第1章 绪论 1
1.1 数值分析的研究对象和特点 1
1.2 数值计算的误差 2
1.2.1 误差的来源 2
1.2.2 误差与有效数字 2
1.2.3 函数求值的误差估计 4
1.2.4 计算机中数的表示和舍入误差 5
1.3 数值稳定性和要注意的若干原则 6
1.3.1 数值方法的稳定性 6
1.3.2 避免有效数字的损失 7
1.3.3 减少运算次数 8
1.4 向量和矩阵的范数 9
1.4.1 向量的范数 9
1.4.2 矩阵的范数 11
1.5 Matlab使用简介 14
1.5.1 Matlab系统的常用概念 15
1.5.2 Matlab语言语法要点 16
1.5.3 简单程序设计 18
评注 21
习题1 22
数值试验题1 24
2.1 多项式插值 25
第2章 插值和拟合 25
2.1.1 Lagrange插值多项式 26
2.1.2 均差和Newton插值多项式 28
2.1.3 差分和等距节点插值公式 31
2.1.4 Hermite插值多项式 35
2.2 分段低次插值 37
2.2.1 多项式插值的问题 37
2.2.2 分段线性插值 37
2.2.3 分段三次Hermite插值 39
2.3.1 三次样条插值函数的概念 40
2.3 三次样条插值 40
2.3.2 三弯矩算法 41
2.3.3 三转角算法 44
2.3.4 三次样条插值函数的误差估计 46
2.4 正交多项式和最佳平方逼近 46
2.4.1 离散点集上的正交多项式 46
2.4.2 连续区间上的正交多项式 47
2.4.3 连续函数的最佳平方逼近 49
2.5 离散数据的曲线拟合 52
2.5.1 最小二乘拟合 52
2.5.2 多项式拟合 53
2.5.3 正交多项式拟合 55
2.6 插值和拟合的若干Matlab函数文件 57
2.6.1 Lagrange插值多项式的Matlab函数文件 57
2.6.2 Newton插值多项式的Matlab函数文件 57
2.6.3 二次最小二乘拟合的Matlab函数文件 58
评注 59
习题2 60
数值试验题2 61
第3章 数值积分和数值微分 63
3.1 Newton-Cotes求积公式 64
3.1.1 插值型求积法 64
3.1.2 Newton-Cotes求积公式 65
3.1.3 Newton-Cotes公式的误差分析 67
3.2 复化求积公式 69
3.2.1 复化梯形求积公式 69
3.2.2 复化Simpson求积公式 70
3.3 外推原理与Romberg求积法 72
3.3.1 外推原理 72
3.3.2 Romberg求积法 73
3.4 Gauss求积公式 75
3.4.1 Gauss求积公式的基本理论 75
3.4.2 常用Gauss求积公式 77
3.4.3 Gauss求积公式的余项与稳定性 79
3.5 数值微分 81
3.5.1 插值型求导公式 81
3.5.2 三次样条求导 83
3.5.3 数值微分的外推算法 83
3.6 数值积分的若干Matlab函数文件 84
3.6.1 复化梯形积分公式的Matlab函数文件 84
3.6.2 复化Simpson积分公式的Matlab函数文件 85
3.6.3 Romberg积分法的Matlab函数文件 85
评注 86
习题3 86
数值试验题3 88
第4章 线性方程组的直接解法 89
4.1 Gauss消去法 90
4.1.1 Gauss消去法的计算过程 90
4.1.2 矩阵的三角分解 93
4.1.3 主元素消去法 95
4.1.4 Gauss-Jordan消去法 97
4.2 直接三角分解方法 99
4.2.1 一般矩阵的直接三角分解法 99
4.2.2 三对角方程组的追赶法 102
4.2.3 平方根法 105
4.3.1 矩阵的条件数 107
4.3 方程组的性态与误差估计 107
4.3.2 方程组解的误差估计 109
4.4 直接解法的若干Matlab函数文件 111
4.4.1 列选主元素消去法的Matlab函数文件 111
4.4.2 矩阵LU分解的Matlab函数文件 111
4.4.3 解三对角方程组的Matlab函数文件 113
评注 113
习题4 114
数值试验题4 116
第5章 线性方程组的迭代解法 118
5.1.2 Jacobi迭代法和Guass-Seidel迭代法 119
5.1 基本迭代方法 119
5.1.1 迭代公式的构造 119
5.2 迭代法的收敛性 121
5.2.1 一般迭代法的收敛性 121
5.2.2 Jacobi迭代法和Guass-Seidel迭代法的收敛性 125
5.3 超松驰迭代法 127
5.4 分块迭代法 130
5.5 迭代法的若干Matlab函数文件 131
5.5.1 Jacobi迭代法的Matlab函数文件 131
5.5.2 SOR法的Matlab函数文件 132
习题5 133
评注 133
数值试验题5 135
第6章 非线性方程和方程组的数值解法 136
6.1 方程求根的二分法 137
6.2 一元方程的不动点迭代法 138
6.2.1 不动点迭代法及其收敛性 138
6.2.2 局部收敛性和加速收敛法 142
6.3 一元方程的常用迭代法 146
6.3.1 Newton迭代法 146
6.3.2 割线法与抛物线法 148
6.4.1 非线性方程组的不动点迭代法 151
6.4 非线性方程组的数值解法 151
6.4.2 非线性方程组的Newton法 155
6.4.3 非线性方程组的拟Newton法 157
6.5 方程求根的若干Matlab函数文件 160
6.5.1 二分法的Matlab函数文件 160
6.5.2 Newton迭代法的Matlab函数文件 160
6.5.3 割线法的Matlab函数文件 161
评注 162
习题6 162
数值试验题6 163
7.1 特征值问题的性质与估计 165
第7章 矩阵特征值问题的数值解法 165
7.2 幂法和反幂法 167
7.2.1 幂法和加速方法 167
7.2.2 反幂法和原点位移 169
7.3 Jacobi方法 171
7.4 QR算法 175
7.4.1 化矩阵为Hessenberg形 175
7.4.2 QR算法及其收敛性 178
7.4.3 带原点位移的QR算法 182
7.5.2 反幂法的Matlab函数文件 185
7.5.3 QR算法的Matlab函数文件 185
7.5.1 幂法的Matlab函数文件 185
7.5 特征值问题的若干Matlab函数文件 185
评注 186
习题7 187
数值试验题7 188
第8章 常微分方程的数值解法 190
8.1 Euler方法 190
8.1.1 Euler方法及其有关的方法 190
8.1.2 局部误差和方法的阶 193
8.2 Runge-Kutta方法 195
8.2.1 Runge-Kutta方法的基本思想 195
8.2.2 几类显式Runge-Kutta方法 196
8.3.1 单步法的收敛性 199
8.3 单步法的收敛性和稳定性 199
8.3.2 单步法的稳定性 200
8.4 线性多步法 202
8.4.1 基于数值积分的方法 203
8.4.2 基于Taylor展开的方法 205
8.4.3 预估-校正算法 208
8.5 一阶方程组的数值解法 211
8.5.1 一阶方程组和高阶方程 211
8.5.2 刚性方程组 212
8.6.1 打靶法 214
8.6 边值问题的数值解法 214
8.6.2 差分方法 217
8.7 常微分方程数值解的若干Matlab函数文件 220
8.7.1 Euler方法的Matlab函数文件 220
8.7.2 经典Runge-Kutta法的Matlab函数文件 220
8.7.3 三阶Adams方法的Matlab函数文件 221
评注 222
习题8 222
数值试验题8 224
习题答案 226
参考文献 231