1．矩阵代数引论 1
1.1．矩阵的定义、特殊形式和符号 1
1.1.1．矩阵 1
目录 1
1.1.2．符号 2
1.1.3．转置矩阵 2
1.1.4．形式的规定 2
1.1.5．行列式 2
1.2．运算规则 3
1.2.1．加法和减法 3
1.1.6．对角矩阵和迹 3
1.1.7．列表示法 3
1.2.2．乘法 4
1.2.3．和检验法 5
1.2.4．线性函数和线性方程组 5
1.2.5．乘法的实用规则 5
1.2.6．乘法练习 6
1.3.2．用行列式求逆矩阵（克莱姆法则） 8
1.3．逆矩阵 8
1.3.1．定义 8
1.3.3．特殊形式矩阵的简单求逆法 9
1.3.4．对称矩阵的逆 9
1.3.4.1．求逆的CHOLESKY算表法 9
1.3.4.2．求逆的现代高斯分解法 11
1.3.5．非对称系数矩阵的线性方程组 14
1.3.6.1．公式 17
1.3.6.2．诺伊曼级数的应用 17
1.3.6．级数展开法求逆矩阵 17
1.3.6.3．补充迭代的扩展应用 18
1.3.7．误差的检查与修正 18
1.3.8．必要的规则 18
1.3.9．练习 19
1.4.分块矩阵 20
1.4.1．说明 20
1.4.2．数值计算的优点 20
1.5.1．映射与变换 21
1.4.3．练习 21
1.5．线性变换 21
1.5.2．正交变换 22
1.5.2.1．向量正交与正交矩阵 22
1.5.2.2．二维变换 22
1.5.2.3．三维变换 22
1.5.2.4．旋转矩阵 23
1.6．矩阵函数的微分 24
1.6.1．向量微分和全微分 24
1.6.2．线性和二次矩阵函数的微分规则 24
1.6.3．普通二次函数的极值 25
1.6.4．练习 25
1.7．矩阵的秩 25
1.7.1．秩亏 25
1.7.2．符号的意义 26
1.7.3．矩阵乘积的秩 26
1.7.5．矩阵秩的确定 27
1.7.5.1．方阵 27
1.7.4．零因子 27
1.7.5.2．竖立矩阵 28
1.8．正定二次型 28
1.8.1．定义和符号 28
1.8.5．正定的确定 29
1.9.1．特征值问题 29
1.9．特征值和特征向量 29
1.8.4．实对称矩阵乘积的正定性（二） 29
1.8.3．实对称矩阵乘积的正定性（一） 29
1.8.2．正定与半正定的区别 29
1.9.2．谱矩阵和幺模矩阵 30
1.9.3．实例 30
1.9.4．进一步关系 31
1.9.5．实例 31
1.9.6．练习 32
1.9.7．条件 32
1.9.7.5．非对称矩阵的条件数 33
1.9.7.3．特伦科夫估计法 33
1.9.7.4．高斯变换矫正法 33
1.9.7.2．条件数 33
1.9.7.1．条件差的原因 33
1.9.8．伪逆矩阵 34
1.9.9．幂等和三次幂 36
2．误差理论 37
2.1．误差种类和误差概念 37
2.1.1．不精确性 37
2.1.1.1．观测误差 37
2.1.1.2．精度指标 37
2.1.1.3．粗差 37
2.1.2．基本误差 37
2.1.3．系统误差 38
2.1.4．偶然误差 38
2.1.5．相关性问题 38
2.1.6．真误差和改正数 39
2.2．衡量精度的指标 39
2.2.2．中误差 40
2.2.1．平均误差 40
2.2.3．或然误差 41
2.2.4．极限误差 41
2.2.5．相对误差 41
2.2.6．实例 41
2.3．相关测量 41
2.3.1．说明 41
2.3.2．定义 41
2.3.3．实例 43
2.4.1．线性函数的推导 44
2.4．误差传播 44
2.4.2．线性函数的实例 45
2.4.3．非线性函数的推导 45
2.4.4．非线性函数的实例 46
2.4.5．线性化的特殊情况 47
2.4.6．用数值微分线性化 47
2.4.7．实例 48
2.5．中误差 49
2.5.1．由改正数计算中误差 49
2.5.3．实例 50
2.5.2．单一平均值的中误差 50
2.5.4．双次观测列的中误差 51
2.5.5．实例 51
2.6．权和协因子 52
