第一章 矢量、平行投影 1
Ⅰ．线段，轴，矢量 1
1．线段 1
2．轴 1
3．矢量 2
4．矢量的相等 3
5．矢量：自由矢量，滑动矢量，胶着矢量 3
Ⅱ．矢量的和，数量乘矢量的乘积 4
6．加法和乘法的运算 4
7．矢量的和 6
8．特款 8
9．矢量的差 10
10．数量乘矢量的积 10
11．与一已知方向平行的矢量，单位矢量 13
12．在轴上的矢量 14
Ⅲ．轴上投影和面上投影 15
13．轴上的投影 15
13a．在同一平面上的图形的投影 17
14．平面上的投影 18
15．矢量的和与差在轴上的投影 19
16．矢量的和与差在平面上的投影 20
17．数量乘矢量的积的投影 21
Ⅳ．直角投影的计算公式 21
18．两方向间的角 21
19．矢量在轴上的直角投影的计算公式 22
19a．推广 23
20．矢量投到平面上的直角投影的长 24
21．平面图形在另一平面上的投影的面积 25
Ⅴ．两个矢量的数积与矢积 27
22．两个矢量的数积 27
23．用数积来表示矢量的直角投影 30
24．三个方向的右手系和左手系 30
25．两个矢量的矢积 31
26．三个矢量的混合积 34
第二章 矢量的坐标，点的坐标 37
Ⅰ．笛氏坐标 37
27．在直线（或轴）上的坐标 37
28．矢量和点在平面上的坐标 39
29．平面上的直角坐标 42
30．矢量和点在空间的坐标 43
31．空间的直角坐标 46
32．按给定方向来分解矢量 47
33．笛氏坐标的推广 48
Ⅱ．表示仿射性质的基本公式 51
34．已知矢量的和的坐标 51
35．用已知的起点和终点来决定矢量 52
36．以数量乘矢量的乘积的坐标 53
37．两个矢量平行的条件 55
37a．两个矢量平行的条件（补充） 56
38．三点共线的条件 57
39．三个矢量共面的条件 58
40．四点共面的条件 61
41．线段的定比分割 61
Ⅲ．用直角坐标表示度量性质的基本公式 64
42．两个矢量的数积 64
43．矢量的长；矢量和坐标轴的夹角；两点间的距离 65
44．坐标单位矢量；方向余弦 67
45．两个矢量（或两个方向）所成的角 68
46．两个矢量（或方向）垂直的条件 70
47．平面上旋转方向的定义 71
48．平面上两个方向的夹角的定义（在这个角有了正负号之後） 74
49．三角形的面积，已知构成两边的两个矢量 76
50．三角形的面积，已知三个项点 77
51．两个矢量的矢积 78
52．三个矢量的混合积，平行六面体的体积 80
53．四面体的体积，已知顶点的坐标 82
Ⅳ．用广义笛氏坐标表示度量性质的基本公式 83
54．协变和逆变的笛氏坐标 83
55．协变坐标和逆变坐标的关系 84
56．几个主要的表示方式：两个矢量的数积，矢量的长，两点间的距离，两个方向所成的角 86
57．在狭义斜角坐标系里的方向坐标和方向余弦 88
Ⅴ．各种坐标系 90
58．平面上的极坐标系 90
59．推广 91
60．平面上极坐标和笛氏坐标的变换 91
61．空间的极坐标 93
62．半极坐标（柱面坐标） 94
63．坐标通则 95
第三章 笛氏坐标的变换，运动和仿射变换 98
Ⅰ．笛氏坐标变换的一般公式 98
64．原点的移动 98
65．坐标矢量的变换 99
66．一般情形 102
67．补充 105
68．协变坐标的变换 108
Ⅱ．坐标变换的最重要特款 109
69．平面上的直角坐标变换 109
70．空间的直角坐标变换 112
71．直角坐标变换公式中系数间的关系 114
72．正交代换，前节公式的代数证法 118
73．欧拉角 119
74．平面上狭义斜角坐标的变换 123
Ⅲ．运动和仿射变换 123
75．运动 124
76．仿射变换 127
77．相似变换和运动，都是仿射变换的特款 134
78．点变换群，几何学科的分类 138
第四章 平曲线的方程，平面上的直线 141
Ⅰ．平曲线的分析表示法 141
79．曲线的方程 141
80．举例：直线和圆的方程 143
81．曲线的参数表示法 147
82．不同坐标系的曲线方程 148
83．曲线分析表示法的基本问题 149
84．各种曲线举例 151
85．平曲线的分类 157
86．可分解和不可分解的代数曲线 159
87．关於两曲线的交点 160
Ⅱ．直线方程的各种格式 162
88．直线方程的方向系数式，参数表示式 162
89．直线方程的简化式 165
90．直线方程的一般式 168
91．一般式直线方程的特款 169
92．三项式Ax+By+C的符号 170
