第1部分 建模、计算机与误差分析问题 1
PT1.1 动机 2
PT1.1.1 非计算机方法 2
PT1.1.2 数值方法与工程实践 3
PT1.2 数学背景 4
PT1.3 导读 6
PT1.3.1 范围与预览 6
PT1.3.2 目标 7
第1章 数学建模与工程问题求解 9
1.1 一个简单的数学模型 9
1.2 守恒律与工程 15
习题 18
第2章 程序设计与软件 24
2.1 软件包与程序设计 24
2.2 结构化程序设计 25
2.3 模块化程序设计 33
2.4 Excel 35
2.5 MATLAB 38
2.6 MATHCAD 42
2.7 其他的语言和软件库 43
习题 43
第3章 逼近与舍入误差 52
3.1 有效数字 53
3.2 准确度与精度 54
3.3 误差的定义 55
3.4 舍入误差 60
3.4.1 数的计算机表示 60
3.4.2 计算机中的算术运算 67
习题 72
第4章 截断误差与泰勒级数 74
4.1 泰勒级数 74
4.1.1 泰勒级数展开的余项 80
4.1.2 用泰勒级数估计截断误差 82
4.1.3 数值微分 86
4.2 误差传播 90
4.2.1 单变量函数 90
4.2.2 多变量函数 91
4.2.3 稳定性与稳定条件 93
4.3 总数值误差 94
4.3.1 数值微分的误差分析 95
4.3.2 数值误差的控制 97
4.4 粗差、形式化误差和数据的不确定性 98
4.4.1 粗差 98
4.4.2 形式化误差 99
4.4.3 数据的不确定性 99
习题 99
第1部分结束语 103
PT1.4 权衡 103
PT1.5 重要的关系式与公式 105
PT1.6 高级方法与其他参考文献 105
第2部分 方程求根 107
PT2.1 动机 108
PT2.1.1 求根的非计算机方法 108
PT2.1.2 方程求根和工程实践 108
PT2.2 数学背景 110
PT2.3 导读 110
PT2.3.1 范围与预览 111
PT2.3.2 目标 112
第5章 划界法 113
5.1 图解法 113
5.2 二分法 117
5.2.1 终止条件和误差估计 119
5.2.2 二分算法 123
5.2.3 最小化函数的计算量 123
5.3 试位法 124
5.3.1 试位法的缺陷 127
5.3.2 改进的试位法 129
5.4 增量搜索和确定初始估计值 130
习题 130
第6章 开方法 136
6.1 简单定点迭代法 137
6.1.1 收敛性 138
6.1.2 定点迭代算法 141
6.2 牛顿-瑞普逊法 142
6.2.1 终止条件和误差估计 143
6.2.2 牛顿-瑞普逊法的缺点 145
6.2.3 牛顿-瑞普逊算法 147
6.3 正割法 148
6.3.1 正割法和试位法的差异 149
6.3.2 正割法算法 151
6.3.3 改进的正割法 151
6.4 布伦特法 152
6.4.1 逆二次插值法 152
6.4.2 布伦特法的算法 155
6.5 重根 156
6.6 非线性方程组 159
6.6.1 定点迭代法 160
6.6.2 牛顿-瑞普逊法 162
习题 164
第7章 多项式求根 169
7.1 工程和科学中的多项式 169
7.2 多项式计算 172
7.2.1 多项式计算和微分 172
7.2.2 多项式紧缩 172
7.3 传统方法 175
7.4 米勒法 175
7.5 贝尔斯托法 179
7.6 其他方法 184
7.7 使用软件包求根 184
7.7.1 Excel 184
7.7.2 MATLAB 187
7.7.3 Mathcad 190
习题 192
第8章 方程求根案例分析 195
8.1 理想和非理想气体定律（化学／生物工程） 195
8.2 温室气体和雨水（土木／环境工程） 197
8.3 电子电路的设计（电气工程） 200
8.4 管道摩擦（机械／航空航天工程） 202
习题 205
第2部分结束语 221
PT2.4 权衡 221
PT2.5 重要的关系式与公式 222
PT2.6 高级求根方法与其他参考文献 223
第3部分 线性代数方程组 224
PT3.1 动机 225
PT3.1.1 求解方程组的非计算机方法 225
PT3.1.2 线性代数方程组和工程实践 225
PT3.2 数学背景 227
PT3.2.1 矩阵概念 227
PT3.2.2 矩阵操作规则 229
PT3.2.3 用矩阵形式表示线性代数方程组 233
PT3.3 导读 235
PT3.3.1 范围与预览 235
PT3.3.2 目标 236
第9章 高斯消去法 237
9.1 求解小规模方程组 237
9.1.1 图解法 237
9.1.2 行列式和克莱姆法则 239
9.1.3 未知数消去法 242
9.2 原始高斯消去法 243
9.3 消去法的缺陷 250
9.3.1 除以0的问题 250
9.3.2 舍入误差 250
