1 预备知识 1
1.1 概率空间 1
1.1.1 概率的定义 1
1.1.2 概率空间 2
1.1.3 概率的性质 3
1.2 随机变量及其分布与数字特征 4
1.2.1 完备概率空间 4
1.2.2 分布函数及其性质 5
1.2.3 随机变量的数字特征 6
1.2.4 常用随机变量的分布 8
1.2.5 数学期望的收敛性定理 10
1.3 条件概率与独立性 11
1.3.1 条件概率与条件分布 11
1.3.2 条件数学期望 12
1.3.3 独立性 16
1.4 收敛性与分布变换 16
1.4.1 随机变量序列的收敛性 16
1.4.2 特征函数、矩母函数和母函数 18
习题1 20
2 随机过程的基本概念 22
2.1 随机过程的概念与例子 22
2.2 随机过程的有限维分布族 25
2.3 随机过程的数字特征 31
2.4 随机微积分 35
2.4.1 均方收敛及其性质 35
2.4.2 随机过程的连续性 37
2.4.3 随机过程的可微性 40
2.4.4 随机过程的可积性 42
习题2 46
3 Poisson过程与更新过程 48
3.1 Poisson过程的定义 48
3.2 Poisson过程的性质 52
3.2.1 时间间隔和等待时间的分布 52
3.2.2 年龄与剩余寿命的分布 59
3.3 Poisson过程的几种推广 61
3.3.1 非时齐Poisson过程 61
3.3.2 复合Poisson过程 63
3.3.3 条件Poisson过程 66
3.4 更新过程 69
3.4.1 更新过程的基本概念 69
3.4.2 更新方程 72
3.4.3 更新定理 75
3.4.4 更新定理的应用 80
3.4.5 更新过程的若干推广 84
习题3 92
4 平稳过程 96
4.1 平稳过程的定义 96
4.2 相关函数的性质 102
4.3 平稳过程的各态历经性 105
4.4 平稳过程的谱分析 114
4.4.1 平稳过程的谱分解 114
4.4.2 谱密度的物理意义 117
4.4.3 谱密度和相关函数的计算 120
4.4.4 互谱密度及其性质 126
4.5 线性时不变系统中的平稳过程 129
4.5.1 线性时不变系统简介 129
4.5.2 线性时不变系统的频率响应和脉冲响应 131
4.5.3 线性时不变系统输出过程的均值与相关函数 134
4.5.4 线性时不变系统输出过程的谱密度函数 135
习题4 139
5 离散时间马尔科夫链 144
5.1 离散时间马氏链的定义 144
5.2 有限维分布与强马氏性 150
5.2.1 绝对概率与有限维分布 151
5.2.2 强马氏性 153
5.3 状态分类与空间分解 158
5.3.1 状态空间分解 158
5.3.2 状态的常返性和周期性 160
5.4 遍历性与平稳分布 169
习题5 183
6 连续时间马尔科夫链 187
6.1 连续时间马氏链的定义 187
6.2 Q矩阵与柯尔莫哥洛夫方程 189
6.3 嵌入链与遍历性 196
6.4 生灭过程及其应用 200
习题6 209
7 Brown运动与随机微分方程 213
7.1 马氏过程的定义与Brown运动 213
7.2 Brown运动的随机积分 217
7.3 It？公式与随机微分方程 222
习题7 232
8 鞅论初步 234
8.1 鞅的定义与例 234
8.2 鞅分解与鞅表示定理 242
8.3 鞅收敛定理 245
8.4 可选样本定理 252
习题8 254
部分习题参考答案 256
参考文献 263