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引言 1
第一章 复数与复变函数 1
1 复数及其代数运算 1
1. 复数的概念 1
2. 复数的代数运算 1
2 复数的几何表示 3
1. 复平面 3
2. 复球面 8
3 复数的乘幂与方根 10
1. 乘积与商 10
2. 幂与根 11
4 区域 14
1. 区域的概念 14
2. 单连域与多连域 15
5 复变函数 16
1. 复变函数的定义 16
2. 映射的概念 17
6 复变函数的极限和连续性 20
1. 函数的极限 20
2. 函数的连续性 21
第一章习题 22
1. 复变函数的导数 27
1 解析函数的概念 27
第二章 解析函数 27
2. 解析函数的概念 29
2 函数解析的充要条件 31
3 解析函数与调和函数的关系 35
4 初等函数 39
1. 指数函数 39
2. 对数函数 40
3. 乘幂ab与幂函数 42
4. 三角函数和双曲函数 44
5. 反三角函数与反双曲函数 46
1. 用复变函数表示平面向量场 47
5 平面场的复势 47
2. 平面流速场的复势 48
3. 静电场的复势 53
第二章习题 56
第三章 复变函数的积分 60
1 复变函数积分的概念 60
1. 积分的定义 60
2. 积分存在的条件及其计算法 61
3. 性质 63
2 柯西-古萨基本定理 65
3 基本定理的推广--复合闭路定理 69
4 柯西积分公式 72
5 解析函数的高阶导数 74
第三章习题 77
第四章 级数 81
1 复数项级数 81
1. 数列的极限 81
2. 级数概念 82
2 幂级数 83
1. 幂级数概念 83
2. 收敛圆与收敛半径 85
3. 收敛半径的求法 86
4. 幂级数的运算和性质 88
3 泰勒级数 90
4 罗伦级数 95
第四章习题 104
第五章 留数 108
1 孤立奇点 108
1. 可去奇点 108
2. 极点 109
3. 本性奇点 109
4. 函数的零点与极点的关系 110
5. 函数在无穷远点的性态 112
2 留数 115
1. 留数的定义及留数定理 115
2. 留数的计算规则 117
3. 在无穷远点的留数 120
1. 形如？R(cosθ,sinθ)dθ的积分 123
3 留数在定积分计算上的应用 123
2. 形如？R(x)dx的积分 125
3. 形如？R(x)eaixdx(a>0)的积分 126
4 对数留数与辐角原理 131
1. 对数留数 131
2. 辐角原理 133
3. 路西定理 135
第五章习题 136
第六章 保角映射 139
1 保角映射的概念 139
1. 解析函数的导数的几何意义 140
2. 保角映射的概念 142
2 分式线性映射 143
3 唯一决定分式线性映射的条件 147
4 几个初等函数所构成的映射 153
1. 幂函数w=zn(n是不小于2的自然数) 153
2. 指数函数w=ez 157
3. 儒可夫斯基函数 159
5 关于保角映射的几个一般性定理 161
6 许瓦尔兹-克力斯托夫映射 163
7 拉普拉斯方程的边值问题 174
第六章习题 179
附录Ⅰ 参考书目 183
附录Ⅱ 区域的变换表 184
习题答案 193