93．截距式 172
94．已知方程，求作直线的方法 173
95．在一般式的方程里，系数A和B的几何意义 174
96．直线方程的标准式 175
Ⅲ．关於直线的主要问题 177
97．问题1．求两已知直线的平行和叠合条件 178
98．问题2．求两直线的交点 180
99．问题3．求笛氏坐标的？换公式，已知新坐标轴的方程 181
100．问题4．求已知直线和已知曲线的交点 182
101．问题5．求两条已知直线的夹角 186
102．问题6．求两条直线垂直的条件 187
103．问题7．求已知点到已知直线的距离 188
104．问题8．求联结两已知点的线段为已知直线所分割的比值 190
105．在直线方程里独立常数的个数 191
106．线束 192
107．问题9．求直线的方程，经过已知点又和已知方向平行 193
108．问题10．求直线的方程，经过已知两点M1（x1,y1）和M2（x2，y2） 193
109．问题11．求直线的方程，经过已知点又和已知直线垂直 194
110．问题12．求直线的方程，经过已知点又和已知直线成已知角 194
111．直线的一般方程，经过两条已知直线的交点 195
112．问题13．求直线，经过两条已知直线的交点又经过另一已知点 198
113．三直线相交於一点的条件 199
114．问题14．求直线方程，经过已知两直线的交点，并取得已知方向 201
115．常数k的几何意义 201
第五章 空间的直线和平面 205
Ⅰ．曲面的方程，曲线的方程系 205
116．曲面的方程 205
117．在直角坐标系里，球面和圆锥面的方程 207
118．柱面的方程 209
119．曲面的分类 210
120．曲线的方程 211
121．曲线和曲面的参数表示 212
122．空间曲线和曲面的交点 214
Ⅱ．平面的方程 215
123．平面方程的一般式，参数表示式 215
124．系数A,B,C的几何意义 217
125．特款 218
126．四项式Ax+By+Cz+D的符号 219
127．平面方程的截距式 219
128．已知方程，求作平面的图 220
129．平面在坐标平面上的截痕 221
130．两个平面平行或叠合的条件 222
131．平面方程的标准式 223
Ⅲ．空间直线的方程系 225
132．直线方程系的方向系数式，参数表示式 225
133．直线方程系的简化式 228
134．两条直线平行和叠合的条件 230
135．直线方程系的一般式 230
Ⅳ．关於直线和平面的主要问题 232
136．问题1．求两个平面的交线 233
137．问题2．求三个平面的交点 233
138．问题3．求笛氏坐标系的变换公式，已知新坐标平面的方程 234
139．题问4．求平面和直线的交点 235
140．题问5．求1°已知曲面和已知平面的交线；2°已知曲面和已知直线的交点；3°已知曲线和已知平面的交点 236
141．问题6．求已知平面或已知直线所成的角 238
142．问题7．求已知直线和已知平面的垂直条件 241
143．问题8．求已知点到已知平面的距离 242
144．问题9．求联结两已知点的线段被已知平面所分割的比值 243
145．决定平面和直线在空间的位置所需的独立常数的数目 243
146．线把和面把，面束 244
147．问题10．求直线，经过已知点且和已知直线（或矢量）平行 248
148．问题11．求直线，经过已知点 M1（x1，y1，z1）且和已知平面Ax+By+Cz+D=0垂直 248
149．问题12．求经过两个已知点的直线 248
150．问题13．求平面，经过已知点M（x1,y1,z1）且和已知平面平行 248
151．问题14．求平面，经过已知点M1（x1,y1,z1）且和已知直线或矢量垂直 249
152．问题15．求平面，经过已知直线和已知点 249
153．问题16．求平面，经过不共线的三个已知点 250
154．问题17．求平面，经过已知直线，且和另一已知直线或矢量平行 251
155．问题18．求平面，经过已知直线且和已知平面垂直 252
156．问题19．求两已知直线共面（相交）的条件 252
157．问题20．求垂线的方程，通过已知点M垂直於已知直线？ 253
158．问题21．求已知点到已知直线的距离 255
159．问题22．求两直线的公共垂线的方程系 256
160．问题23．求两直线间的最短距离 256
第六章 虚元素和假元素，齐次笛氏坐标和投影坐标，投影变换 258
Ⅰ．几何上的虚元素 258