9.3.3 病态方程组 251
9.3.4 奇异方程组 255
9.4 解求精技术 255
9.4.1 使用更多的有效位 255
9.4.2 交换主元法 256
9.4.3 缩放 258
9.4.4 高斯消去算法 260
9.5 复数方程组 263
9.6 非线性方程组 263
9.7 高斯-约当法 265
9.8 小结 267
习题 267
第10章 LU分解法和矩阵求逆 272
10.1 LU分解 272
10.1.1 LU分解概述 272
10.1.2 高斯消去法的LU分解 274
10.1.3 LU分解算法 279
10.1.4 Crout分解 280
10.2 矩阵求逆 282
10.2.1 计算逆矩阵 282
10.2.2 激励-反应计算 284
10.3 误差分析和方程组条件 285
10.3.1 向量和矩阵的范数 286
10.3.2 矩阵条件数 289
10.3.3 迭代求精 290
习题 291
第11章 特殊矩阵和高斯-赛得尔方法 295
11.1 特殊矩阵 295
11.1.1 三对角方程组 296
11.1.2 Cholesky分解 298
11.2 高斯-赛得尔方法 300
11.2.1 高斯-赛得尔方法的收敛准则 302
11.2.2 使用松弛方法提高收敛性 304
11.2.3 高斯-赛得尔算法 305
11.2.4 高斯-赛得尔方法的问题背景 306
11.3 使用软件包求解线性代数方程组 306
11.3.1 Excel 306
11.3.2 MATLAB 307
11.3.3 Mathcad 309
习题 310
第12章 线性代数方程组案例分析 315
12.1 反应系统的稳态分析（化学／生物工程） 315
12.2 分析静止固定的支架（土木／环境工程） 318
12.3 电阻电路中的电流和电压（电气工程） 321
12.4 弹簧-质量块系统（机械／航空航天工程） 323
习题 326
第3部分结束语 339
PT3.4 权衡 339
PT3.5 重要的关系式与公式 340
PT3.6 高级方法与其他参考文献 341
第4部分 最优化 342
PT4.1 动机 343
PT4.1.1 非计算机方法及其历史 343
PT4.1.2 最优化和工程实践 344
PT4.2 数学背景 348
PT4.3 导读 349
PT4.3.1 范围与预览 349
PT4.3.2 目标 350
第13章 一维无约束最优化 352
13.1 黄金分割搜索法 353
13.2 二次插值法 359
13.3 牛顿法 361
13.4 布伦特法 362
习题 364
第14章 多维无约束最优化 367
14.1 直接法 367
14.1.1 随机搜索法 368
14.1.2 单变量和模式检索 370
14.2 梯度法 372
14.2.1 梯度和赫赛矩阵 372
14.2.2 最速上升法 377
14.2.3 改进的梯度法 381
习题 383
第15章 约束优化 385
15.1 线性规划 385
15.1.1 标准形 385
15.1.2 图解法 387
15.1.3 单纯形法 390
15.2 非线性约束优化 395
15.3 使用软件包优化求解 395
15.3.1 用Excel求解线性规划问题 395
15.3.2 用Excel求解非线性优化问题 397
15.3.3 用MATLAB求解优化问题 400
15.3.4 用Mathcad求解优化问题 403
习题 404
第16章 最优化案例分析 409
16.1 一个桶的最小成本设计（化学／生物工程） 409
16.2 废水处理的最小成本（土木／环境工程） 413
16.3 电路的最大功率传输（电气工程） 417
16.4 平衡与最小势能（机械／航空航天工程） 420
习题 421
第4部分结束语 433
PT4.4 权衡 433
PT4.5 其他参考文献 434
第5部分 曲线拟合 435
PT5.1 动机 436
PT5.1.1 曲线拟合的非计算机方法 436
PT5.1.2 曲线拟合与工程实践 437
PT5.2 数学背景 438
PT5.2.1 简单统计学 438
PT5.2.2 正态分布 441
PT5.2.3 置信区间估计 442
PT5.3 导读 447
PT5.3.1 范围与预览 447
PT5.3.2 目标 448
第17章 最小二乘回归 450
17.1 线性回归 450
17.1.1 “最佳”拟合准则 451
17.1.2 直线的最小二乘拟合 453
17.1.3 线性回归的误差量化分析 454
17.1.4 线性回归的计算机程序 458
17.1.5 非线性关系的线性化 461
17.1.6 对线性回归的一般讨论 464
17.2 多项式回归 465
17.3 多元线性回归 468
17.4 一般线性最小二乘法 471
17.4.1 线性最小二乘的一般矩阵形式 471
17.4.2 从统计角度分析最小二乘理论 473
