1.哥德巴赫猜想 1
1.1 哥德巴赫其人 1
1.2 哥德巴赫猜想 1
2.前人的成果 4
2.1 理论和方法 4
2.1.1 整数的整除性 4
2.1.2 最大整数和零头 6
2.1.3 排列、组合、二项式定理 6
2.1.4 皮亚诺算术公理 8
2.1.5 集合 8
2.1.5.1 集合 8
2.1.5.2 运算 9
2.1.5.3 全集与子集 9
2.1.6 素数和算术基本定理 10
2.1.7 指数和对数 11
2.1.7.1 指数 11
2.1.7.2 对数 12
2.1.8 素数的最大方次数 12
2.1.9 同余和同余式 13
2.1.9.1 同余及同余式 13
2.1.9.2 费马小定理 14
2.1.9.3 二次剩余 14
2.1.9.4 中国剩余定理（孙子定理） 17
2.1.10 素数分布 18
2.1.10.1 相邻素数的间隔 18
2.1.10.2 素数个数 19
2.1.10.3 素数出现概率 20
2.1.10.4 两数之间的素数 20
2.1.10.5 素数定理 23
2.1.10.6 素数定理的误差项 24
2.1.10.7 长蛇图与螺旋图 26
2.1.11 黎曼猜想（黎曼假设） 27
2.1.11.1 黎曼其人 27
2.1.11.2 黎曼猜想 28
2.1.11.3 黎曼ζ（S）函数 29
2.1.11.4 ζ（S）函数的零点分布 32
2.1.11.5 中值公式 36
2.1.12 素数公式 37
2.1.12.1 费马数 37
2.1.12.2 4n＋1和4n＋3 39
2.1.12.3 A=a2-k 40
2.1.12.4 ap≡a和2p-1-≡1 40
2.1.12.5 默森数和大素数 40
2.1.12.6 算术级数 42
2.1.12.7 多项式 45
2.1.13 孪生素数 49
2.1.14 素数判定、素数表、大数分解 51
2.1.14.1 素数判定 51
2.1.14.1.1 试除法 51
2.1.14.1.2 费马小定理法 51
2.1.14.1.3 卢卡斯—威廉斯法 53
2.1.14.1.4 黎曼猜想法 55
2.1.14.1.5 概率法 57
2.1.14.1.6 艾德利曼—鲁梅利法 57
2.1.14.2 素数表 59
2.1.14.3 大数分解 60
2.1.14.3.1 费马方法 60
2.1.14.3.2 一种筛法 61
2.1.14.3.3 勒让德方法 61
2.1.14.3.4 蒙特卡罗方法 61
2.1.14.3.5 连分数法 63
2.1.14.3.6 二次筛法 64
2.1.14.3.7 P-1法和P＋1法 64
2.1.15 圆法与三角和估计 65
2.1.16 密率论 67
2.1.17 华林—哥德巴赫问题 69
2.1.17.1 哥德巴赫猜想的传说 69
2.1.17.2 华林—哥德巴赫问题 70
2.1.17.3 华罗庚的研究结果 71
2.1.18 不定方程 73
2.1.19 恒等式 77
2.1.20 分形和混沌 80
2.1.20.1 分形 80
2.1.20.2 混沌 83
2.1.21 八卦 85
2.2 筛法 88
2.2.1 埃拉托塞尼筛法 88
2.2.2 筛函数 89
2.2.3 勒让德筛法 92
2.2.4 布朗筛法 93
2.2.5 塞尔伯格上界筛法 94
2.2.6 加权筛法 98
2.2.7 大筛法 101
2.3 证明 103
2.3.1 两种方式和两条途径 103
2.3.2 奇数猜想的证明 104
2.3.3 弱型偶数猜想的证明 105
2.3.3.1 史尼尔里曼的证明 105
2.3.3.2 证明成果进展情况 105
2.3.4 因数偶数猜想的证明 106
2.3.4.1 布朗的证明 106
2.3.4.2 瑞尼的证明 106
