第1章 基本知识 1
1.1 数值方法 1
1.2 误差 1
1.2.1 误差的来源 1
1.2.2 绝对误差与相对误差 2
1.2.3 四舍五入 3
1.2.4 有效数字 4
1.3 计算机浮点数及舍入误差 5
1.3.1 计算机浮点数系统 5
1.3.2 用计算机浮点数表示实数 7
1.3.3 浮点数的舍入误差 9
1.3.4 浮点数算术运算的舍入误差 10
1.4 向量范数与矩阵范数 11
1.4.1 向量范数和向量序列极限 12
1.4.2 矩阵范数和矩阵序列极限 16
1.4.3 从属向量范数的矩阵范数 23
1.5 线性方程组的性态，算法的稳定性 29
1.5.1 线性方程组的性态 29
1.5.2 算法的稳定性 32
习题 33
第2章 求解线性方程组的数值方法 35
2.1 直接法 35
2.1.1 Gauss 消去法与选主元 Gauss 消去法 36
2.1.2 矩阵三角分解 46
2.1.3 有关定理 52
2.1.4 求解正定方程组的 Cholesky 方法 60
2.1.5 求解三对角方程组的追赶法 64
2.2 迭代法 68
2.2.1 逐次逼近法 69
2.2.2 Jacobi 迭代法 74
2.2.3 Gauss-Seidel 迭代法 77
2.2.4 有关基本概念 81
2.2.5 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的收敛性 86
2.2.6 超松弛迭代法 91
2.3.1 共轭斜量法的基本思想 95
2.3 共轭斜量法 95
2.3.2 A-共轭向量组和向量组的 A-共轭化 98
2.3.3 共轭斜量法 100
2.3.4 求解非奇异方程组 106
习题 107
第3章 非线性方程(组)的数值解法 113
3.1 求方程实根的对分区间法 114
3.2 单个方程的迭代法 120
3.2.1 迭代法的一般原理 120
3.2.2 迭代法的几何意义 121
3.2.3 收敛性分析 122
3.2.4 加速收敛技巧 128
3.3.1 Newton 法及其收敛性分析 130
3.3 单个方程的 Newton 法 130
3.3.2 Newton 法的其他变形 136
3.4 多项式求根 142
3.4.1 Newton 法 142
3.4.2 Bairstow 方法 144
3.4.3 多项式求根的敏感性 145
3.5 解非线性方程组的数值方法 148
3.5.1 简单迭代法 149
3.5.2 Newton 法及其变形 152
习题 159
4.1 引言 164
第4章 插值法 164
4.2 代数插值问题解的存在惟一性 166
4.3 Lagrange 插值 167
4.4 Newton 插值与差商、差分 171
4.4.1 Newton 插值公式 171
4.4.2 差商表和差商的性质 174
4.4.3 等距情形的 Newton 插值公式与差分 178
4.5 NeVill 插值 188
4.6 Hermite 插值 191
4.6.1 Hermite 插值问题解的存在惟一性 191
4.6.2 Hermite 插值的误差估计 193
4.7 反插值 195
4.8 样条函数插值 200
4.8.1 样条函数 200
4.8.2 三次样条函数插值问题的提法 202
4.8.3 三次样条函数插值问题解的存在惟一性 203
4.8.4 三次样条函数插值问题解的构造 204
4.8.5 三次样条函数插值的误差估计 208
4.8.6 三次 B-样条函数插值 210
习题 217
第5章 函数逼近 221
5.1 引言 221
5.2.1 Chebyshev 多项式及其性质 223
5.2 Chebyshev 多项式及其应用 223
5.2.2 Chebyshev 多项式的应用 226
5.3 C[a,b]空间中的最佳一致逼近 231
5.4 内积空间中的最佳平方逼近 239
5.5 有理函数逼近 249
5.5.1 连分式与有理函数 249
5.5.2 Padé 逼近 251
5.6 有限 Fourier 分析 255
5.6.1 周期函数的最佳平方逼近 255
5.6.2 离散 Fourier 变换(DFT) 256
5.6.3 快速 Fourier 变换(FFT) 261
5.7 小波变换 268