161．虚点和虚矢量 258
162．虚直线和虚平面 261
Ⅱ．齐次坐标和假元素，直线坐标和平面坐标 262
163．直线上的齐次笛氏坐标 262
164．应用於代数方程求根的问题 264
165．平面上的齐次笛氏坐标 266
166．在平面上用齐次坐标时直线的方程 268
167．在平面上用齐次坐标时，直线的参数表示式 276
168．空间的齐次笛氏坐标 278
169．空间直线的参数表示式 284
170．平面上的直线坐标，点和直线的对偶 285
171．空间的平面坐标，点和平面的对偶 288
172．投影几何的基本形 289
173．齐次笛氏坐标的变换 289
174．代数曲线和代数曲面的齐次坐标方程，几个一般性的命题 292
175．假虚圆点和假虚圆 300
Ⅲ．投影坐标和投影变换 303
176．分式平直代换（直射代换） 303
177．点的投影坐标 305
178．代数曲线和曲面的齐次投影坐标方程 311
178a．点列和线束用投影坐标的参数表示 314
179．投影点变换 315
180．四点的交比 320
181．调和隔离 325
182．交比在直射代换下的不变性 325
183．四直线的交比和四平面的交比 327
184．投影和截影 330
185．一元度基本形间的投影对应 331
186．直线上投影坐标的几何意义 332
187．直线上四点的交比，用参数来表示 334
188．线束（面束）内四条直线（四个平面）的交比，用参数来表示，束内的投影坐标 335
189．两个一元度基本形投影对应的分析表示法 336
190．叠置的一元度基本形，对合 337
191．平面上和空间的投影坐标的几何意义 340
192．平面上和空间的投影坐标变换的几何意义 344
193．平面上和空间的投影点变换的基本性质 345
194．对射（对偶） 346
第七章 圆锥截线的简化方程和初步性质 349
Ⅰ．圆锥截线的标准方程 349
195．椭圆的定义和它的标准方程 349
196．椭圆形状的研究 351
197．双曲线的定义和它的标准方程 354
198．双曲线的形状的研究，渐近线 356
199．焦距的性质，椭圆和双曲线的准线和这些曲线的新定义 359
200．抛物线的定义和它的标准方程 363
Ⅱ．椭圆，双曲线，抛物线，作为正圆锥面的截线 367
201．正圆锥面和平面的交线 367
202．由给定的圆锥面求给定的圆锥截线 370
Ⅲ．圆锥截线方程的某些简单形式，相似的圆锥截线 371
203．取渐近线为坐标轴的双曲线方程 371
204．圆锥截线的参数表示，逐点作图法 373
205．圆锥截线的极坐标方程（以焦点为极点） 376
206．取顶点为原点的圆锥截线方程 379
207．相似的圆锥截线 381
第八章 二次曲线的投影性质，切线和极线 385
Ⅰ．二级曲线的投影分类 385
208．记号 385
209．二级曲线的可分解和不可分解，二级曲线的叠合 389
210．二级曲线可分解的条件 390
211．用投影坐标时二级曲线的典型方程，投影的分类 391
212．用五点决定二级曲线 394
213．二级曲线束 397
214．巴斯卡定理 399
215．用两个投影线束产生二级曲线 401
Ⅱ．二级曲线和直线的交点，切线 402
216．在齐次坐标系决定二级曲线和直线的交点的方程 402
217．二级曲线的切线 403
218．切线作为割线的极限 405
Ⅲ．极点和极线，切线坐标方程 410
219．从平面上已知点作切线，极点和极线 410
220．极点和极线的另一定义，共轭点 413
221．二级曲线所决定的配极对应 414
222．自配极三角形 415
223．共轭直线，二级曲线的切线坐标方程，阶的概念 416
224．对偶原则应用於二级曲线的情形 418
第九章 二次曲线的仿射性质和度量性质 420
Ⅰ．仿射分类，中心，直径，渐近线 420
225．二级曲线的仿射分类 420
225a．抛物类型的可分解曲线 422
226．渐近方向 425
227．在不齐次笛氏坐标系决定二级曲线和直线的交点的方程 425
228．二级曲线的中心 427
229．渐近线 430
230．二级曲线的直径 431
231．直径和切线的关系 436
232．直径作为假点的极线 437
233．已知二级曲线的图形求作中心和直径，互补的两弦 437
234．有中心二级曲线的方程，取共轭直径为坐标轴 438
235．抛物类型曲线的简化方程 442
236．二级曲线的方程取切线和径过切点的直径为坐标轴 443