2.3.4.3 证明成果进展情况 106
2.3.5 华罗庚的证明 107
2.3.6 蒋春暄的证明 109
2.3.7 陈景润的证明 110
3.我的证明和拓展研究 113
3.1 引言 113
3.2 一般的证明：哥德巴赫猜想证明 113
3.2.1 哥德巴赫偶数定理（两素数定理） 113
3.2.2 推论：素数无穷多 115
3.2.3 相关的研究 115
3.2.3.1 费马的公式 115
3.2.3.2 瑞尼的证明 115
3.2.3.3 华罗庚的证明 115
3.2.3.4 陈景润的证明 115
3.2.3.5 贝特朗德—契比雪夫的证明 116
3.3 特殊的证明：黎曼猜想（假设）证明 116
3.3.1 引言 116
3.3.2 黎曼定理 117
3.3.3 相关的研究 120
3.3.4 黎曼ζ（S）函数的双素数零点 122
3.3.4.1 引言 122
3.3.4.2 黎曼定理存在性证明 124
3.3.5 黎曼ζ（S）函数的单素数零点 125
3.3.5.1 引言 125
3.3.5.2 素数个数π（x）定理 126
3.3.6 欧拉恒等式和黎曼ζ（S）函数研究 127
3.3.7 魏依猜想研究 134
3.3.8 关于零点计算 138
3.3.8.1 引言 138
3.3.8.2 零点计算 140
3.3.8.2.1 黎曼猜想的目的 140
3.3.8.2.2 黎曼把ζ函数还原为整数 140
3.3.8.2.3 在0≤σ≤1中有无穷多个零点问题 140
3.3.8.2.4 零点个数N（T）问题 141
3.3.8.2.5 Σ|ρ|-2收敛而Σ|ρ|-1发散问题 143
3.3.8.2.6 整函数问题 144
3.3.8.2.7 黎曼定理问题 145
3.3.8.2.8 π（x）公式问题 148
3.3.8.2.9 黎曼的连贯思索 150
3.4 特殊的证明：筛法的重大改进 151
3.4.1 引言 151
3.4.2 构造素数序列 151
3.4.3 素数表的制作和添加 152
3.4.3.1 引言 152
3.4.3.2 素数表制作或添加的操作步骤 153
3.4.3.3 新素数表示意 155
3.4.4 一些素数性质 165
3.4.5 素数判定的基本步骤 166
3.4.5.1 引言 166
3.4.5.2 素数判定的基本步骤 167
3.4.6 大数分解的基本步骤 167
3.4.6.1 引言 167
3.4.6.2 大数分解的基本步骤 168
3.4.7 素数公式 169
3.4.7.1 引言 169
3.4.7.2 素数公式 170
3.4.8 益智游戏：造素数 170
3.4.8.1 准素数公式造素数 170
3.4.8.2 缺啥补啥造素数 170
3.4.9 构造大素数P6 171
3.4.9.1 理论上的构造 171
3.4.9.2 实操作的构造 171
3.5 特殊的证明：孪生素数猜想证明 172
3.5.1 引言 172
3.5.2 孪生素数定理（奇数的两素数定理） 173
3.5.3 孪生素数无穷多定理（参见3.8.3.1.3相邻素数之差） 173
3.5.4 推论：素数无穷多 174
3.6 特殊的三个数 174
3.6.1 关于1 174
3.6.2 关于2 175
3.6.3 关于0 176
3.7 特殊的证明：4|x 177
3.7.1 4|x，4整除x的情形 177
3.7.2 费马的研究 178
3.7.3 默森的研究 178
3.7.4 阴阳八卦 178
3.7.4.1 八卦个数 178
3.7.4.2 八卦组合 179
3.7.4.3 八卦数学 179
3.7.4.4 八卦象征 194
3.7.4.5 八卦变化 204
3.7.5 孪生素数定理（参见3.5） 206
3.7.5.1 A=6n，D=1 206
