序言 1
前言 1
第一章 预备知识 1
1 拓扑空间 1
1． 开集和闭集 1
2． 闭包和边界 2
3． 诱导拓扑 2
4． 可数空间 2
5． 可数空间 3
6． 连通空间 3
7． 全不连通点集 3
9． 局部紧致空间 4
8． 紧致空间 4
10． Hausdorff空间 5
11． Baire范畴集 5
12． 商空间 5
13． Alexandroff 紧致化 6
14． 和空间 6
15． 乘积空间 6
16． 距离空间 7
2 连续映照 8
1． 映照 8
2． 连续映照 8
3． 拓扑映照 9
4． 一维空间上的非连续开映照的例子 9
3． 弧连通空间 11
2． Jordan曲线 11
1． 弧 11
3 弧曲线 11
第二章 曲面拓扑 12
1 曲面的基本群 12
1． 流形的基本概念 12
2． 同伦弧 13
3． 基本群 13
4． 单连通 14
5． 曲线的指数 15
6． 曲线的指数的连续性 16
7． 曲线的指数的形变下的不变性 16
8． Jordan曲线定理 17
9． 穿孔平面的基本群 20
11． 曲面的可定向性 21
10． 映照的度数 21
12． 镶边曲面 22
2 覆盖面 24
1． 光滑覆盖面 24
2． 射影、弧的提升 24
3． 正则覆盖面 25
4． 单值性定理 25
5． 分支覆盖面 27
6． 完全覆盖面 28
7． 覆盖面的可数性 31
3 覆盖面的基本群 32
1． 正则覆盖面与基本群的关系 32
2． 子群对应的覆盖面 33
3． 子群与其对应的覆盖之基本群的同构 34
4． 偏序 35
6． 正则覆盖面的覆盖变换 36
5． 万有覆盖面 36
7． 正规覆盖面 37
8． 换位子群 37
9． 分支覆盖映照的局部性质 38
10． 覆盖面的定向 39
第三章 Riemann曲面 40
1 Riemann曲面 的概念 40
1． Riemann曲面的定义 40
2． Riemann曲面 的子区域 43
3． 镶边Riemann曲面 43
4． 镶边曲面的双倍面 44
5． Riemann曲面 的亏格 45
6． 解析映照 45
7． 共变量 46
8． 单位分解 48
9． Dirichlet积分 49
10． Green公式 50
2 调和函数与Harnack原理 52
1． 调和函数的定义 52
2． 调和函数的极值原理 53
3． Poisson积分 54
4． Laplace方程、调和函数的等价定义 57
5． 共轭调 和函数 59
6． Harnack原理 60
7． Harnack原理的一般形式 62
8． Dirichlet原理 64
3 半调和函数与Dirichlet问题 70
1． 半连续函数 70
2． 上、下调和函数及其最佳调和优、劣函数 71
3． 半调和函数的平均值性质 73
4． 半调和函数的极值原理 75
5． 上、下函数 78
6． Dirichlet 问题、Perron方法 80
7． 正则点 82
8． 可数基及穷尽列的存在 86
4 Green 函数 89
1． 相对紧区域上的Green函数 89
2． 开Riemann曲面的Green函数 93
3． Green函数的理想边界取值 96
4． Riemann 映照定理 96
5． 调和测度、理想边界的调和测度 97
6． Dirichlet解的Green函数之积分表示 99
7． 混合边界条件的Dirichlet问题之解 102
1． 下调和函数 109
第四章 位势理论 109
1． 下调和函数的逼近定理 109
2． 与Laplace算子相关的等价的定义 112
3． 逼近定理 113
2 对数位势 116
1． 对数位势 116
2． 几个引理 117
3． F． Riesz分解定理 119
4． 最大值原理 124
5． 容量 126
3 Evans位势 133
1． 导体位势的基本性质 133
2． 超限直径 137
3． Evans定理 141
1． 连续半调和函数的最大值原理 144
4 容量与扫除 144
2． 零容集关于调和函数的可去性 145
3． 正容量集 147
4． 容量与Green 函数存在之关系 149
5． 映照半径 152
6． 单位圆周上容量为1的真子集 155
7． 扫除 156
8． 扫除的唯一性 158
第五章 曲面上的函数族 159
1 Riemann曲面上的函数论零集 159
1． 函数类及其相关的记号 159
2． 与连续统、全不连通集相关的两个引理 160
3． 可去集 162
4． 共变量MF 165
5． 紧致函数类 166
6． 几种特殊函数类 167
7． NP零类集与可去集的等价性 168