2.6.1．加权平均值 52
2.6.2．协因子 53
2.6.3．一般协因子传播定律 54
2.7.1．连续分布 55
2.7．随机变量、概率密度、分布函数 55
2.6.4．复合函数的误差传播定律 55
2.7.2．高斯误差定律 56
2.7.3．标准正态分布表 58
2.7.4．标准正态分机表应用实例 59
2.7.5．离散分布 59
2.7.6．正态分布中的基本误差标准 60
2.7.6.1．平均误差的数学期望值 60
2.7.6.2．中误差的数学期望值 60
2.7.6.4．风险程度 61
2.7.6.3．或然误差的数学期望值 61
2.7.7．正态分布的简单抽样检验 62
2.7.7.1．直方图 62
2.7.7.2．概率网格纸 62
2.8．多维分布 63
2.8.1．二维正态分布 64
2.8.2．多维正态分布 65
3.1．最小二乘法 67
3.1.1．高斯的两个论据 67
3．直接观测平差和间接观测平差 67
3.1.2．在相关平差中的应用 68
3.2．直接观测平差 69
3.2.1．一个未知数的观测值 69
3.2.1.1．公式推导 69
3.2.1.2．一般平均值计算实例 70
3.2.1.3．高相关影响（无正文——译者） 71
3.2.2．一个向量的多次观测 71
3.2.2.1．问题的提出 71
3.2.2.2．公式推导 71
3.3．间接观测平差 73
3.3.1．误差方程式的线性化 73
3.2.2.3．实例 73
3.3.2．公式推导 74
3.3.3．高程网平差实例 76
3.4．加密网 77
3.4.1．方向误差方程和边长误差方程中系数的确定 77
3.4.2．误差方程的建立 79
3.4.3．加密网的实例 80
3.4.3.1．测边平差 82
3.4.3.2．方向平差 83
3.4.4．简化误差方程式 84
3.4.4.1．问题的提出 84
3.4.4.2．高斯简化法 85
3.4.4.3．史赖伯简化法 86
3.4.4.4．约化权矩阵法 87
3.4.4.5．三种方法的比较 88
3.4.5．方向和边长联合平差 89
3.4.5.1．量纲和权 89
3.4.4.6．在误差方程中消除定向角未知数引起的信息减少 89
3.4.5.2．实例 90
3.4.6．测站平差 91
3.4.6.1．问题的提出 91
3.4.6.2．完全方向组 91
3.4.6.3．不完全方向组的间接观测平差 93
3.4.6.4．不完全方向组的白塞尔迭代法测站平差 94
3.4.7．带有相关方向组的加密网的平差 95
3.4.7.1．约化权矩阵G及推导 95
3.4.7.2．测站平差方向组的G 96
3.4.7.3．测站间相关时的G 97
3.4.7.4．连接点的协方差矩阵 98
3.4.7.5．采用3.3.3．节的算例进行高程网平差 98
3.4.7.6.、3.4.7.2．和3.4.7.4．节问题的实例 100
3.4.8．点位精度 103
3.4.8.1．线性误差标准 103
3.4.8.2．面积的误差标准 104
3.4.8.3．空间点位的确定 104
3.4.9.2．严密求解公式 105
3.4.9.1．问题的提出和定义 105
3.4.9．网的赫尔默特调整法 105
3.4.9.3．近似求解公式 107
3.5．附有奇异矩阵N的平差 107
3.5.1．秩亏 107
3.5.2．数亏 108
3.5.3．形亏 108
3.5.4．平面控制网的强制自由平差 108
3.5.5.1．具有8个点的自由网平差 111
3.5.5．萨特恩豪森地区的测边网 111
3.5.5.2．附有非奇异矩阵N的平面控制网平差 113
3.5.5.3．补充变换 113
3.5.6．相邻角度测量时的测站平差 113
3.6．附有未知数或附有条件的间接观测平差 115
3.6.1．间接和直接观测值的统一处理 115
3.6.2．重力网平差 116
3.6.3．未知数间的条件 117
3.6.4．最常用的两步平差法 120
3.6.5．对扇形测角法的角度进行测站平差实例 121
3.6.6．补充测量对网的改正 122
3.7．几点补充 123