3.7.5.2 A=30 n，D=（-1，1），（11，13），（17，19） 206
3.7.6 偶素数2，x=4 206
3.7.6.1 A=2，D=0 206
3.7.6.2 A=2，D=1 206
3.8 特殊的证明：2|x且4|x 206
3.8.1 A是奇素数连乘积，A=ΠP，2|D 206
3.8.2 A是奇素数，A=P 207
3.8.2.1 D=0 207
3.8.2.2 D=2和孪生素数定理（奇数的两素数定理） 207
3.8.2.3 D＞2 且2|D 207
3.8.3 素数间隔和素数等差数列 208
3.8.3.1 相邻素数的间隔和相邻素数之差 208
3.8.3.1.1 引言 208
3.8.3.1.2 相邻素数的最大间隔 209
3.8.3.1.2.1 必然出现的素数最大间隔和连续合数公式 209
3.8.3.1.2.2 可能出现的素数最大间隔 210
3.8.3.1.3 相邻素数之差 212
3.8.3.1.3.1 一般证明 212
3.8.3.1.3.2 特殊证明：A=P，21D 213
3.8.3.1.4 相关研究 215
3.8.3.1.4.1 三个定理比较 215
3.8.3.1.4.2 契比雪夫的证明 215
3.8.3.1.4.3 奥波曼猜想 216
3.8.3.1.4.4 杰波夫猜想 216
3.8.3.1.4.5 没有最大，只有更大 216
3.8.3.1.4.6 大间隔中的偶数猜想问题 217
3.8.3.1.4.7 哈代—李特伍德孪生素数猜想关系式 218
3.8.3.2 素数等差数列 218
3.8.3.2.1 引言 218
3.8.3.2.2 重构算术等差数列 219
3.8.3.2.2.1 重构 219
3.8.3.2.2.2 公差Ap 219
3.8.3.2.2.3 首项D 219
3.8.3.2.3 发现素数等差数列 220
3.8.3.2.3.1 一般的证明 220
3.8.3.2.3.2 特殊的证明 221
3.8.3.2.3.3 素数等差数列项数 223
3.8.4 素数出现概率 223
3.8.4.1 引言 223
3.8.4.2 素数出现比率的起伏变化 224
3.8.4.3 素数出现概率 225
3.8.4.4 推论：合数出现概率 226
3.8.4.5 相关研究 226
3.8.4.5.1 王元的论述 226
3.8.4.5.2 华罗庚的概率加极限 229
3.8.5 素数定理及其误差项 230
3.8.5.1 引言 230
3.8.5.2 误差计算 231
3.8.5.2.1 各种误差计算 231
3.8.3.2.2 有关素数定理的计算值 231
3.8.5.2.2.1 勒让德的订正参数B值 231
3.8.5.2.2.2 素数定理的误差值及比值 232
3.8.5.2.2.3 高斯分部积分的误差值 233
3.8.5.3 素数定理及其误差项 233
3.8.5.3.1 所谓素数定理 233
3.8.5.3.2 误差 234
3.8.5.3.2.1 实值差 234
3.8.5.3.2.2 比值差 236
3.8.5.3.2.3 参数差 237
3.8.5.3.3 误差项 237
3.8.5.4 误差项计算的重新估量 237
3.8.5.5 相关研究 239
3.8.5.5.1 契比雪夫关系式 239
3.8.5.5.2 陈景润关系式 239
3.8.5.5.3 柯赫误差猜想 240
3.8.5.5.4 罗素与熊飞尔德不等式 241
3.8.5.5.5 王元的论述 241
3.8.5.5.6 π（x）十π（y）≥π（x＋y） 241
3.8.6 特殊的证明：A=1，D=0 242
参考文献 243
论文 哥德巴赫猜想证明 245
Roof of Goldbach’s Conjecture（英文） 247
后记 250