第1章 误差 3
1.1 误差的来源与分类 3
1.2 绝对误差与相对误差 5
1.2.1 绝对误差与绝对误差限 5
1.2.2 相对误差与相对误差限 6
1.3 有效数字与误差的关系 7
1.3.1 有效数字 7
1.3.2 有效数字与绝对误差和相对误差的关系 9
1.4 浮点数及其运算 11
1.4.1 数的浮点表示 12
1.4.2 浮点数的运算 13
1.5 误差危害的防止 13
小结 19
习题 20
第2章 插值与似合 22
2.1 插值问题 22
2.1.1 插值问题的基本概念 22
2.1.2 插值多项式的存在唯一性 23
2.1.3 插值余项 24
2.2 拉格朗日插值多项式 25
2.3 差商与牛顿插值多项工 30
2.3.1 差商的定义及其性质 30
2.3.2 牛顿插值公式 32
2.4 差分与等距节点插值公式 35
2.4.1 差分及其性质 35
2.4.2 等距节点的牛顿插值公式 36
2.5 分段低次插值 39
2.5.1 分段线性插值 41
2.5.3 分段三次埃尔米特插值 43
2.5.2 分段二次插值 43
2.5.4 三次样条插值 45
2.6 曲线拟合的最小二乘法 49
小结 58
习题 58
第3章 数值积分 62
3.1 引言 62
3.1.1 插值型求积公式 63
3.1.2 求积公式的代数精度 64
3.2 牛顿-柯特斯求积公式 66
3.2.1 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式 66
3.2.2 几个低阶求积公式 67
3.3 复化求积公式 75
3.3.1 复化求积公式的建立 76
3.3.2 复化求积公式的截断误差 77
3.3.3 截断误差事后估计与步长的选择 80
3.3.4 复化梯形的递推算式 82
3.4 龙贝格方法 85
3.4.1 梯形公式精度的提高 85
3.4.2 辛卜生公式精度的提高 86
3.4.3 柯特斯公式精度的提高 86
3.5 高斯型求积公式 89
3.5.1 高斯(Gauss)型求积公式的定义 89
3.5.2 建立高斯型求积公式 91
小结 94
习题 95
第4章 解线性方程组的直接法 98
4.1 向量和矩阵的范数 99
4.1.1 向量范数 99
4.1.2 矩阵范数 101
4.2.1 顺序高斯消去法 103
4.2 消去法 103
4.2.2 列主元素高斯消去法 107
4.3 三角分解法 109
4.3.1 克洛特(Grout)分解法 109
4.3.2 杜里特尔(Goolittle)分解法 113
4.3.3 平方根法 114
4.3.4 改进平方根法 117
4.3.5 解实三对角线性方程组的追赶法 118
4.4 误差分析 120
小结 123
习题 124
第5章 解线性方程组的迭代法 126
5.1 雅可比迭代法 126
5.2 高斯-赛德尔迭代法 130
5.3 迭代法的收敛性 133
5.4 松弛迭代法 141
小结 144
习题 145
第6章 非线性议程的数值解法 147
6.1 引言 147
6.2 简单迭代法 151
6.2.1 简单迭代法 151
6.2.2 局部收敛 158
6.2.3 收敛速度的阶 159
6.2.4 迭代公式的加速 160
6.3 牛顿法 162
6.3.1 牛顿法的迭代公式 162
6.3.2 牛顿法的收敛性 163
6.4 弦截法 167
6.4.1 弦截法 167
6.4.2 弦截法的计算步骤 168
6.4.3 快速弦截法 169
小结 170
习题 171
第7章 常微分方程初值问题的数值解法 173
7.1 引言 173
7.2 尤拉方式 175
7.2.1 尤拉公式 175
7.2.2 截断误差 176
7.2.3 改进尤拉法 177
7.3 龙格-库塔法 180
7.3.1 二阶龙格-库塔公式 181
7.3.2 三阶龙格-库塔公式 183
7.3.3 步长的自动选择 187
7.4 收敛性和稳定性 187
7.4.2 稳定性 188
7.4.1 收敛性 188
小结 192
习题 192
第8章 上机实验 195
8.1 数值稳定性 195
8.2 用二分法求方程的近似值 196
8.3 用牛顿迭代法求方程的近似值 197
8.4 用列主元消去法解线性方程组 199
8.5 G-S迭代法解线性方程组 202
8.6 Newton插值 205
8.7 最小二乘法 208
8.8 变步长梯形法求数值积分 211
8.9 Euler折线法解常微分方程 213
8.10 改进Euler法解常微分方程 214
习题答案 216