第1章 线性变换 1
1.1线性变换的定义 1
1.1A 附录：域的概念 2
1.2线性变换的矩阵表示 3
1.2.1矩阵的定义 3
1.2.2矩阵的运算 3
1.2.3线性变换的矩阵表示 5
1.3线性变换与线性空间 6
1.3.1线性变换的性质 6
1.3.2矢量空间和矢量子空间 6
1.3.3线性变换与矢量空间映射的定理 7
1.4矢量空间的基 8
1.4.1矢量的线性无关与线性相关 8
1.4.2矢量空间的基与维数 9
1.5线性变换与矢量空间映射的定理的明晰化 11
1.6非奇异与奇异线性变换及有关定理 11
1.6.1非奇异与奇异线性变换 11
1.6.2线性变换的映射性质 11
1.6.3非奇异线性变换的一一映射性质 11
1.6.4非奇异线性变换具有逆变换 12
1.6.5奇异线性变换的情况 14
第2章群 16
2.1非奇异线性变换总体的性质 16
2.1.1非奇异线性变换具有逆变换 16
2.1.2非奇异线性变换具有恒同变换 16
2.1.3线性变换之积 17
2.1.4线性变换的乘法满足结合律 18
2.1.5非奇异线性变换的几何意义 18
2.2抽象群的定义 19
2.2.1定义 19
2.2.2说明与例子 20
2.2A附录：域的另一定义 22
2.3一般线性群 22
2.3.1线性变换群 22
2.3.2 矩阵群 23
2.3.3群的同构 23
2.3.4一般线性群 24
2.3.5连续群 24
2.4仿射变换群 24
2.4.1子群 24
2.4.2仿射变换群 24
2.4.3仿射变换群的子群 25
2.5正交群 26
2.5.1正交变换 26
2.5.2转置矩阵 26
2.5.3标积的定义 26
2.5.4正交矩阵 27
2.5.5正交变换保持标积不变 27
2.5.6等价关系 27
2.5.7正交群 28
2.5.8刚体运动的Euclid群 28
2.6幺正群 29
2.6.1幺正变换 29
2.6.2 Hermite矩阵 29
2.6.3幺正矩阵 30
2.6.4幺正变换保持标积不变 30
2.6.5幺正群 30
2.7置换群 31
2.7.1置换的定义 31
2.7.2置换矩阵 31
2.7.3对称群的定义 31
2.7.4置换、轮换与对换 32
2.7.5对称群有关定理 34
2.7.6置换群 35
2.8群同构的具体例子 36
第3章 行列式 40
3.1行列式的定义 40
3.2行列式的主要性质 41
3.3行列式的展开 44
3.3.1子行列式 44
3.3.2行列式按行（或列）展开 45
3.3.3行列式的Laplace展开 47
3.3.4行列式值的计算——凝聚法 49
3.4矩阵的分块运算 50
3.4.1矩阵的分块乘法 50
3.4.2同阶矩阵之积的行列式 51
3.4.3同阶行列式的乘积 52
3.4.4分块矩阵的行列式 52
3.5矩阵的秩 52
3.5.1秩的定义 52
3.5.2满秩方阵的有关定理 53
3.5.3列秩与行秩及有关定理 53
3.6矩阵求逆 54
3.6.1利用伴随矩阵求逆 54
3.6.2利用矩阵的变换求逆 55
3.6.3利用矩阵的分块运算求逆 56
3.6.4逐步求近法 56
3.7矩阵的迹 57
3.8若干特种行列式 57
3.8.1 Vandermonde行列式 57
3.8.2 Jacobi行列式 58
3.8.3 Wronski行列式 59
3.9行列式的导数与极限 60
3.9.1行列式的导数 60
3.9.2行列式的极限 61
第4章 线性方程组的求解 62
4.1引言 62
4.2 Gauss消元法 63
4.2.1用消元法求数值解的例子 63
4.2.2.关于数值解的讨论 65
4.3 Cramer法则 66
4.4迭代法 67
4.4.1几种常用迭代法 67
4.4.2迭代格式的矩阵形式 68
4.4.3迭代收敛性 69
4.4.4松弛因子的选取 70
4.4.5一个例子 70
习题 71
第5章 矢量与张量分析 73
5.1矢量与张量的定义 73
5.2 Descartes张量 74
5.2.1正交变换 74
5.2.2 Descartes张量 75
5.2.3 Descartes张量的例子 76
5.3 Descartes张量的运算 77
5.3.1张量的线性相加 77
5.3.2张量的相等 77
