1极限与连续 1
1.1极限的概念与性质 1
1.1.1极限的基本概念 1
1.1.2极限的性质与法则 6
1.1.3函数、数列、子数列之间的关系 10
1.2函数的连续性 13
1.2.1函数连续的概念与性质 13
1.2.2函数间断的概念 15
1.2.3闭区间上连续函数的性质及其应用 20
1.3极限存在的准则 24
1.4极限的计算 31
1.4.1基本型不定式极限的计算 31
1.4.2幂指函数极限的计算 37
1.4.3极限中参数的确定 39
2一元函数导数的概念与计算 44
2.1导数与微分的概念 44
2.1.1一元函数导数的定义 44
2.1.2一元函数导数的基本性质 50
2.1.3分段函数的可导性讨论 52
2.1.4微分的定义 55
2.2一元函数导数的计算 57
2.2.1基本类型函数的导数计算与应用 57
2.2.2高阶导数的计算 66
3微分中值定理及其应用 71
3.1微分中值定理 71
3.1.1微分中值定理的分析 71
3.1.2泰勒定理与泰勒公式的建立 74
3.2微分中值定理的若干应用 77
3.2.1函数与其导数之间的关系 77
3.2.2微分中值定理的中值的若干问题 81
3.2.3利用微分中值定理证明不等式 85
3.2.4利用洛必达法则求极限 87
3.2.5泰勒公式的若干应用 92
3.3利用微分中值定理讨论方程的实根 99
4一元函数及其性态分析 112
4.1函数 112
4.1.1函数的概念 112
4.1.2函数的构造 116
4.2一元函数性态的分析 118
4.2.1函数的单调性与极值 119
4.2.2曲线的凹向性 122
4.2.3函数性态的综合分析 125
4.2.4函数的最优值问题 131
4.3函数性态分析的应用 134
4.3.1结合函数性态分析讨论方程的实根 134
4.3.2利用函数性态分析证明不等式 136
5一元函数积分的概念与性质 143
5.1一元函数积分的概念与性质 143
5.1.1不定积分与定积分的概念 143
5.1.2不定积分与定积分的性质 147
5.1.3广义积分的概念与性质 150
5.2变限定积分 155
5.2.1变限定积分函数的概念与性质 155
5.2.2变限定积分函数的性态分析 158
5.2.3含有变限定积分的极限的计算 162
5.2.4变限定积分函数的连续性与可导性 167
5.2.5变限定积分的导数与积分的计算 169
5.3定积分的证明 174
5.3.1定积分的若干证明 174
5.3.2结合定积分性质讨论方程的实根 182
5.3.3定积分不等式的证明 188
6一元函数积分的计算与应用 203
6.1一元函数积分的计算 203
6.1.1不定积分的计算 203
6.1.2定积分的计算 215
6.1.3分段函数积分的计算 224
6.1.4广义积分的计算 229
6.2定积分的应用 233
6.2.1定积分在几何中的应用 234
6.2.2定积分在物理中的应用 246
7无穷级数 257
7.1无穷级数的基本概念与性质 257
7.1.1无穷级数敛散性的定义 257
7.1.2无穷级数的基本性质 262
7.2无穷级数敛散性的判断 265
7.2.1无穷级数敛散性的判别 265
7.2.2利用无穷级数讨论数列极限的存在性 284
8幂级数与傅里叶级数 288
8.1幂级数的收敛域及其和函数 288
8.1.1幂级数收敛域的确定 288
8.1.2幂级数和函数的求取 294
8.1.3数项级数和值的求取 301
8.1.4幂级数的和函数与微分方程 305
8.2函数的幂级数展开 308
8.3函数的傅里叶级数展开 317
8.3.1函数的傅里叶系数与傅里叶级数 317
8.3.2傅里叶级数的收敛定理 317
8.3.3以2l为周期的函数的傅里叶级数的展开 318
8.3.4定义在［0，l］上函数的傅里叶级数的展开 322
9多元函数微分学 327
9.1多元函数的基本概念与性质 327
9.1.1多元函数 327
9.1.2多元函数的极限与连续 329
9.1.3多元函数的偏导数 333
9.1.4全微分 338
9.2偏导数与全微分的计算 342
9.2.1多元函数在给定点处的偏导数与全微分 342
9.2.2多元复合函数的偏导数 344
9.2.3隐函数的偏导数 350
9.2.4通过变量变换化简微分方程 354
9.2.5偏导数与微分方程 356
9.3多元函数的优化问题 357
9.3.1多元函数的极值问题 357
9.3.2多元函数的最优值问题 359
9.3.3利用多元函数最优化的方法证明不等式 364
10重积分 367
10.1二重积分 367
10.1.1二重积分的概念与性质 367
10.1.2二重积分的计算 378
10.1.3二重积分的不等式 387
10.1.4广义二重积分的概念与计算 393
10.1.5二重积分的应用 396
10.2三重积分 403
10.2.1三重积分的概念与性质 403
10.2.2三重积分的计算与应用 410
11矢量代数·解析几何·场论初步 421
11.1矢量代数 421
11.2空间解析几何 426
11.2.1平面与直线 426
11.2.2空间曲面及其方程 435
11.2.3空间曲线及其方程 437
11.3场论初步 441
12曲面积分与曲线积分 450
12.1第一类曲线积分与曲面积分 450
12.1.1第一类曲线积分 450
12.1.2第一类曲面积分 455
12.2第二类曲面积分 463
12.2.1第二类曲面积分的概念与性质 463
12.2.2第二类曲面积分的计算 464
12.3第二类曲线积分 476
12.3.1第二类曲线积分的概念与性质 476
12.3.2第二类曲线积分的计算 478
12.3.3平面曲线积分与路径无关 494
13常微分方程 504
13.1常微分方程的基本概念及其解的性质 504
13.1.1常微分方程的基本概念 504
13.1.2线性微分方程解的性质与解的结构理论 507
13.2一阶微分方程 509
13.2.1一阶线性微分方程 509
13.2.2一阶非线性微分方程 518
13.2.3一阶微分方程的应用 526
13.3高阶微分方程 530
13.3.1常系数线性微分方程 530
13.3.2变系数线性微分方程 546
13.3.3非线性微分方程 553
14经济学中的若干数学问题 559
14.1微积分在经济学中的应用 559
14.1.1极限在经济问题中的应用 559
14.1.2导数在经济问题中的应用 560
14.1.3积分在经济问题中的应用 566
14.1.4最优化原则在经济问题中的应用 569
14.2差分方程 573
14.2.1差分与差分方程的基本概念 573
14.2.2一阶常系数线性差分方程的求解 574
附录A数学思想与创新思维选读 580
A1特殊与一般 580
A1.1特殊与一般 580
A1.2两种常用的化归思维方法 581
A1.3关系映射反演方法 582
A1.4函数构造 583
A2分解与组合 584
A2.1分解 584
A2.2组合 586
A3联想、类比、归纳与演绎 587
A3.1联想与类比 587
A3.2归纳与演绎 589
A4思维 590
A4.1思维 590
A4.2同向思维与逆向思维 591
A4.3对偶结构思维 593
A4.4非逻辑思维 593
A5抽象 596
A5.1抽象与数学抽象 596
A5.2弱抽象与强抽象 597
A6数学中的美学 599
A6.1美学 599
A6.2数学美 599
A6.3数学美的内容 601
A6.4数学美的特征 602