第一章 实数集与函数 1
1实数 1
一、实数及其性质 1
二、绝对值与不等式 3
2数集·确界原理 4
一、区间与邻域 4
二、有界集·确界原理 5
3函数概念 8
一、函数的定义 9
二、函数的表示法 9
三、函数的四则运算 10
四、复合函数 11
五、反函数 11
六、初等函数 13
4具有某些特性的函数 14
一、有界函数 15
二、单调函数 16
三、奇函数和偶函数 17
四、周期函数 17
第二章 数列极限 21
1数列极限概念 21
2收敛数列的性质 26
3数列极限存在的条件 32
第三章 函数极限 41
1函数极限概念 41
一、x趋于∞时函数的极限 41
二、x趋于x0时函数的极限 42
2函数极限的性质 46
3函数极限存在的条件 50
4两个重要的极限 53
一、证明lim x→0 sin x/x=1 53
二、证明lim x→0 （1+1/x）x=e 54
5无穷小量与无穷大量 56
一、无穷小量 56
二、无穷小量阶的比较 57
三、无穷大量 59
四、曲线的渐近线 61
第四章 函数的连续性 65
1连续性概念 65
一、函数在一点的连续性 65
二、间断点及其分类 66
三、区间上的连续函数 68
2连续函数的性质 69
一、连续函数的局部性质 69
二、闭区间上连续函数的基本性质 71
三、反函数的连续性 73
四、一致连续性 74
3初等函数的连续性 78
一、指数函数的连续性 78
二、初等函数的连续性 80
第五章 导数和微分 83
1导数的概念 83
一、导数的定义 83
二、导函数 85
三、导数的几何意义 87
2求导法则 90
一、导数的四则运算 90
二、反函数的导数 92
三、复合函数的导数 93
四、基本求导法则与公式 95
3参变量函数的导数 97
4高阶导数 100
5微分 104
一、微分的概念 104
二、微分的运算法则 106
三、高阶微分 106
四、微分在近似计算中的应用 107
第六章 微分中值定理及其应用 111
1拉格朗日定理和函数的单调性 111
一、罗尔定理与拉格朗日定理 111
二、单调函数 114
2柯西中值定理和不定式极限 117
一、柯西中值定理 117
二、不定式极限 118
3泰勒公式 125
一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式 125
二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式 128
三、在近似计算上的应用 130
4函数的极值与最大（小）值 132
一、极值判别 132
二、最大值与最小值 134
5函数的凸性与拐点 137
6函数图像的讨论 143
7方程的近似解 145
第七章 实数的完备性 150
1关于实数集完备性的基本定理 150
一、区间套定理 150
二、聚点定理与有限覆盖定理 151
三、实数完备性基本定理之间的等价性 154
2上极限和下极限 156
第八章 不定积分 161
1不定积分概念与基本积分公式 161
一、原函数与不定积分 161
二、基本积分表 163
2换元积分法与分部积分法 166
一、换元积分法 166
二、分部积分法 171
3有理函数和可化为有理函数的不定积分 175
一、有理函数的不定积分 175
二、三角函数有理式的不定积分 179
三、某些无理根式的不定积分 180
第九章 定积分 186
1定积分概念 186
一、问题提出 186
二、定积分的定义 187
2牛顿—莱布尼茨公式 190
3可积条件 192
一、可积的必要条件 193
二、可积的充要条件 193
三、可积函数类 194
4定积分的性质 198
一、定积分的基本性质 198
二、积分中值定理 202
5微积分学基本定理·定积分计算（续） 205
一、变限积分与原函数的存在性 205
二、换元积分法与分部积分法 209
三、泰勒公式的积分型余项 212
6可积性理论补叙 215
一、上和与下和的性质 215
二、可积的充要条件 217
第十章 定积分的应用 222
1平面图形的面积 222
2由平行截面面积求体积 225
3平面曲线的弧长与曲率 229
一、平面曲线的弧长 229
二、曲率 233
4旋转曲面的面积 236
一、微元法 236
二、旋转曲面的面积 237
5定积分在物理中的某些应用 239
一、液体静压力 239
二、引力 240
三、功与平均功率 241
6定积分的近似计算 243
一、梯形法 243
二、抛物线法 244
第十一章 反常积分 247
1反常积分概念 247
一、问题提出 247
二、两类反常积分的定义 248
2无穷积分的性质与敛散判别 252
一、无穷积分的性质 252
二、非负函数无穷积分的敛散判别法 253
三、一般无穷积分的敛散判别法 255
3瑕积分的性质与敛散判别 258
附录Ⅰ 实数理论 263
一、建立实数的原则 263
二、分析 264
三、分划全体所成的有序集 266
四、R中的加法 267
五、R中的乘法 268
六、R作为Q的扩充 270
七、实数的无限小数表示 271
八、无限小数四则运算的定义 272
附录Ⅱ 积分表 275
一、含有xn的形式 275
二、含有a+bx的形式 275
三、含有a2±x2，a＞0的形式 276
四、含有a+bx+cx2，b2≠4ac的形式 276
五、含有？a+bx的形式 276
六、含有？x2±a2，a＞0的形式 277
七、含有？a2-x2，a＞0的形式 277
八、含有sin x或cos x的形式 278
九、含有tan x，cot x，sec x，csc x的形式 279
十、含有反三角函数的形式 279
十一、含有ex的形式 280
十二、含有ln x的形式 280
部分习题答案与提示 282
索引 303
微积分学简史 308