3.7.1．平差后观测值权倒数的检验 123
3.7.2．包括补充测量在内的间接观测平差 124
3.7.3．无法方程式的平差 125
3.7.4．函数模型和随机模型 126
3.7.5．用未知数直接计算改正数 126
4.1.2．条件数 128
4.1.1．条件观测平差的过程 128
4.1．条件方程式和不符值 128
4．条件观测平差 128
4.1.3．非线性条件方程式 129
4.2．具有多个条件的平差 130
4.2.1．公式推导 130
4.2.2．自由水准网平差 132
4.2.3．附合水准网平差 134
4.2.4．自由方向网条件方程 134
4.2.4.1．角条件和极条件 134
4.2.5．附合方向网 136
4.2.6．正弦条件的数值化处理 136
4.2.4.2．条件数计算公式 136
4.2.7．大地四边形平差实例 138
4.3．不用法方程式的条件平差 140
4.3.1．正交条件方程式 140
4.3.2．条件方程式正交化方法和实例 140
4.3.3．用高斯－沃格利尔迭代法进行水准网平差 141
4.3.4．贝斯林测站平差 144
4.4.1．问题的提出 147
4.4.2．公式推导 147
4.4．附有未知数的条件观测平差 147
4.4.3．误差计算 148
4.4.4．沙达诺方位角测定法 149
4.4.5．摄影测量平差法 150
4.4.6．实例 154
5．平差问题选编 156
5.1．大型三角网 156
5.1.1．约化法方程式的加法理论 156
5.1.2．网界的划定问题 158
5.3.2．平差直线和回归直线 159
5.3.1．问题的提出 159
5.2．忽略相关性的影响问题 159
5.3．平差函数 159
5.3.3．平差正弦曲线 161
5.3.4．任意函数 162
5.3.4.1．整指数多项式 162
5.3.4.2．傅里叶级数 162
5.3.5．复合函数关系 163
6.数理统计的几点应用 164
6.1.分布的临界值和置信区间 164
6.2.1.t分布 165
6.2.t分布，临界值和置信区间 165
6.2.2.t分布的临界值 166
6.2.3．当未给定σ时数学期望值的置信区间 166
6.3.X2分布和σ的置信区间 167
6.3.1.X2分布 167
6.3.2.X2分布的临界值 168
6.3.3.σ的置信区间 168
6.4.1．问题的提出 170
6.4．显著性检验 170
6.4.3．检验的风险和势 171
6.4.2．显著性检验的补充 171
6.5．方差和协方差检验 172
6.5.1．F分布 172
6.5.2．F分布的临界值 172
6.5.3．经验方差F分布 172
6.5.5．相关系数分布 174
6.5.6．置信区间和相关系数显著性检验 174
6.5.4．巴尔利特均匀性检验 174
6.6．两个随机变量之差的显著性检验 175
6.6.1．具有相同观测方差的两个观测列的平均值的比较 175
6.6.2．具有不同观测方差的两个观测列的平均值的比较 176
6.6.3．一个参数的两个独立平差值的比较 177
6.7．分布规律的确定 177
6.7.1.X2拟合检验 177
6.7.2．一个变量的姆曼和瓦尔德的X2拟合检验 179
6.7.3．柯尔莫哥夫－斯米尔诺夫拟合检验法 179
6.7.4.1．中心矩 180
6.7.4．正态分布的专门检验法 180
6.7.4.2．对于偏度和峰值的显著性检验 182
6.7.4.3．改正数检验 182
7．经验数学模型 183
7.1．回归分析 183
7.1.1．回归系数 183
7.1.2．正态分布的二维问题的回归 183
7.1.3．部分相关 185
7.1.4．复杂回归 187
7.2.1．概念 189
7.2．拟合推估 189
7.2.2．观测方程 190
7.2.3．公式推导 190
7.2.4．有应用价值的假设 192
7.2.5．协因子矩阵、正定函数 192
附录 194
表1 标准正态分布的概率密度N？(X) 194
表2 标准正态分布的分布函数N？(X) 195
参考文献 196