5.7.1 Haar 函数系 269
5.7.2 小波变换 272
习题 274
第6章 曲线拟合 276
6.1 曲线拟合问题 276
6.1.1 一个简单的曲线拟合例子 276
6.1.2 曲线拟合问题 278
6.2 线性拟合问题 280
6.2.1 ‖·‖2意义下的线性拟合 280
6.2.2 ‖·‖1和‖·‖∞意义下的线性拟合 283
6.3 线性最小二乘问题 285
6.3.1 正交性的有关性质 286
6.3.2 矩阵的 QR 分解 288
6.3.3 Householder 矩阵与矩阵的正交三角化 290
6.3.4 最小二乘解的存在惟一性 301
6.3.5 用正则方程组求最小二乘解 303
6.3.6 用 QR 分解求最小二乘解 308
6.4 奇异值分解与广义逆矩阵 310
6.4.1 奇异值分解 310
6.4.2 广义逆矩阵 313
6.4.3 用奇异值分解求最小二乘解 316
习题 318
7.1 代数精确度 321
第7章 数值积分和数值微分 321
7.2 插值型求积公式 324
7.2.1 Newton-Cotes 求积公式 324
7.2.2 复化型求积公式和样条求积公式 331
7.2.3 数值积分中的一种误差估计方法 340
7.3 Romberg 积分方法 342
7.3.1 Richardson 外推法 342
7.3.2 Romberg 求积方法 346
7.4 自适应的积分方法 351
7.5 Gauss 型求积公式 355
7.5.1 引言 355
7.5.2 正交多项式及其性质 357
7.5.3 Gauss 型求积公式 362
7.5.4 Gauss 型求积公式的构造与应用 365
7.6 奇异积分的数值方法 371
7.6.1 振荡函数的积分 371
7.6.2 广义积分的计算 375
7.7 数值微分 381
习题 388
第8章 常微分方程的数值方法 391
8.1 初值问题的数值方法 391
8.1.1 基本概念 391
8.1.2 单步法 395
8.1.3 单步法的收敛性和稳定性 416
8.1.4 线性多步法 425
8.1.5 线性多步法的收敛性和稳定性 442
8.1.6 一阶方程组的数值方法 447
8.2 边值问题的数值方法 450
8.2.1 基本概念 450
8.2.2 打靶法 451
8.2.3 有限差分法 463
习题 472
第9章 矩阵特征值问题的数值方法 477
9.1 特征值与特征向量 477
9.2 Hermite 矩阵特征值问题 479
9.2.1 Hermite 矩阵的有关性质 480
9.2.2 极值定理 482
9.2.3 Hermite 矩阵特征值问题的性态 484
9.3 Jacobi 方法 486
9.3.1 平面旋转矩阵与相似约化 486
9.3.2 经典的 Jacobi 方法 488
9.3.3 实用的 Jacobi 方法 491
9.3.4 用 Jacobi 方法计算特征向量 493
9.4 对分法 493
9.4.1 相似约化为实对称三对角矩阵 494
9.4.2 Sturm 序列的性质 498
9.4.3 同号数和它的应用 502
9.4.4 求 Hermite 矩阵特征值的对分法 505
9.5.1 求按模最大特征值和特征向量的乘幂法 508
9.5 乘幂法 508
9.5.2 收缩方法 512
9.6 反幂法 515
9.6.1 求按模最小特征值及相应特征向量的反幂法 516
9.6.2 求近似特征值的特征向量的反幂法 517
9.7 QR 方法 519
9.7.1 两个基本定理 519
9.7.2 相似约化为上 Hessenberg 矩阵 520
9.7.3 QR 算法 522
9.7.4 带原点位移的 QR 算法 531
习题 533
10.1.1 模拟退火算法的基本原理 538
第10章 模拟退火算法和遗传算法 538
10.1 模拟退火算法 538
10.1.2 组合优化 540
10.1.3 模拟退火算法的计算步骤及收敛性 542
10.1.4 模拟退火算法实现的技术问题 545
10.2 遗传算法 553
10.2.1 遗传算法的基本原理和特点 553
10.2.2 遗传算法实现的技术问题 557
10.2.3 模式理论 566
习题 573
参考文献 575