第一章 概论 1
第二章 反演问题的概率方法 4
2.1 模型空间和数据空间 4
2.1.1 物理系统 4
2.1.2 模型空间 4
2.1.3 数据空间 5
2.1.4 联合参数空间 5
2.2 信息 6
2.2.1 测度、概率 6
2.2.2 信息状态 9
2.3 反演问题的概率论方法 13
2.3.1 模型参数的先验信息 13
2.3.2 测量得到的信息 16
2.3.3 物理理论的信息 18
2.3.4 模型参数的先验信息、观测数据的信息和理论信息的组合 19
2.3.5 反演问题的概率论方法 19
2.3.6 后验信息 22
2.4 量化参数的反演 24
第三章 高斯概率分布下的反演问题 28
3.1 高斯概率分布条件下的反演 28
3.1.1 物理理论可用显式d=g（m）表达 28
3.1.2 物理理论仅能用隐式f(d,m)=0表达 34
3.1.3 高斯概率分布条件下反演的例子——曲线拟合 39
3.2 高斯概率分布反演结果的误差和分辨率 46
3.2.1 模型参数的后验协方差算子 46
3.2.2 模型空间的分辨率分析 48
3.2.3 参数的归一化 49
3.2.4 数据的后验协方差算子 49
3.2.5 用残差判断先验协方差算子估计值的合理性 50
3.3 范数、内积、对偶空间及有关算子 52
3.3.1 最小二乘准则下的距离、范数和内积 52
3.3.2 对偶空间 53
3.3.3 转置算子、伴随算子和对偶算子 55
3.4 最小二乘准则条件下极值问题的解法 57
3.4.1 S（m）的梯度和海赛（Hesse）算子 57
3.4.2 迭代的收敛速度和终止准则 60
3.4.3 最速下降法 61
3.4.4 拟牛顿法 64
3.4.5 共轭梯度法 66
3.4.6 预条件法 75
3.4.7 变尺度法 76
第四章 反演问题的lp范数准则 87
4.1 lp范数 87
4.1.1 lp范数的定义 87
4.1.2 lp范数空间中的圆 89
4.1.3 ιp范数空间的对偶空间 89
4.1.4 ιp范数空间中失配函数S（m）的梯度和最速上升方向 93
4.2 lp范数空间的反演问题 94
4.2.1 反演问题的ιp范数准则 94
4.2.2 ιp范数空间反演问题的失配函数及其梯度、海赛算子 95
4.2.3 ιp范数准则下的反演方法 100
4.3 l1范数空间的反演问题 103
4.3.1 反演问题的l1范数准则 103
4.3.2 l1范数准则反演问题的FIFO方法 106
4.4 l1范数准则下反演的线性规划方法 109
4.4.1 线性规划的基本原理 109
4.4.2 线性规划的单纯形法 114
4.4.3 将l1范数下的极小值问题化为线性规划问题 117
第五章 直接反演方法 119
5.1 试错法 119
5.2 网格搜索法 119
5.3 单纯形替换法 120
5.3.1 初始单纯形的选取 121
5.3.2 单纯形替换算法 122
5.4 样板搜索法 124
5.5 蒙特卡罗法 127
5.5.1 随机搜索的蒙特卡罗法 127
5.5.2 概率积分的蒙特卡罗法 129
5.5.3 蒙特卡罗数值积分 130
5.6 模拟退火非线性反演 131
5.7 遗传算法 136
5.7.1 遗传算法概述 136
5.7.2 遗传算法中的若干要素 141
5.7.3 遗传操作 145
5.7.4 遗传算法的算例 148
第六章 连续模型空间的反演 149
6.1 函数空间 149
6.1.1 函数、函数空间、线性向量空间 149
6.1.2 度量空间 150
6.1.3 线性算子 153
6.1.4 线性向量空间的对偶空间 154
6.1.5 Hilbert空间 155
6.1.6 Lp空间和Sobolev空间 157
6.2 随机函数 159
6.2.1 随机函数 159
6.2.2 对偶空间及其协方差算子 160
6.2.3 一般随机函数 161
6.3 协方差算子 162
6.3.1 协方差算子 162
6.3.2 随机函数的协方差函数 163
6.3.3 自相关函数 164
6.3.4 协方差函数的逆 164
6.3.5 协方差算子的平方根 169
6.3.6 函数空间的微商算子和转置算子 170
6.4 函数空间中的最小二乘反演 173
6.4.1 将最小二乘反演由离散空间推广到函数空间 173
6.4.2 地震射线层析成像的反演问题 175
第七章 线性系统的反演问题 182
7.1 基于Lanczos矩阵分解的广义反演算法 182
7.1.1 矩阵的Lanczos分解方法 182
7.1.2 广义逆 188
7.1.3 广义逆解的分辨率 191
7.1.4 广义逆解的协方差 193
7.2 最大似然解 194
7.3 随机逆 195
7.3.1 随机逆算法 195
7.3.2 随机逆算法与其它反演算法的比较 198
7.4 Backus-Gilbert反演算法 199
7.4.1 BG极小解逆 199
7.4.2 BG最佳分辨逆 201
7.4.3 BG最佳分辨逆和模型参数误差之间的折衷 205
第八章 层析成像 206
8.1 雷当变换及雷当逆变换 206
8.1.1 雷当变换 206
8.1.2 雷当逆变换 208
8.1.3 球面雷当变换和逆变换 210
8.2 卷积重建法实现雷当逆变换 214
8.3 傅里叶变换图像重建 218
8.3.1 傅里叶变换投影定理 218
8.3.2 傅里叶变换图像重建技术 220
8.3.3 褶积滤波图像重建 221
8.4 图像函数的分块重建方法 223
8.5 基函数展开图像重建 226
8.5.1 基函数展开图像重建方法 226
8.5.2 矩形区域内的基函数展开图像重建 229
8.5.3 圆周形区域内的基函数展开图像重建 230
8.6 图像的代数重建技术（ART） 231
8.6.1 最优化准则 231
8.6.2 代数重建法（ART） 234
8.6.3 离散反投影 236
8.6.4 代数重建的松弛法 236
8.6.5 加法代数重建法 240
8.7 二次最优化准则下的SIRT方法 243
8.7.1 二次最优化准则问题的基本思路 243
8.7.2 求解线性方程组的SIRT方法 245
8.7.3 Kaczmaz方法及其平均形式 248
附录一 两个高斯概率密度函数乘积的积分 250
附录二 两个重要恒等式的证明 252
附录三 协方差矩阵的平方根及其归一化 253
附录四 有关χ2（<m>）的公式（3.2.39）的证明 255
附录五 最速上升方向 256
附录六 一些变尺度算法中搜索方向的共轭性质 258
附录七 最小二乘准则下S（m）极值问题的公式 262
附录八 三维指数协方差算子的逆算子 268
附录九 雷当逆变换的证明 271
参考文献 275