目 录 1
第六章微分方程 1
第一节微分方程的基本概念 1
1.1应用问题举例 1
1.2微分方程的解 3
习题6-1 6
第二节一阶微分方程 7
2.1可分离变量的微分方程 7
2.2一阶线性微分方程 12
习题6-2 17
第三节高阶线性微分方程 19
3.1高阶线性微分方程的概念 19
3.2朗斯基行列式 23
3.3高阶线性微分方程的通解结构 26
习题6-3 28
第四节常系数线性微分方程的解法 29
4.1常系数齐次线性微分方程的解法 29
4.2常系数非齐次线性微分方程的解法 33
4.3应用举例 42
4.4欧拉方程 47
习题6-4 49
第五节可降阶的高阶微分方程 51
习题6-5 55
第六节微分方程的幂级数解法 56
习题6-6 60
附录 61
第七节常系数线性微分方程组解法举例 61
习题6-7 67
第八节常系数线性微分方程的算子解法 68
8.1算子及其性质 68
8.2运算子及其性质 70
8.3微分方程算子解法举例 73
习题6-8 78
杂题 78
第七章向量与空间解析几何 81
第一节向量及其基本运算 81
1.1 向量的概念 81
1.2向量的加法 82
1.3数与向量的乘法 83
1.4向量的线性组合与向量的分解 86
1.5有序向量的定向 88
习题7-1 90
2.1空间直角坐标系 91
第二节空间直角坐标系 向量的坐标 91
2.2向量的坐标 93
2.3用坐标作向量运算 95
习题7-2 98
第三节向量的数量积与向量积 99
3.1向量的数量积 99
3.2向量的向量积 103
3.3混合积与三重向量积 107
习题7-3 110
4.1空间直线的方程 112
第四节空间直线与平面 112
4.2平面的方程 114
4.3有关平面与直线的问题举例 119
习题7-4 124
第五节曲面与空间曲线 127
5.1曲面与空间曲线的方程 127
5.2柱面与锥面 130
5.3空间曲线在坐标面上的投影 135
5.4二次曲面 136
习题7-5 141
第六节 向量值函数及其导数与积分空间曲线的切线 143
6.1向量值函数的概念 143
6.2向量值函数的极限与连续性 146
6.3向量值函数的导数与积分 147
6.4空间曲线的切线 151
习题7-6 152
第七节曲线的弧长 曲率 153
7.1 曲线的弧长 光滑曲线 153
7.2曲率 159
7.3向径与切线的夹角 162
习题7-7 163
第八节曲线运动 165
8.1速度和加速度 165
附录 165
8.2单位向量的导数 167
8.3速度向量与加速度向量的分解 167
8.4切向加速度与法向加速度 170
习题7-8 172
第九节坐标变换 173
9.1平移变换 173
9.2旋转变换 175
9.3正交变换 180
习题7-9 181
杂题 183
1.1多元函数的概念 187
第一节多元函数的极限与连续性 187
第八章多元函数及其微分法 187
1.2二元函数的图形 188
1.3二元函数的极限与连续性 192
习题8-1 196
第二节偏导数 196
2.1偏导数的概念开集 196
2.2偏导数的几何意义 200
2.3 高阶偏导数 203
习题8-2 205
3.1复合函数的全导数 207
第三节 复合函数的微分法 207
3.2曲面的切平面与法线 209
3.3方向导数与梯度 211
3.4复合函数的偏导数 216
习题8-3 221
第四节隐函数的微分法 曲面的参数方程 224
4.1一个方程的情形 224
4.2方程组的情形 226
4.3曲面的参数方程光滑曲面 229
习题8-4 235
5.1全微分的概念 237
第五节全微分 237
5.2全微分形式的不变性 241
习题8-5 245
第六节 多元函数的极值与条件极值 247
6.1多元函数的极值区域 247
6.2条件极值 251
习题8-6 255
附录 256
第七节二元函数的泰勒公式 256
7.1二元函数的一阶泰勒公式 256
7.2极值充分条件的证明 260
7.3二元函数的n阶泰勒公式 265
习题8-7 267
杂题 267
第九章重积分 271
第一节二重积分及其计算 271
1.1二重积分的概念与性质 271
1.2平面区域的表示法 274
1.3二重积分的计算 276
习题9-1 280
第二节二重积分的换元法 282
2.1极坐标系的情形 282
2.2曲线坐标系的情形 288
习题9-2 297
第三节二重积分的应用 299
3.1物理应用 299
3.2曲面的面积 302
习题9-3 306
第四节三重积分 308
4.1三重积分的概念 308
4.2三重积分的计算 309
4.3利用柱面坐标计算三重积分 312
4.4利用球面坐标计算三重积分 315
4.5三重积分的一般换元公式 318
习题9-4 322
附录 324
第五节广义二重积分含参量的积分 324
5.1广义二重积分举例 324
5.2含参量的积分 326
5.3Γ函数与B函数 331
习题9-5 334
杂题 335
第十章曲线积分与曲面积分 338
第一节曲线积分 338
1.1对弧长的曲线积分 338
1.2对坐标的曲线积分 343
1.3两类曲线积分之间的联系 350
习题10-1 352
第二节格林公式 353
习题10-2 359
第三节 曲线积分与路径无关的条件 360
3.1曲线积分与路径无关的条件 360
3.2全微分方程 370
习题10-3 372
第四节曲面积分 374
4.1对面积的曲面积分 374
4.2对坐标的曲面积分 379
习题10-4 386
第五节高斯公式通量与散度 387
5.1高斯公式 387
5.2通量与散度 391
习题10-5 393
第六节斯托克斯公式旋度与环量 395
6.1斯托克斯公式 395
6.2旋度与环量 398
习题10-6 404
杂题 405
习题答案 409