散定常系统的线性状态调节器问题 261
三、离散系统贴现的线性状态调节器问题 264
四、闭环系统的稳定性 267
第三节 黎卡提方程的部分解法 269
一、迭代法：逆向迭代 269
二、迭代法：正向迭代 270
三、用拉格朗日函数求解矩阵P 271
附录一：分块矩阵的逆矩阵 277
附录二：矩阵和向量的求导 278
附录三：矩阵的迹函数求导 280
第九章 卡尔曼滤波与随机线性二次型问题 282
第一节 状态信息完全的随机线性状态调节器 283
一、随机线性状态调节器的极大化问题 283
二、用动态规划解随机线性状态调节器 284
三、确定性等价原理 286
第二节 线性最小方差估计与投影理论 287
一、随机向量的正交、不相关和相互独立 287
二、最优估计与最小方差估计 290
三、线性最小方差估计 291
四、线性最小方差估计的性质 294
五、线性最小方差估计的经济学应用 295
六、投影理论 298
七、在变量自身的滞后值上的正交投影 304
第三节 卡尔曼滤波与卡尔曼预测 306
一、卡尔曼滤波的基本方程 306
二、卡尔曼滤波基本方程的推导 308
三、卡尔曼预测：最优估计的经济学应用 313
第四节 含确定性控制的卡尔曼估计 316
一、含确定性控制的卡尔曼滤波 316
二、含确定性控制的卡尔曼预测 321
三、含确定性控制噪声无关的卡尔曼估计 321
四、稳态卡尔曼估计 324
第五节 状态信息不完全的随机线性状态调节器 326
一、随机线性状态调节器模型的基本假定 326
二、用动态规划解随机线性状态调节器 329
三、随机线性状态调节器的分离定理 333
四、线性状态调节器的经济学应用：线性二次逼近 334
附录：正态分布的随机向量（多元正态分布） 338
参考文献 344