目 录 1
前言 1
第四部分最简单的几何流形 4
第十章作为相对量的线段、面积与体积 4
通过行列式来定义；符号的解释 4
最简单的应用、特别是交比 8
直线多边形的面积 9
曲线所围图形的面积 13
安姆斯拉极性求积仪原理 14
多面体体积，棱边定律 20
单侧多面体 24
第十一章平面上的格拉斯曼行列式原理 27
线段（矢量） 28
在刚体静力学中的应用 29
直角坐标变换下几何量的分类 32
分类原理对初等几何量的应用 34
第十二章格拉斯曼空间原理 37
线段与平面片 39
在刚体静力学中的应用 40
与莫比鸟斯零系统的关系 42
零系统的几何解释 44
与螺旋体理论的关系 48
第十三章直角坐标变换下空间基本图形的分类 50
关于空间直角坐标变换的一般情况 50
某些基本几何量的变换公式 54
等价流形：力偶及自由平面量 55
自由线段及自由平面量（“极性”及“轴性”矢量） 58
第一类及第二类标量 61
有理矢量代数的概要 62
在矢量运算中缺乏统一的术语 65
第十四章导出的流形 69
由点（曲线、曲面、点集）导出的图形 69
解析几何与综合几何的区别 70
射影几何及对偶性原理 72
普吕克解析方法及对偶性（直线坐标）原理的扩张 75
格拉斯曼的扩张理论；n－维几何量及矢量场；有理矢量分析 78
第五部分几何变换 86
变换及其解析表示 86
第十五章仿射变换 87
解析定义及基本性质 87
在椭（球）面上理论的应用 91
从平面到另一平面的平行投影 97
空间轴测作图（系数行列式为零的仿射变换） 99
波尔克基本定理 104
第十六章投影变换 108
解析定义；齐次坐标的引入 108
几何定义：每一个直射都是投影变换 110
基本流形在投影变换下的情形 115
空间到平面的中心投影（系数行列式为零的投影变换） 118
立体透视 119
投影变换在推导圆锥曲线性质中的应用 121
第十七章高阶点变换 124
§17.1反演变换 124
波塞和利的作直线方法 126
球面的球极平面投影 128
§17.2某些较一般的映射投影 129
麦卡多投影 130
蒂索定理 131
§17.3最一般的可逆单值连续点变换 133
曲面的亏格和连通性 135
欧拉的多面体定理 137
第十八章空间元素改变而造成的变换 138
§18.1对偶变换 138
§18.2相切变换 141
§18.3某些例子 144
代数阶和类曲线的形式 145
相切变换在齿轮理论中的应用 146
第十九章虚数理论 149
虚圆点与虚球面圆 151
虚变换 152
斯多特运用实极线系统对自共轭虚流形的解释 153
斯多特对单个虚元素的完整解释 157
虚点和虚线的空间关系 162
第六部分几何及其基础的系统讨论 165
第二十章系统的讨论 165
§20.1几何结构概述 165
作为几何分类原理的群论 168
凯莱的基本原理：射影几何就是全部几何 170
§20.2关于线性代换的不变量理论 172
不变量理论的系统讨论 176
某些简单例子 178
§20.3不变量理论在几何学上的应用 183
在带有固定原点的Rn内仿射几何中n个变量的不变量理论的解释 183
Rn-1中投影几何的解释 185
统化 188
§20.4凯莱原理和仿射几何及度量几何的系 188
仿射几何的基本概念拟合于投影系统 189
格拉斯曼行列式原理拟合于几何不变量理论概念、关 190
于张量 190
度量几何的基本概念拟合于投影系统 198
三角几何的投影解释 201
第二十一章几何学基础 203
问题的一般说明对解析几何的态度 203
由度量几何所引起的纯投影几何的发展 204
§21.1侧重运动的平面几何体系 206
由平移所引起的仿射几何的发展 207
附加旋转所得的度量几何 213
距离与角的表示式的最后推导 218
曲面面积和曲线长度一般概念的分类 221
基本概念：距离，角，全等 222
§21.2度量几何的另一种发展体系——平行公理 222
的作用 222
平行公理与平行理论（非欧几何） 224
从哲学观点看非欧几何的意义 226
非欧几何拟合于投影系统 229
现代几何的公理理论 236
§21.3欧几里德的《几何原本》 239
《几何原本》的历史地位与科学价值 240
《几何原本》十三章的内容 244
基本原理 248
第一本的开卷部分 249
欧几里德几何缺乏介于性公理诡辩的可能性 256
欧几里德几何中阿基米德公理；这个公理所排除的几 259
何量系统的例子：喇叭角 259