8． 极值长度 168
9． 弧链族之间极值长度的关系 170
10． 矩形、圆环内链族的极值长度 171
11． 周界长与不变量MSB、MSD 173
12． 线性集的可去性 174
13． AD-可去集的特征 176
2 半纯函数及其产生的覆盖面 177
1． 半纯函数的大范围聚值集 177
2． 半纯函数的价函数 178
3． Stoilow紧致化 179
4． 半纯函数的渐近值 181
5． 半纯函数的大范围聚值集与价函数的关系 183
6． Iversen性质 185
7． 关于Iversen性质 的Stoilow原理 186
3 修正Green函数 189
1． 双极调和函数 189
2． 基本引理 192
3． 修正Green函数 195
4． 双对数奇性的位势函数 197
5． Poincare定理 200
4 平面型Riemann曲面的共形映照 202
1． 调和函数和解析函数延拓的Schwarz对称原理 202
2． 平面型区域与复球面子区域共形同胚 203
3． 多连通区域的调和测度 205
4． 多连通区域与同心圆弧裂缝环域共形同胚 207
5． 多连通区域与平行裂缝区域共形同胚 209
6． 单值化定理 212
1． 带极点的位势函数 214
5 Riemann-Roch定理 214
2． 互反关系 218
3． 因子式 221
4． Ricmnn-Roch定理 222
第六章 非紧Riemann曲面的延拓 228
1 Fuchs 群 228
1． 真不连续群 228
2． 单位圆盘上的非欧度量 229
3． Fuchs 群及其基本区 231
4． Fuchs 群的类型 233
5． Fuchs 群的等价点的分布 235
6． Fuchs 群的基本区对应的Riemann曲面 237
7． Fuchs 群对应的Green函数 238
1． Ricmann曲面上半纯函数的存在性 239
2 自守函数 239
2． 不与开单位圆盘共形同胚的万有覆盖面 240
3． 复平面映上自身的共形变换群 241
4． Fuchs 群对应的Poincare?级数 245
3． 开Ricmann曲面的延拓 247
1． 极大Ricmann曲面的概念 247
2． Ricmann曲面极大延拓的存在性 247
3． 极大Ricmann曲面的性质 250
4． 极大Ricmann曲面的判别 251
5． 开Ricmann曲面的延拓方法 252
4 非紧极大镶边Riemann 曲面 255
1． 镶边Riemann 曲面 延拓的概念 255
2． 曲面的可延拓性与修正价函数的关系 256
3． 半纯函数的渐近点 258
4． 极大镶边Riemann 曲面 的理想边界性质 259
5． 一个极大开Riemann 曲面 的例子 261
6． 本性极大Riemann 曲面 262
第七章 Riemann曲面的分类 264
1 OG类开Riemann曲面 264
1． 零类Riemann曲面的包含关系 264
2． 相对理想边界的调和测度 265
3． OG类曲面子域的调和函数的最大值原理 267
4． OG类和非OG类曲面的覆盖面 271
5． OG类曲面的可正则穷尽性 272
6． U-类函数 274
2 Dirichlet积分有限有函数 276
1． 相对子域类与曲面分类的关系 276
2． 相对曲面类SOHB和SOHD 277
3． OAOB和OAOD类曲面 280
4． OHD和OHBD类曲面 281
5． 与零容集等价的可去点集 282
6． 通量 283
7． 主函数 284
8． 算子L0和L1 287
9． 零容集的HD-可去性 288
10． 复球面上的AD-可去点集 290
11． 复球面上的AB-可去点集 291
12． 有限亏格开Riemann曲面的可去理想边界 291
3 Lindelof 性质 293
1． 具有Lindelof 性质的曲面类 293
2． 关于OAOD类曲面的修正Stoilow原理及其逆 299
3． OAOD类曲面的本性极大性 301
1． 单叶OAD 类区域上的半纯函数 302
4 开Riemann曲面分类的几种判别法 302
2． 棋度判别法 303
3． 共形度量判别法 307
4． 正则链判别法 309
5． 作为复球面覆盖面时的判别 312
5 严格包含关系 314
1． OAD＼OAB曲面的存在性 314
2． 广义Cantor集 314
3． 一般广义Cantor集 316
4． Mybreg,P.J的例子 317
5． Toki，Y的例子 317
6． Kuroda，M的例子 320
7． Heins，M的例子 321
参考文献 323
名词索引 325