篇前篇 高数解题的四种思维定势 1
第一篇 高等数学 7
第一章 函数·极限·连续 7
1.1 函数 7
一、函数的定义 7
二、函数的定义域的求法 8
三、函数的基本性质 9
四、分段函数 14
五、初等函数 14
1.2 函数的极限及其连续性 18
一、概念 18
二、重要定理与公式 20
1.3 极限的求法 28
一、未定式的定值法 28
二、类未定式 31
三、数列的极限 33
四、极限式中常数的确定（重点） 37
五、杂例 40
习题一 44
第二章 导数与微分 48
2.1 定义·定理·公式 48
一、导数与微分的定义 48
二、定理 50
三、导数与微分的运算法则 50
四、基本公式 51
五、弧微分 51
2.2 各类函数导数的求法 52
一、复合函数微分法 52
二、参数方程微分法 53
三、隐函数微分法 54
四、幂指函数微分法 55
五、函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法 56
六、分段函数微分法 56
2.3 高阶导数 58
一、定义与基本公式 58
二、高阶导数的求法 58
习题二 61
第三章 不定积分 65
3.1 不定积分的概念与性质 65
一、不定积分的概念 65
二、基本性质 65
三、基本公式 66
3.2 基本积分法 67
一、第一换元积分法（也称凑微分法） 67
二、第二换元积分法 71
三、分部积分法 75
3.3 各类函数积分的技巧及分析 80
一、有理函数的积分 80
二、简单无理函数的积分 81
三、三角有理式的积分 83
四、含有反三角函数的不定积分 86
五、抽象函数的不定积分 87
六、分段函数的不定积分 87
习题三 89
第四章 定积分及广义积分 92
4.1 定积分性质及有关定理与公式 92
一、基本性质 92
二、定理与公式 95
4.2 定积分的计算法 99
一、牛顿—莱布尼兹公式 99
二、定积分的换元积分法 99
三、定积分的分部积分法 101
4.3 特殊形式的定积分计算 102
一、分段函数的积分 102
二、被积函数带有绝对值符号的积分 104
三、被积函数中含有“变上限积分”的积分 105
四、对称区间上的积分 107
五、被积函数的分母为两项，而分子为其中一项的积分 108
六、由三角有理式与其它初等函数通过四则或复合而成的函数的积分 109
七、杂例 111
4.4 定积分有关命题证明的技巧 113
一、定积分等式的证明 113
二、定积分不等式的证明 121
习题四（1） 127
4.5 广义积分 129
一、基本概念及判敛法则 129
二、广义积分的计算及判敛 130
习题四（2） 134
第五章 中值定理的证明技巧 136
5.1 连续函数在闭区间上的性质 136
一、基本定理 136
二、有关闭区间上连续函数的命题的证法 136
习题五（1） 138
5.2 微分中值定理及台劳公式 139
一、基本定理 139
二、台劳公式 140
5.3 证题技巧分析 143
一、欲证结论：至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（n）（ξ）＝0的命题证法 143
二、欲证结论：至少？一点ξ∈（a，b），使得f（n）（ξ）＝k（≠0）及其代数式的证法 145
三、欲证结论：在（a，b）内至少？ξ，η，ξ≠η满足某种关系式的命题的证法 150
习题五（2） 151
第六章 常微分方程 152
6.1 基本概念 152
一、微分方程 152
二、微分方程的阶 152
三、微分方程的解 152
6.2 一阶微分方程 153
一、各类一阶方程解法一览表 153
二、解题技巧及分析 154
6.3 可降阶的高阶方程 161
一、可降阶的高阶方程解法一览表 161
二、解题技巧及分析 162
6.4 高阶线性微分方程 163
一、二阶线性微分方程解的结构 163
二、二阶常系数线性微分方程 164
三、n阶常系数线性方程 165
四、欧拉方程 171
6.5 微分方程的应用 172
一、在几何中的应用 172
二、在力学中的应用 174
习题六 175
第七章 一元微积分的应用 178
7.1 导数的应用 178
一、利用导数判别函数的单调增减性 178
二、利用导数研究函数的极值与最值 179
三、关于方程根的研究 185
