第一章 引论 1
1 数值分析的研究对象 1
2 数值计算的误差 2
2.1 误差的来源与分类 2
2.2 绝对误差和相对误差、有效数字 3
2.3 求函数值和算术运算的误差估计 4
2.4 计算机的浮点数表示和舍入误差 5
3 病态问题、数值稳定性与避免误差危害 8
3.1 病态问题与条件数 8
3.2 数值方法的稳定性 9
3.3 避免误差危害 11
4 线性代数的一些基本概念 13
4.1 矩阵的特征值问题、相似变换化标准形 13
4.2 线性空间和内积空间 15
4.3 范数、线性赋范空间 19
5 几种常见矩阵的性质 26
5.1 正交矩阵和酉矩阵 26
5.2 对称矩阵和对称正定矩阵 27
5.3 初等矩阵 27
5.4 可约矩阵 29
5.5 对角占优矩阵 31
习题 32
第二章 线性代数方程组的直接解法 35
1 Gauss消去法 35
1.1 顺序消去与回代过程 36
1.2 顺序消去能够实现的条件 40
1.3 矩阵的三角分解 41
2 选主元素的消去法 42
2.1 有换行步骤的消去法 42
2.2 矩阵三角分解定理的推广 43
2.3 选主元素的消去法 44
3 直接三角分解方法 47
3.1 Doolittle分解方法 47
3.2 对称矩阵的三角分解、Cholesky方法 49
3.3 带状矩阵方程组的直接方法 52
4 矩阵的条件数、直接方法的误差分析 59
4.1 扰动方程组与矩阵的条件数 59
4.2 病态方程组的解法 64
4.3 列主元素消去法的舍入误差分析 65
习题 66
计算实习题 69
第三章 线性代数方程组的迭代解法 71
1 迭代法的基本概念 71
1.1 向量序列和矩阵序列的极限 71
1.2 迭代公式的构造 74
1.3 迭代法收敛性分析 76
2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 79
2.1 Jacobi迭代法 80
2.2 Gauss-Seidel迭代法 80
2.3 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性 80
3 超松弛迭代法 83
3.1 逐次超松弛迭代公式 83
3.2 SOR迭代法的收敛性 85
3.3 最优松弛因子 86
3.4 对称超松弛迭代法 88
4 共轭梯度法 89
4.1 与方程组等价的变分问题 89
4.2 最速下降法 90
4.3 共轭梯度法 91
4.4 预处理共轭梯度方法 95
习题 97
计算实习题 100
第四章 非线性方程和方程组的数值解法 101
1 区间对分法 101
2 单个方程的不动点迭代法 103
2.1 不动点和不动点迭代法 103
2.2 迭代法在区间［a,b］的收敛性 105
2.3 局部收敛性与收敛阶 107
3 迭代加速收敛的方法 109
3.1 Aitken加速方法 109
3.2 Steffensen迭代法 110
4 Newton迭代法和割线法 112
4.1 Newton迭代法的计算公式 112
4.2 局部收敛性和全局收敛性 113
4.3 重根情形 115
4.4 割线法 116
5 非线性方程组的不动点迭代法 118
5.1 向量值函数的连续性和导数 119
5.2 压缩映射和不动点迭代法 122
6 非线性方程组的Newton法和拟Newton法 126
6.1 Newton法 126
6.2 拟Newton法 128
习题 132
计算实习题 134
第五章 矩阵特征值问题的数值方法 136
1 特征值的估计和扰动 136
1.1 特征值的估计 136
1.2 特征值的扰动 139
2 正交变换和矩阵因式分解 140
2.1 Householder变换 141
2.2 Givens变换 143
2.3 矩阵的QR因式分解 144
2.4 矩阵的Schur因式分解 149
3 幂迭代法和逆幂迭代法 150
3.1 幂迭代法 150
3.2 加速技术 152
3.3 逆幂迭代法 153
3.4 收缩方法 155
4 QR方法 156
4.1 基本QR迭代 156
4.2 正交相似变换化矩阵为上Hessenberg形式 160
4.3 Hessenberg矩阵的QR方法 164
4.4 带有原点位移的QR方法 164
4.5 双重步QR方法 167
5 对称矩阵特征值问题的计算 171
5.1 对称矩阵特征值问题的性质 171
5.2 Rayleigh商迭代 172
5.3 Jacobi方法 173
5.4 对称矩阵的QR方法 178
习题 180
计算实习题 181
第六章 插值法 183
1 Lagrange插值 183
1.1 Lagrange插值多项式 183
1.2 插值余项及其估计 185
1.3 线性插值和二次插值 188
1.4 关于插值多项式的收敛性问题 190
2 均差与Newton插值多项式 191
2.1 均差及其性质 191
2.2 Newton插值多项式 194
2.3 差分及其性质 197
2.4 等距节点的Newton插值公式 198
3 Hermite插值 201
3.1 Hermite插值多项式 201
3.2 重节点均差 204
3.3 Newton形式的Hermite插值多项式 207