17.5 非线性回归 475
习题 479
第18章 插值 484
18.1 牛顿差商插值多项式 484
18.1.1 线性插值 485
18.1.2 二次插值 486
18.1.3 牛顿插值多项式的一般形式 488
18.1.4 牛顿插值多项式的误差 491
18.1.5 牛顿插值多项式的计算机算法 493
18.2 拉格朗日插值多项式 495
18.3 插值多项式的系数 499
18.4 逆插值 500
18.5 进一步讨论 501
18.6 样条插值 503
18.6.1 线性样条 505
18.6.2 二次样条 507
18.6.3 三次样条 509
18.6.4 三次样条的计算机算法 512
18.7 多维插值 513
习题 515
第19章 傅里叶逼近 519
19.1 用正弦函数进行曲线拟合 520
19.2 连续傅里叶级数 526
19.3 频域与时域 530
19.4 傅里叶积分与变换 534
19.5 离散傅里叶变换（DFT） 535
19.6 快速傅里叶变换（FFT） 537
19.6.1 Sande-Tukey算法 538
19.6.2 Cooley-Tukey算法 542
19.7 能量谱 543
19.8 利用软件包进行曲线拟合 544
19.8.1 Excel 544
19.8.2 MATLAB 547
19.8.3 Mathcad 550
习题 551
第20章 曲线拟合案例分析 555
20.1 线性回归与人口模型（化学／生物工程） 555
20.2 用样条估计热传递（土木／环境工程） 558
20.3 傅里叶分析（电气工程） 560
20.4 实验数据分析（机械／航空航天工程） 561
习题 563
第5部分结束语 580
PT5.4 权衡 580
PT5.5 重要的关系式与公式 581
PT5.6 高级方法与其他参考文献 582
第6部分 数值微分和数值积分 584
PT6.1 动机 585
PT6.1.1 微分和积分的非计算机方法 588
PT6.1.2 工程中的数值微分和数值积分 590
PT6.2 数学背景 593
PT6.3 导读 596
PT6.3.1 范围与预览 596
PT6.3.2 目标 597
第21章 牛顿-柯特斯积分公式 599
21.1 梯形法则 600
21.1.1 梯形法则的误差 602
21.1.2 多应用型梯形法则 605
21.1.3 梯形法则的计算机算法 608
21.2 辛普森法则 610
21.2.1 辛普森1/3法则 610
21.2.2 多应用型辛普森1/3法则 613
21.2.3 辛普森3/8法则 615
21.2.4 辛普森法则的计算机算法 617
21.2.5 高阶牛顿-柯特斯闭型公式 618
21.3 非等距积分 618
21.4 开型积分公式 621
21.5 重积分 622
习题 624
第22章 函数的积分 629
22.1 函数的牛顿-柯特斯算法 630
22.2 龙贝格积分 631
22.2.1 查森外推法 631
22.2.2 龙贝格积分的算法 634
22.3 自适应积分 636
22.4 高斯求积公式 638
22.4.1 待定系数法 639
22.4.2 两点高斯-勒让德公式的推导 641
22.4.3 多点公式 643
22.4.4 高斯求积公式的误差分析 645
22.5 广义积分 645
习题 648
第23章 数值微分 651
23.1 高精度微分公式 651
23.2 理查森外推法 654
23.3 非等距数据的导数 656
23.4 带误差数据的导数与积分 657
23.5 偏导数 658
23.6 使用软件包计算数值积分／微分 659
23.6.1 MATLAB 659
23.6.2 Mathcad 664
习题 665
第24章 数值积分和数值微分案例分析 670
24.1 利用积分确定总热量（化学／生物工程） 670
24.2 竞赛帆船桅杆上的有效作用力（土木／环境工程） 672
24.3 利用数值积分确定均方根电流（电气工程） 675
24.4 利用数值积分计算功（机械／航空航天工程） 677
习题 681
第6部分结束语 696
PT6.4 权衡 696
PT6.5 重要的关系式与公式 697
PT6.6 高级方法与其他参考文献 698
第7部分 常微分方程 699
PT7.1 动机 700
PT7.1.1 求解常微分方程的非计算机方法 701
PT7.1.2 常微分方程和工程实践 702
PT7.2 数学背景 703
PT7.3 导读 705
PT7.3.1 范围与预览 706
PT7.3.2 目标 707
第25章 龙格-库塔法 709
25.1 欧拉方法 710
25.1.1 欧拉方法的误差分析 712
25.1.2 欧拉方法的算法 717
25.1.3 高阶泰勒级数方法 719
25.2 欧拉方法的改进 720
25.2.1 修恩法 720
25.2.2 中点方法 725
