引言 1
第一章 函数与极限 5
第一节 函数 5
一、函数的概念 5
二、函数举例 6
三、初等函数 7
第二节 函数的极限 9
一、函数极限的概念 9
二、函数极限的性质 11
三、函数极限的运算 12
四、极限存在准则与两个重要的极限 14
五、无穷小的比较 17
第三节 函数的连续性 17
一、函数的连续性 17
二、函数的间断点 17
三、初等函数的连续性 17
四、闭区间上连续函数的性质 19
第四节 关于极限的注记 20
一、中国古代数学中极限思想的萌芽 20
二、关于极限的描述问题 20
三、？(1+1/n)n的存在性 21
习题一 22
第二章 导函数与微分 25
第一节 函数的导函数 25
一、导函数的定义 25
二、函数导数的几何意义 26
三、函数的可导性和连续性的关系 26
四、导函数的线性性质 27
五、导函数举例 27
第二节 函数的微分 29
一、函数微分的定义 29
二、用微分作近似计算举例 31
第三节 微分法 32
一、反函数微分法 32
二、复合函数微分法 33
三、和差积商函数微分法 35
四、高阶导函数 38
第四节 微分中值定理 40
一、Rolle中值定理 40
二、Lagrange中值定理 41
三、Cauchy中值定理 42
四、中值定理应用初步 42
第五节 导数和微分的再认识 44
一、要挖掘导数的内涵和外延 44
二、自然界事物运动中的导数 44
三、微分法的再认识 45
四、再谈函数增量与微分的关系 47
习题二 49
第三章 原函数与积分 52
第一节 原函数和不定积分 52
一、原函数 52
二、不定积分 54
三、不定积分的线性性质 55
第二节 积分法 56
一、换元积分法 57
二、分部积分法 59
第三节 定积分 62
一、积累量 62
二、定积分分析定义 63
三、定积分的性质 64
第四节 微积分基本定理和定积分计算 66
一、微积分基本定理 66
二、定积分的换元积分法 70
三、定积分的分部积分法 72
第五节 积分的再认识 73
一、关于不定积分和定积分的关系 73
二、关于定积分的定义 74
三、再谈定积分的定义 75
习题三 76
第四章 导数的应用 79
第一节 变化率问题 79
一、函数的变化率 79
二、函数的增长率 80
三、函数的弹性 81
四、相关变化率 82
第二节 L'Hospital法则 84
一、0/0型未定式 84
二、∞/∞型未定式 85
三、可化为0/0和∞/∞型的极限 86
第三节 Taylor公式 87
第四节 函数的增减性 92
第五节 函数的极值、最大值与最小值 94
一、函数的极值问题 94
二、函数的最大值、最小值问题 97
第六节 曲线的凹凸性、渐近线及函数图形的描绘 100
一、曲线的凹凸性 100
二、渐近线 103
三、函数图形的描绘 104
习题四 106
第五章 定积分的应用 111
第一节 定积分的微元法 111
第二节 平面图形的面积 113
一、直角坐标系下平面图形的面积 114
二、极坐标系下平面图形的面积 116
第三节 立体图形的体积 119
一、已知截面面积的立体图形的体积 119
二、旋转体的体积 119
第四节 平面曲线的弧长 123
一、直角坐标系下平面曲线的弧长 123
二、参数方程下平面曲线的弧长 125
三、极坐标系下平面曲线的弧长 125
第五节 定积分在物理中的应用举例 126
一、位移 127
二、质量 127
三、力 128
四、功和能 129
五、平均值 131
习题五 132
第六章 反常积分 135
第一节 无穷区间上的反常积分 135
一、无穷区间上的反常积分的概念 135
二、无穷区间上的反常积分的计算 137
第二节 无界函数的反常积分 139
第三节 Г函数 141
习题六 144
第七章 微分方程 145
第一节 微分方程及其解的概念 145
一、微分方程的定义 145
二、微分方程的解 146
三、几个实例 147
第二节 分离变量法 148
第三节 一阶线性微分方程 149
第四节 用变量代换法解微分方程 152
一、齐次方程 152
二、Bernoulli方程 154
三、几种特殊类型的高阶方程 154
四、可化为齐次方程的一类微分方程 156
第五节 常系数线性微分方程 158
一、n阶线性微分方程解的结构 159
二、二阶常系数线性微分方程 160
三、n阶常系数线性微分方程 170
习题七 172
第八章 二元函数微积分 175
第一节 二元函数的基本概念 175
一、平面点集的有关概念 175
二、二元函数的定义 176
三、二元函数的极限 178
四、二元函数的连续性 179
五、有界闭区域上连续多元函数的性质 179
第二节 偏导数 180
一、偏导数的定义 180
二、偏导数的计算 181
三、高阶偏导数 182
四、全微分 183
五、二元复合函数的求导运算 185
第三节 多元函数的极值 186
一、二元函数极值的定义 186
二、二元函数极值存在的条件 187
三、条件极值 188
第四节 二重积分的概念及性质 189
一、二重积分的概念 189
二、二重积分的几何意义 191
三、二重积分的性质 192
第五节 二重积分的计算 192
一、利用直角坐标计算二重积分 192
二、利用极坐标计算二重积分 196
第六节 二重积分的应用举例 198
一、求曲面的面积 199
二、求体积 200
三、求平面薄片的重心 200
四、求平面薄片的转动惯量 201
习题八 202
第九章 级数 206
第一节 级数及其收敛性 206
一、常数项级数的概念 206
二、收敛级数的基本性质 208
三、级数的审敛法 209
四、绝对收敛与条件收敛 216
第二节 Taylor级数 217
一、函数项级数的概念 217
二、幂级数及其收敛性 218
三、幂级数的运算与和函数的求法 221
四、函数展开成Taylor级数 225
第三节 Fourier级数 230
一、三角级数的概念 231
二、函数展开为Fourier级数 232
三、函数展开成正弦级数或余弦级数 235
四、周期为2l的函数的Fourier级数 237
习题九 241
第十章 数学模型简介 243
第一节 数学模型的有关概念 243
一、数学建模简介 243
二、数学建模的一般方法和步骤 244
三、数学模型及其分类 246
第二节 数学建模举例 246
一、双层玻璃窗的功效 246
二、交通管理中亮黄灯的时间问题 248
三、湖水污染问题模型 249
四、传染病模型 252
习题十 257
附录Ⅰ 积分表 258
附录Ⅱ 习题参考答案 263
参考文献 275