Ⅱ．主直径，在直角坐标系的标准方程 444
237．主直径 444
238．圆锥截线在直角笛氏坐标系的标准方程 446
239．圆的方程 448
Ⅲ．法线，切线的焦性 450
240．平曲线的法线 450
241．椭圆切线的焦性 450
242．双曲线切线的焦性 453
243．抛物线切线的焦性 455
Ⅵ．椭圆，双曲线，抛物线的直径的研究 457
244．椭圆的直径 457
245．双曲线的直径 459
246．抛物线的直径 463
第十章 不变量，二次曲线的形状和位置的决定 464
Ⅰ．不变量 464
247．笛氏坐标变换对於方程的影响 464
248．不变量的概念，举例 467
249．二级曲线方程的基本不变量 469
250．在广义笛氏坐标情形下的度量不变量 473
251．应用：阿波罗尼定理 475
Ⅱ．二级曲线方程的化简 476
252．对於中心的变换 476
253．用正交代换，把二元二次方式化为典型式 479
254．有中心二级曲线的方程的化简 481
255．没有确定中心的曲线方程的化简 484
256．一对平行直线的方程的第二化简法，条件不变量 488
257．结果的总结，1．二级曲线的仿射分类 490
258．结果的总结，2．从二级曲线的方程去决定它的形状和大小 492
259．结果的总结，3．化方程为标准式并决定曲线在平面上的位置 494
260．两条二级曲线相似的条件 499
261．两条二级曲线全等的条件，正交不变量A,A33,S组成完备系的证明 503
第十一章 二次曲面的基本性质，切面，中心，直径 508
Ⅰ．投影分类，切面 508
262．记号 508
263．二级曲面的分解，叠合条件 511
264．二级曲面的投影分类 512
265．在齐次坐标系决定直线和二级曲面的交点的方程 518
266．切线，切面 519
267．具有椭圆点，双曲点，抛物点的曲面 520
268．切锥面，极面和极点，切面坐标方程 524
Ⅱ．二级曲面的仿射性质，中心，直径 526
269．曲面和假平面的交线，仿射分类 526
270．在不齐次笛氏坐标系，决定二级曲面和直线的交点的方程 530
271．中心 530
272．直径面 532
273．有中心曲面的直径面和直径 534
274．直径面作为假点的极面 535
275．渐近线 535
Ⅲ．度量性质，主直径面，化方程为标准式 536
276．主直径面和主方向 536
277．关於三元二次方式变换的某些一般命题 538
278．方程D(λ)=0的根以及和它们对应的主方向的性质 541
279．笛氏坐标变换对於曲面方程的影响 547
280．正交不变量 547
281．化二级曲面方程为标准式，1．有中心曲面 549
282．化二级曲面方程为标准式，2．没有确定中心的曲面 552
283．化二级曲面的方程为标准式，3．结果的总结 555
283a．笛卡儿符号法则 557
第十二章 个别二次曲面形状的探求，母直线，圆截口 558
Ⅰ．个别二级曲面形状的探求 558
284．个别曲面的标准方程一览表 558
285．平行平面和二级曲面的截口 559
286．二级锥面 559
287．椭圆面 561
288．单叶双曲面 564
289．双叶双曲面 568
290．椭圆抛物面 570
291．双曲抛物面 573
Ⅱ．二级曲面的母直线 576
292．一般的说明 576
293．单叶双曲面的母直线 578
294．双曲抛物面的母直线 585
295．已知三条母线，求作二级直纹曲面的方法 589
Ⅲ．二级曲面的圆截口 590
296．引言 590
297．有中心二级曲面的圆截口 592
298．椭圆抛物面和椭圆柱面的圆截口 596
附录 关於一次方式和二次方式的基本知识 599
Ⅰ．行列式和表（矩阵） 599
1．行列式的某些性质 599
2．行列式或表的秩 602
3．行列式不为零的一次方程系的解答 603
Ⅱ．一次方式 604
4．代数方式，一次方式 604
5．一次方式系，一次方式的相关或无关 605
6．应用於在一般情形下，求解一次齐次方程系的问题 609
6a．特款 613
7．不齐次方程系的解答 614
8．平直代换 616
9．平直代换的继续进行 619
Ⅲ．双一次方式和二次方式 619
10．双一次方式与二次方式 619
11．二次方式的变换 621
12．化二次方式为典型式 624
13．二次方式可分解为两个一次因子的条件 628
14．正交代换 630
15．关於利用正交代换，化二次方式为典型式的方法 633