第一章 公理化集论 1
1 集的古典定义及其缺陷 3
1.集的古典定义——G.Cantor定义 3
2.集的例子·正整数 4
3.Russell悖论 5
2 公理集论 6
1.ZFC公理系统 6
2.映射·集的表示 7
3.子集·差集·幂集公理 8
4.并集公理·交集·笛卡尔集·叠集 11
5.序数 12
5.1.关系·次序 12
5.2.序数的概念 15
5.3.正整数·超限序数·超限归纳法 18
5.4.选择公理·良序原则 21
5.5.序数算术 24
6.基数 25
6.1.有限基数·超限基数 25
6.2.基数算术 28
6.3.连续统假设 29
7.集合论公理系统的缺陷 30
习题 33
3 实数 34
1.整数 34
2.有理数 35
3.实数·无理数·超越数 36
4.实数之有理区间套的定义 37
4.1.等价有理区间套就是实数 38
4.2.实数的四则运算 39
4.3.实数的全序性 41
4.4.有理数定义的合理性 42
习题 43
第二章 拓扑空间与连续函数 45
1 一般拓扑 45
1.开集·闭集 45
2.闭包·边界 48
3.Baire范畴集 49
4.收敛性·点网的滤子 49
5.连续映射的概念 54
6.收敛概念定义的拓扑 58
7.商空间 60
8.乘积拓扑空间 60
9.连通空间·弧连通空间 62
10.紧致空间 63
11.拓扑空间的分离性 68
12.拓扑空间的可数性和可分性 72
13.局部紧致Hausdorff空间 74
13.1.紧致Hausdorff空间 74
13.2.局部紧致Hausdorff空间的性质 74
13.3.Urysohn引理和Tietze延拓定理 76
习题 78
13.4.Gδ型集和Fσ型集 78
2 度量空间与半度量空间 81
1.（半）度量空间的概念和基本性质 81
2.度量空间的某些性质 84
3.有界映射族的一致收敛拓扑 89
4.半度量空间的某些性质 90
5.拓扑空间的度量化 92
习题 96
3 连续函数与半连续函数 98
1.连续映射与弱拓扑 98
2.连续函数与拓扑空间的紧致化 100
3.上下极限 104
4.半连续函数的概念及其等价命题 105
5.半连续函数的运算 108
6.半连续函数的性质 110
7.函数的半连续正则化 113
4 流形 116
1.基本要领 116
2.单位分解 120
2.1.单位分解的存在性 121
2.2.半连续函数的逼近定理和隔离性定理的证明 123
3.Riemann曲面 125
3.1.Riemann曲面的概念 125
3.2.镶边Riemann曲面的概念 126
3.4.解析映照 127
3.3.Riemann曲面的亏格 127
3.5.共变量 128
3.6.Dirichlet积分 130
第三章 线性代数 132
1 基本代数系统和线性空间 132
1.二面运算 132
2.群·环·域 132
3.线性空间的概念 135
4.线性组合 136
5.总和简写惯例·无限方阵 137
6.线性独立·基底 138
7.基底变换·无限方阵的逆方阵 140
8.向量分量的逆变性 142
9.直接和 143
习题 145
2 线性变换 146
1.基本概念 146
2.线性变换的表示法和矩阵 149
3.线性变换与基底变换的关系 150
4.横假无限矩阵的法式 150
5.矩阵的秩 152
6.Hom（X，Y）的维数 153
3 内积空间及其正交基底 155
1.内积空间的概念 155
2.内积空间的正交基底 156
3.正交和·正交投影 157
4.U方阵·正交方阵 159
5.顺变分量·线性独立条件 161
6.有限维内积空间的伴随基底 162
习题 163
4 内积空间的自线性变换 164
1.自线性变换的概念 164
2.正常变换·谱分解 166
3.U变换·实正交变换 169
4.自伴随变换·共轭对称方阵 172
5.反自伴随变换·反共轭对称方阵 175
6.Cayley变换 176
5 切空间和变形运动 178
1.切空间的概念 178
2.坐标变换和切空间的基底变换 179
3.欧氏空间的切空间里的内积 180
4.变形运动 181
5.无穷小线性变换和应变 182
6.应力 185
7.方阵的指数函数 186
第四章 测度与泛函 188
1 可测空间与可加集函数 188
1.环和体 188
2.可加集函数 190
3.复测度的概念 193
2 抽象测度和积分 195
1.可取∞值的测度 195
2.Caratheodory外测度与测度的延拓 197
3.可测函数 201
3.1.可测函数的概念 201
3.2.可测函数列 202
3.3.几乎处处收敛 203
4.正则测度·正规测度·Lusin定理 205
5.抽象Lebesgue积分 206
习题 210
3 线性赋范空间 211
1.线性赋范空间及其上的连续线性算子 211
2.Lp空间 215
2.1.几个重要的积分不等式 215
2.2.Lp空间的定义 216
2.3.复可测函数空间 ·依测度收敛 217
2.4.空间Lp和的完备性及可分性 218
3.Hilbert空间中的泛函表现定理 219
4.Hahn-Banach泛函延拓定理 223
5.Radon-Nikodym定理 227
6.自反空间 232
7.弱收敛 236
8.开映像原理·共鸣定理·闭图像定理 239
习题 240
4 测度与泛函的积分表示 242
1.复测度的极表示 242
2.紧致度量空间上的集函数和Riesz表现定理 245
4.正线性泛函 249
3.Radon测度的概念 249
5.正线性泛函在下半连续函数族里的延拓 251
6.正线性泛函导出的外测度 253
7.正线性泛函导出的外测度的内正则性 254
8.正线性泛函导出的Radon测度 256
9.正线性泛函关于Radon测度的积分表示 258
习题 260
第五章 广义函数 261
1 拓扑线性空间 263
1.吸收集·平衡集·凸集 263
2.拓扑线性空间 265
3.半范与Minkowski泛函 269
4.局部凸拓扑线性空间 272
5.可度量化与赋范化 275
6.函数空间Cm（Ω）与C∞（Ω）的拓扑 280
7.诱导极限拓扑 281
8.函数空间Cm（Ω）与C∞（Ω）的拓扑 284
习题 286
2 广义函数的概念和基本性质 288
1.局部可积函数 288
2.广义函数空间（Ω） 292
2.1.基本空间（Ω）与（Ω）广义函烽 292
2.2.广义函数与局部可积函数、测度的关系 296
3.广义函数空间 （Ω） 300
3.1.（Ω）广义函数运算 300
3.2.（Ω）广义函数的原函数 301
3.3.（Ω）广义函数的极限 303
4.广义函数空间（Ω） 304
5.广义函数空间 305
5.1.急减函数基本空间 305
5.2.缓增广义函数空间 308
6.三类广义函数空间的关系 310
6.1.基本空间的嵌入关系 310
6.2.广义函数空间的嵌入关系 311
6.3.（Ω）广义函数的支集 311
习题 313
3 广义函数的卷积 315
1.（Ω）广义函数的直积 315
2.广义函数的卷积 317
习题 322
4 广义函数的Fourier变换 323
1.可积函数的Fourier变换 323
2.函数的Fourier变换 324
3.缓增广义函数的Fourier变换 328
习题 333
5 Sobolev空间 334
1.空间Wm·p（Ω） 334
2.空间Hm·p（Ω） 337
3.嵌入定理 342
习题 347
参考文献 348