5.3.3零张量 77
5.3.4单位张量 78
5.3.5张量的缩并 78
5.3.6张量的乘法 78
5.3.7张量的缩乘 79
5.3.8张量的导数 80
5.3.9张量方程 81
5.4对称和反对称张量 81
5.4.1张量指标的置换 81
5.4.2对称和反对称张量 82
5.4.3全反对称张量·赝张量 83
5.5赝Euclid张量 87
5.6广义坐标变换下的张量 89
5.6.1广义坐标变换 89
5.6.2反变矢量 90
5.6.3标量场 91
5.6.4协变矢量 91
5.6.5混变张量 92
5.7混变张量的代数运算 93
5.7.1张量的加法和减法 93
5.7.2张量的缩并 93
5.7.3张量的乘法 94
5.7.4对称和反对称张量 94
5.8度规张量 95
5.8.1度规张量 95
5.8.2反变度规张量 95
5.8.3相伴张量 96
5.8.4指标的升降 96
5.8.5张量方程中的指标定则 96
5.9标量密度与张量密度 97
5.9.1标量密度 97
5.9.2标量积分元 98
5.9.3张量密度 98
5.10商定律 98
5.11张量的微分运算 100
5.11.1矢量平移与仿射联络 100
5.11.2 Levi-Civita联络 101
5.11.3张量的协变导数 103
5.11.4张量的协变散度 105
5.11.5联络系数的变换律 106
5.11.6曲率张量 107
第6章 二次型和主轴变换 112
6.1二次型与Hermite型 112
6.1.1二次型 112
6.1.2 Hermite型 112
6.2主轴变换 113
6.2.1主轴变换的定义 113
6.2.2主轴变换的意义 113
6.3本征值问题 115
6.3.1本征值的确定及其性质 115
6.3.2本征矢及其性质·矩阵的对角化 116
6.4本征值的极值性质 120
6.4.1极值原理 120
6.4.2主轴变换的具体步骤 121
6.4.3变分形式 122
6.5 Sylvester惯性律 123
习题 124
第7章 线性积分方程 130
7.1积分方程 130
7.1.1定义和分类 130
7.1.2对应无穷代数方程组 130
7.2第二类积分方程的Fredholm解 131
7.2.1对应代数方程组及其解法 131
7.2.2 Fredholm行列式 132
7.2.3 Fredholm解 133
7.2.4例子 135
7.3第二类积分方程的Liouville迭代解 137
7.4齐次积分方程 138
7.4.1有非平凡解的条件 138
7.4.2看作本征值问题 138
7.4.3对称核与Schmidt定理 139
7.4.4本征函数的正交归一化 139
7.4.5求本征值和本征矢的Aitken方法 140
7.4.6齐次积分方程的本征函数系 142
7.5第二类积分方程的Hilbert-Schmidt解法 142
习题 143
第8章 函数空间 149
8.1引言 149
8.1.1基本概念 149
8.1.2 Schwarz不等式 149
8.1.3备注 150
8.2正交归一函数系 150
8.2.1定义 150
8.2.2线性无关性 151
8.2.3完备性 151
8.3 Fourier级数 151
8.3.1三角函数系 152
8.3.2函数的Fourier级数展开 152
8.3.3 Parseval公式 153
8.3.4应用例子 154
8.3.5 Fourier级数的复数形式 156
8.3.6二维和三维空间的情形 157
8.4 Fourier变换 157
8.4.1 Fourier积分 157
8.4.2 Fourier积分的复数形式 158
8.4.3 Fourier变换与Fourier逆变换 159
8.4.4 Parseval公式 159
8.4.5卷积定理 161
8.4.6应用例子 161
8.4.7三维空间和四维时空的情形 165
8.5运用Fourier分析的条件 166
8.6相关积分变换 168
8.6.1 Laplace变换 168
8.6.2 Mellin变换 169
习题 170
第9章 变分法 174
9.1泛函 174
9.1.1定义和例子 174
9.1.2无穷个变量的函数 175
9.1.3无穷维函数空间中的函数 176