25.2.3 修恩法和中点方法的计算机算法 727
25.2.4 总结 727
25.3 龙格-库塔法 728
25.3.1 二阶龙格-库塔法 728
25.3.2 三阶龙格-库塔法 733
25.3.3 四阶龙格-库塔法 733
25.3.4 高阶龙格-库塔法 735
25.3.5 龙格-库塔法的计算机算法 737
25.4 方程组 737
25.4.1 欧拉方法 738
25.4.2 龙格-库塔法 739
25.4.3 求解常微分方程组的计算机算法 740
25.5 自适应龙格-库塔法 742
25.5.1 自适应龙格-库塔或步长-对分法 743
25.5.2 龙格-库塔-费尔贝格法 744
25.5.3 步长控制 746
25.5.4 计算机算法 747
习题 749
第26章 刚性和多步法 753
26.1 刚性 753
26.2 多步法 757
26.2.1 非自启动修恩方法 758
26.2.2 步长控制和计算机程序 765
26.2.3 求积公式 766
26.2.4 高阶多步法 772
习题 776
第27章 边值和特征值问题 779
27.1 边值问题的通用方法 780
27.1.1 打靶法 780
27.1.2 有限差分法 783
27.2 特征值问题 786
27.2.1 数学背景 786
27.2.2 物理背景 786
27.2.3 边值问题 789
27.2.4 多项式方法 792
27.2.5 乘幂法 794
27.2.6 其他方法 797
27.3 使用软件包求解常微分方程和特征值问题 798
27.3.1 Excel 798
27.3.2 MATLAB 798
27.3.3 Mathcad 802
习题 803
第28章 常微分方程案例分析 807
28.1 利用常微分方程分析反应堆的瞬态反应（化学／生物工程） 807
28.2 追捕模型和混沌（土木／环境工程） 813
28.3 模拟电路的瞬变电流（电气工程） 816
28.4 摆动的钟摆（机械／航空航天工程） 821
习题 824
第7部分结束语 841
PT7.4 权衡 841
PT7.5 重要的关系式与公式 842
PT7.6 高级方法与其他参考文献 844
第8部分 偏微分方程 845
PT8.1 动机 846
PT8.1.1 偏微分方程和工程实践 847
PT8.1.2 求解偏微分方程的非计算机方法 849
PT8.2 导读 849
PT8.2.1 范围和与预览 849
PT8.2.2 目标 850
第29章 有限差分法：椭圆型方程 852
29.1 拉普拉斯方程 852
29.2 求解方法 854
29.2.1 拉普拉斯差分方程 855
29.2.2 李布曼方法 856
29.2.3 二级变量 858
29.3 边界条件 860
29.3.1 导数边界条件 860
29.3.2 不规则边界 862
29.4 控制体积法 866
29.5 求解椭圆型方程的软件 868
习题 869
第30章 有限差分法：抛物型方程 872
30.1 热传导方程 872
30.2 显式法 873
30.2.1 收敛性和稳定性 875
30.2.2 导数边界条件 876
30.2.3 高阶时间逼近 877
30.3 简单的隐式法 877
30.4 克兰克-尼科尔森法 880
30.5 二维空间上的抛物型方程 883
30.5.1 标准显式和隐式格式 883
30.5.2 ADI方法 884
习题 886
第31章 有限元法 889
31.1 通用方法 890
31.1.1 剖分 890
31.1.2 元素方程 890
31.1.3 装配 893
31.1.4 边界条件 893
31.1.5 求解 893
31.1.6 后处理 893
31.2 有限元法在一维情况下的应用 893
31.2.1 剖分 895
31.2.2 元素方程 895
31.2.3 装配 900
31.2.4 边界条件 902
31.2.5 求解 902
31.2.6 后处理 902
31.3 二维问题 903
31.3.1 剖分 903
31.3.2 元素方程 903
31.3.3 边界条件和装配 905
31.3.4 求解和后处理 905
31.4 使用软件包求解偏微分方程 906
31.4.1 Excel 906
31.4.2 MATLAB 907
31.4.3 Mathcad 908
习题 909
第32章 偏微分方程案例分析 912
32.1 反应堆的一维质量守恒（化学／生物工程） 912
32.2 平板的挠曲（土木／环境工程） 916
32.3 二维静电场问题（电气工程） 918
32.4 用有限元法求解弹簧系统（机械／航空航天工程） 921
习题 924
第8部分结束语 928
PT8.3 权衡问题 928
PT8.4 重要的关系式与公式 928
PT8.5 高级方法与其他参考文献 929
附录A 傅里叶级数 930
附录B 学习使用MATLAB 932
附录C 学习使用Mathcad 939