3.4 一般密切插值（Hermite插值） 209
4 三次样条插值 210
4.1 分段线性插值及分段三次Hermite插值 210
4.2 三次样条插值函数 211
4.3 三次样条插值函数的计算方法 212
4.4 数值例子 215
5 三次样条插值函数的性质与误差估计 216
5.1 基本性质 216
5.2 三次样条插值函数的误差估计 217
6 B－样条函数 221
6.1 三次样条函数空间 221
6.2 三次B－样条函数 222
习题 226
计算实习题 228
第七章 函数逼近 229
1 正交多项式 229
1.1 正交多项式的基本概念及性质 229
1.2 Legendre多项式 234
1.3 Laguerre多项式 236
1.4 Hermite多项式 237
2 Chebyshev多项式 237
2.1 Chebyshev多项式基本性质 238
2.2 极小化性质与Chebyshev多项式零点插值 240
3 函数的最佳平方逼近 244
3.1 最佳平方逼近的概念及计算 244
3.2 用正交函数组作最佳平方逼近 247
3.3 用Legendre多项式作最佳平方逼近 250
4 Padé逼近 251
4.1 Padé逼近 252
4.2 连分式 256
5 数据拟合 256
5.1 最小二乘曲线拟合及其计算 257
5.2 多项式拟合 259
5.3 线性化方法 261
5.4 用正交多项式作最小二乘曲线拟合 264
5.5 非多项式拟合 266
6 线性最小二乘问题的解法 268
6.1 线性最小二乘问题 268
6.2 QR分解 270
6.3 用QR分解求解线性最小二乘问题 272
7 周期函数的最佳平方逼近 273
7.1 周期函数的最佳平方逼近 273
7.2 离散情形 275
7.3 周期复值函数 275
8 快速Fourier变换 276
8.1 快速Fourier变换 277
8.2 以2为底的FFT 278
习题 282
计算实习题 283
第八章 数值积分与数值微分 285
1 数值积分的基本概念 286
1.1 代数精度 286
1.2 插值型求积公式 287
2 Newton-Cotes求积公式 288
2.1 梯形公式和Simpson公式 288
2.2 Newton-Cotes求积公式 292
2.3 Newton-Cotes求积公式的误差分析 293
2.4 开（型）Newton-Cotes求积公式 295
2.5 Newton-Cotes求积公式的数值稳定性 297
3 复合求积公式 298
3.1 复合梯形求积公式 299
3.2 复合Simpson求积公式 300
3.3 带有导数值的求积公式及其复合公式 302
4 Gauss求积公式 304
4.1 Gauss型求积公式 305
4.2 Gauss求积方法的收敛性和稳定性 312
4.3 Gauss-Legendre求积公式 313
4.4 Gauss-Chebyshev求积公式 317
4.5 Gauss-Laguerre求积公式 318
4.6 Gauss-Hermite求积公式 319
5 Romberg求积算法 320
5.1 Euler-Maclaurin公式 320
5.2 Richardson外推方法 321
5.3 Romberg求积方法 323
6 自适应Simpson求积方法 326
7 奇异积分的数值计算 330
7.1 区间截断 330
7.2 变量替换 331
7.3 Kontorovich奇点分离法 332
8 数值微分 334
8.1 数值微分公式 335
8.2 数值微分的外推算法 338
习题 339
计算实习题 341
第九章 常微分方程初值问题的数值解法 342
1 常微分方程初值问题 342
2 Euler方法 343
2.1 Euler方法 343
2.2 隐式Euler方法 345
2.3 梯形方法及改进Euler方法 346
3 显式单步法 349
3.1 截断误差 349
3.2 相容性 351
3.3 收敛性 352
3.4 关于初值的稳定性 355
3.5 绝对稳定性 355
4 Runge-Kutta方法 358
4.1 用Taylor展开构造高阶数值方法 358
4.2 显式Runge-Kutta方法 360
4.3 显式Runge-Kutta方法的性质 365
4.4 高阶方法与隐式Runge-Kutta方法 366
4.5 变步长的Runge-Kutta方法 368
5 线性多步法 371
5.1 一般形式的线性多步法 371
5.2 基于数值积分的方法 373
5.3 Adams方法 375
5.4 预估校正方法 379
6 线性差分方程 381
6.1 线性差分方程的基本性质 381
6.2 齐次差分方程的解 383
7 线性多步法的相容性、收敛性及稳定性 384
7.1 相容性及方法的阶 384
7.2 收敛性 386
7.3 稳定性 391
7.4 绝对稳定性 393
8 一阶方程组 397
8.1 一阶方程组 397
8.2 高阶微分方程的初值问题 400
8.3 刚性微分方程组 401
习题 403
计算实习题 405
部分习题的答案或提示 407
参考文献 418