引言 1
第一章 波动方程 1
1 方程的导出、定解条件 1
1.弦振动方程的导出 1
2.定解条件 4
3.定解问题适定性概念 6
习题 6
2 达朗贝尔(d Alembert)公式、波的传播 7
1.叠加原理 7
2.弦振动方程的达朗贝尔解法 8
3.传播波 10
4.依赖区间、决定区域和影响区域 10
5.齐次化原理 12
习题 14
3 初边值问题的分离变量法 16
1.分离变量法 16
2.解的物理意义 19
3.非齐次方程的情形 20
4.非齐次边界条件的情形 21
习题 22
1.膜振动方程的导出 23
4 高维波动方程的柯西问题 23
2.定解条件的提法 26
3.球平均法 27
4.降维法 30
5.非齐次波动方程柯西问题的解 31
习题 33
5 波的传播与衰减 33
1.依赖区域、决定区域和影响区域 33
2.惠更斯(Huygens)原理、波的弥散 35
3.波动方程解的衰减 36
1.振动的动能和位能 37
习题 37
6 能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性 37
2.初边值问题解的唯一性与稳定性 38
3.柯西问题解的唯一性与稳定性 41
习题 44
第二章 热传导方程 45
1 热传导方程及其定解问题的导出 45
1.热传导方程的导出 45
2.定解问题的提法 46
3.扩散方程 48
习题 48
1.一个空间变量的情形 49
2 初边值问题的分离变量法 49
2.圆形区域上的热传导问题 52
习题 53
3 柯西问题 54
1.傅里叶变换及其基本性质 54
2.热传导方程柯西问题的求解 56
3.解的存在性 58
习题 59
4 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 60
1.极值原理 60
2.初边值问题解的唯一性和稳定性 61
3.柯西问题解的唯一性和稳定性 64
习题 65
5 解的渐近性态 65
1.初边值问题解的渐近性态 65
2.柯西问题解的渐近性态 66
习题 67
第三章 调和方程 68
1 建立方程、定解条件 68
1.方程的导出 68
2.定解条件和定解问题 69
3.变分原理 71
习题 73
2 格林公式及其应用 74
1.格林(Green)公式 74
2.平均值定理 77
3.极值原理 77
4.第一边值问题解的唯一性及稳定性 78
习题 79
3 格林函数 80
1.格林函数及其性质 80
2.静电源像法 82
3.解的验证 85
4.单连通区域的格林函数 86
5.调和函数的基本性质 87
习题 91
4 强极值原理、第二边值问题解的唯一性 91
1.强极值原理 91
2.第二边值问题解的唯一性 93
3.用能量积分法证明边值问题的解的唯一性 94
习题 95
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结 96
1 二阶线性方程的分类 96
1.两个自变量的方程 96
2.两个自变量的二阶线性方程的化简 96
3.方程的分类 99
4.例 100
5.多个自变量的方程的分类 101
习题 102
2 二阶线性方程的特征理论 103
1.特征概念 103
2.特征方程 104
3.例 106
习题 107
3 三类方程的比较 108
1.线性方程的叠加原理 108
2.解的性质的比较 109
3.定解问题提法的比较 112
习题 115
4 先验估计 115
1.椭圆型方程解的最大模估计 116
2.热传导方程解的最大模估计 116
3.双曲型方程解的能量估计 117
4.抛物型方程解的能量估计 120
5.椭圆型方程解的能量估计 121
习题 123
第五章 一阶偏微分方程组 124
1 引言 124
1.一阶偏微分方程组的例子 124
2.一阶方程组与高阶方程的关系 126
习题 127
2 两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论 127
1.特征方程、特征线 128
2.两个自变量的一阶线性偏微分方程组的分类 129
3.将严格双曲型方程组化为对角型 130
习题 132
3 两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 133
1.化为积分方程组 133
2.柯西问题解的存在性与唯一性 134
3.对初始条件的连续依赖性 137
4.依赖区间、决定区域和影响区域 137
5.关于柯西问题提法正确性的附注 138
习题 139
4 两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题 140
1.广义柯西问题 140
2.古尔沙(Goursat)问题 140
3.一般角状区域上的边值问题 141
习题 142
5 幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅(Cauchy-Κовалевская)的定理 143
1.幂级数解法 143
2.柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 144
习题 148
2.强解 149
1.研究广义解的必要性 149
第六章 广义解与广义函数解 149
1 广义解 149
3.弱解 151
习题 152
2 广义函数的概念 152
1.广义函数的物理背景 152
2.广义函数的数学概念 153
3.基本函数空间 154
4.？′(R″)，？′(R″)，？′(R″)广义函数 156
习题 157
1.广义函数的极限 158
3 广义函数的性质与运算 158
2.广义函数的导数 159
3.广义函数的乘子 159
4.广义函数的卷积 160
习题 161
4 广义函数的傅里叶变换 162
1.？(R )上的傅里叶变换 162
2.？(R )上的傅里叶变换 163
习题 165
5 基本解 165
1.柯西问题的基本解 165
2.调和方程的基本解 168
3.其他类型的基本解 169
习题 170
第七章 偏微分方程的数值解 171
1 调和方程狄利克雷问题的数值解 171
1.有限差分法 171
2.元体平衡法 173
3.有限元素法(里茨(Ritz)法) 176
4.有限元素法(伽辽金(Гал？ркин)法) 178
2 热传导方程的差分法 180
1.一维热传导方程的显式差分格式 180
习题 180
2.差分格式的收敛性和稳定性 182
3.隐式格式及其稳定性 184
习题 185
3 波动方程的差分法 185
1.波动方程初边值问题的差分格式 185
2.C-F-L条件(Courant-Friedrichs-Lewy条件) 186
习题 188
附录Ⅰ 傅里叶级数系数的估计 189
附录Ⅱ 张紧薄膜的张力为常值的证明 191
附录Ⅲ 特殊函数 193