偏微分方程与计算机介绍 1
1有关偏微分方程分类的注记 1
2方程组和单个方程 7
3数字计算系统的性质 8
3．1台式计算 8
3．2穿孔卡片计算机 10
3．3自动数字计算机 10
3．4偏微分方程提出的要求 13
1．二个自变量的双曲型方程 16
4方程utt-uxx=0的有限差分近似 16
4．1 utt-uxx= 0的最简单初值问题的解 16
4．2一个近似的差分方程 17
4．3λ＜1时差分方程的显式解 20
4．4用有限Fourier级数表示差分方程的解 25
4．5向微分问题的解的收敛性 26
4．6稳定性 28
5稳定性概念的进一步说明 31
5．1定义与简单的例子 31
5．2对波动方程的应用 38
6 双曲型微分方程组及其特征线 41
6．1正规形式 41
6．2例 44
6．3 n=2时的典型微分方程组 46
6．4关于初值问题的注 48
7拟线性双曲型方程组的有限差分方法 53
7．1方法的叙述 53
7．2证明差分近似收敛性的一个一般方法 58
7．3双曲型组的差分格式的收敛性 62
7．4 在曲线网内的差分 66
7．5舍入误差 68
8 沿特征线的积分法 69
8．1 Massau方法 69
8．2二阶的拟线性方程 71
8．3对于n个因变数的另一积分方法 72
9用Adams方法的积分法 74
10激波 78
10．1激波的概念 78
10．2含有激波的问题的数值解 80
10．3用模拟的粘性项来计算激波波阵面 84
10．4粘滞流的真实方程的积分法 89
10．5 Lax的差分方法 92
2．抛物型方程 95
11最简单的热流动问题 95
11．1绪言 95
11．2初值问题的解 96
12最简单的有限差分近似 99
12．1稳定性条件 99
12．2收敛性与离散化误差 103
13在有限区间内的线性问题 107
13．1微分问题 107
13．2一个有限差分近似 108
13．3一个隐式方法 110
13．4隐式差分方程的解 112
13．5隐式方法的收敛性 114
14更一般的二个变数的线性抛物型问题：显式方法 117
14．1显式的形式差分近似 117
14．2用迭加法解非齐次楼性差分问题 118
14．3正型差分式的有界性与稳定性 121
14．4 John的有界性条件 124
15线性问题的其他显式与隐式方法 130
15．1对隐式方法的一个更一般的处理 130
15．2用二条以上格线的显式方法 136
15．3高阶的问题 143
16收敛性的其他定义.Lax与Richtmyer的理论 146
16．1关于泛函分析的注记 146
16．2在Lax与Richtmyer意义下的收敛性与稳定性 147
17非线性问题 150
17．1半性方程 150
17．2其他抛物型问题的例子 152
3．椭圆型方程 160
18含有椭圆型偏微分方程的一些数值问题 160
18．1一般的Laplace边值问题 161
18．2排水问题 162
18．3石油流动问题 164
18．4应力问题 167
18．5边界层问题 168
18．6薄膜的特征值问题 169
18．7简单的核反应堆问题 170
18．8双调和特征值问题 172
18．9 Plateau问题 172
18．10波动方程的特征值问题 173
19从椭圆型偏微分方程论中选取的结果 173
19．1变分公式 174
19．2某些特征值问题的变分公式 180
19．3自伴性 182
19．4交接面条件 186
19．5最大模原理 190
20椭圆型差分方程问题的形成 191
20．1离散化及由此产生的问题 191
20．2直线法 194
20．3要离散化的问题的类型 195
20．4不规则网格 195
20．5建立差分方程的变分方法 199
20．6正方形网格：导数的逼近 202
20．7正方形网格：L （u）和Δu的逼近 208
20．8应用变分方法于核扩散方程 215
20．9 Dirichlet边值条件的处理 218
20．10法向导数边值条件 222
20．11奇点和自由边界 224
21解椭圆型差分方程的古典理论 225
21．1差分方程作为矩阵方程 225
21．2消去法 229
21．3迭代法 235
21．4同时位移法；斜量法 242
21．5 Richardson方法 249
21．6逐个位移法 259
21．7 Gauss-Southwell松弛 266
22显式和隐式超松弛法 268
22．1逐个超松弛法的Young-Frankel理论 268
22．2没有性质（A）的超松弛 287
22．3隐式方法：线超松弛 295
22．4隐式交替方向法 3
22．5正方形区域收敛速度的总结 313
23离散化和舍入误差 314
23．1 Gerschgorin方法 314
23．2一个带有Stieltjes核的积分方程 320
23．3积分方程的解的一个估计 327
23．4离散化误差的估计 329
23．5关于线性Dirichlet问题的离散化误差的某些进一步结果摘要 340
23．6离散的Dirichlet问题的Green函数 348
23．7关于Neumann问题和第三边值问题的离散化误差 353
23．8解Dirichlet差分问题中的舍入误差 354
23．9舍入误差的概率估计 361
24薄膜的特征值问题 365
24．1引言 365
24．2用差分方法得到的上界 367
24．3标准L形薄膜 371
24．4用差分方程得到的下界：Weinberger方法 373
24．5用差分方程得到的渐近下界 377
24．6定理24．7的证明 382
24．7用L形薄膜的试验 391
24．8有限特征值问题的数值解法 393
25在自动数字计算机上解椭圆型偏差分方程 398
25．1在数字计算机上得到方程 398
25．2当C为曲线时得到差分方程 402
25．3一个求积的服务性程序的计划 405
25．4等级网格的使用 406
25．5逐个超松弛：ω的估计 410
25．6逐个超松弛：需要的时间 416
25．7解差分方程的其他方法 418
25．8在计算机上解特征值问题 419
25．9在计算机上解Neumann问题 420
4．含多于两个自变量的初值问题 421
26波动方程 421
26．1微分方程 421
26．2最简单的差分近似 424
27多维情形的特征 426
28一个气象预报问题 429
28．1直接从原始方程组预报 431
28．2预报方法的修改 432
28．3一维模型 434
28．4二维模型 436
28．5“逆风”差分方程 442
28．6三个空间维 445
29关于差分方程和微分方程的Fourier方法的一般讨论 445
29．1问题 445
29．2用Fourier级数求显式解 449
29．3 U（x，t）向u （x，t）的收敛性 451
29．4稳定性 454
29．5怎样检验稳定性和收敛性 455
30 Peaceman-Rachford方法 458
30．1一般的描述 458
30．2对二维热流方程的应用 459
参考文献 461
索引 479