9.2变分法的意义 176
9.2.1函数的极值问题 176
9.2.2泛函的极值问题 177
9.3 Euler变分方程 177
9.3.1泛函的变分导数 177
9.3.2 Euler变分方程·边界条件 178
9.3.3含高阶导数的情形 181
9.3.4几个变函数的情形 182
9.3.5变函数为复函数的情形 182
9.3.6几个参变量的情形 183
9.4 Ritz方法 184
9.5条件极值问题 185
9.5.1函数的条件极值 185
9.5.2泛函的条件极值 185
9.5.3一般的条件极值 186
9.6曲线坐标系下Laplace方程的推导 186
9.6.1变分法问题 186
9.6.2坐标变换 187
9.6.3一般结果 189
9.6.4具体例子 189
9.7变分原理 191
9.7.1 Hamilton正则运动方程 191
9.7.2 Maxwell电磁场方程组 193
9.7.3 Schrodinger波动力学方程 195
9.7.4小结 195
第10章 微分方程绪论 197
10.1引言 197
10.1.1微分方程的有关定义 197
10.1.2常微分方程示例 197
10.1.3偏微分方程示例 198
10.2微分方程的等价问题 199
10.2.1常微分方程的等价定理 199
10.2.2偏微分方程的等价问题 202
10.3初值问题解的存在性定理 203
10.3.1存在性定理 203
10.3.2简单例子 205
10.3.3通解中的任意常数或任意函数 207
10.3.4微分方程与差分方程 207
10.4边值问题解的方法 208
10.5一阶偏微分方程的一般理论 210
10.6微分方程参考书 211
第11章 二阶线性偏微分方程 213
11.1分类和举例 213
11.2抛物型微分方程的解 215
11.2.1热传导方程的物理推导 215
11.2.2热传导方程的一般解法 215
11.2.3具体例子 217
11.2.4边界条件与Green函数 219
11.2.5地层的热传导问题 222
11.3双曲型及椭圆型微分方程的解 224
11.3.1引言 224
11.3.2 D’Alembert方程的Kirchhoff公式 225
11.3.3 Kirchhoff公式的证明 227
11.3.4波动方程的叠加原理解法 232
第12章 二阶线性常微分方程 237
12.1引论 237
12.1.1解的基本概念 237
12.1.2降阶法 238
12.1.3初值问题的另一看法 239
12.1.4函数的级数表示和积分表示 240
12.2复变函数论概要 240
12.2.1解析函数的定义 240
12.2.2函数的奇点与支点 243
12.2.3解析函数的CR条件·共形映射 245
12.2.4解析函数有关定理 247
12.2.5解析函数的表示方法与解析延拓 254
12.2.6 Г函数和B函数 256
12.3常点邻域内的级数解 259
12.3.1方程的奇点与常点 259
12.3.2 Legendre微分方程 260
12.3.3级数解法的具体步骤 263
12.3.4解析延拓问题 264
12.4正则奇点邻域内的正则解 265
12.4.1方程的正则奇点 265
12.4.2正则解的指标方程 266
12.4.3超几何微分方程 267
12.4.4 Legendre方程 275
12.5非正则奇点邻域内的常规解 282
12.5.1方程的非正则奇点 282
12.5.2常规解 283
12.5.3汇合型超几何方程 284
12.5.4 Whittaker方程 286
12.5.5 Bessel方程 288
第13章 微分方程的数值解法 295
13.1数值方法的重要性 295
13.2 Weierstrass定理 295
13.3插值法 295
13.3.1多项式插值 296
13.3.2三次样条插值 297
13.4数值微分和积分 299
13.4.1数值微分 299
13.4.2数值积分 300
13.5微分方程的数值解法 302
13.5.1 Runge-Kutta法 303
13.5.2 Adams法 304
13.5.3预估校正法 305
13.5.4二阶常微分方程 306
13.6数值计算方法程序库 307
索引 308
重排后记 317