四、函数作图 189
7.2 定积分的应用 192
一、微元法及其应用 192
二、平面图形的面积 194
三、立体体积 196
四、平面曲线的弧长 198
五、旋转体的侧面积 198
六、变力作功、引力、液体的静压力 198
习题七 201
第八章 无穷级数 204
8.1 基本概念及其性质 204
8.2 数项级数判敛法 205
一、正项级数？un，（un≥0）敛散性的判别法 205
二、交错级数？（-1）n-1 un（un＞0）的判敛法 210
三、任意项级数 211
四、杂例 213
8.3 幂级数 217
一、函数项级数的概念 217
二、幂级数 219
8.4 无穷级数求和 225
一、幂级数求和函数 225
二、数项级数求和 229
8.5 付立叶级数 233
一、概念、定理 233
二、周期与非周期函数的付立叶级数 235
习题八 239
第九章 矢量代数与空间解析几何 243
9.1 矢量的概念及其性质 243
一、概念及其运算 243
二、矢量之间的关系 244
9.2 平面与直线 248
9.3 投影方程 253
9.4 曲面方程 255
一、柱面与旋转面方程 255
习题九 259
第十章 多元函数微分学 261
10.1 基本概念及定理与公式 261
一、二元函数的定义 261
二、二元函数的极限及连续性 262
三、偏导数、全导数及全微分 263
四、基本定理 264
10.2 多元函数微分法 267
一、简单显函数u＝f（x，y，z）的微分法 267
二、复合函数微分法 267
三、隐函数微分法 271
10.3 多元函数微分学在几何上的应用 273
一、空间曲线在某点处的切线和法平面方程 273
二、空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程 275
10.4 多元函数的极值 276
一、概念、定理与公式 276
二、条件极值与无条件极值 277
习题十 282
第十一章 重积分 284
11.1 概念·性质·公式 284
一、概念 284
二、性质 284
三、公式 286
11.2 二重积分的解题技巧 288
一、？f（x，y）dσ的解题程序 288
二、极坐标系中积分限的确定 289
三、典型例题分析 290
11.3 二重积分的证题技巧 297
一、有关等式的证明 297
二、二重积分不等式的证明 300
11.4 三重积分的计算 302
一、？f（x，y，z）dv的解题程序 302
二、坐标系的选择 302
三、球面坐标系中积分限的确定 303
四、更换积分次序 304
五、三重积分计算 305
习题十一 307
第十二章 曲线、曲面积分及场论初步 311
12.1 曲线积分的概念及性质 311
一、对弧长的曲线积分 311
二、对坐标的曲线积分 311
三、两种曲线积分之间的关系 312
12.2 曲线积分的理论及计算方法 312
一、基本定理 312
二、对弧长的曲线积分的计算方法 313
三、对坐标的曲线积分∫LP（x，y）dx＋Q（x，y）dy的计算法 314
12.3 曲面积分的概念与性质 320
一、对面积的曲面积分 320
二、对坐标的曲面积分 320
三、两种曲面积分之间的关系 321
12.4 曲面积分的理论与计算方法 321
一、基本定理 321
二、对面积的曲面积分的计算法 322
三、对坐标的曲面积分的计算法 323
12.5 曲面面积的计算法 328
12.6 场论初步 330
一、概念与公式 330
二、例题选讲 331
习题十二 334
第十三章 函数方程与不等式证明 336
13.1 函数方程 336
一、利用函数表示法与用何字母表示无关的“特性”求解方程 336
二、利用极限求解函数方程 337
三、利用导数的定义求解方程 338
四、利用变上限积分的可导性求解方程 338
五、利用连续函数的可积性及原函数的连续性求解 339
六、利用解微分方程的方法求解f（x） 340
13.2 不等式的证明 343
一、引入参数法 343
二、利用微分中值定理 344
三、利用函数的单调增减性（重点） 346
四、利用函数的极值与最值 347
五、利用函数图形的凹凸性 349
六、利用台劳展开式 349
七、杂例 351
习题十三 353
第二篇 线性代数 356
第一章 行列式 356
1.1 行列式的概念 356
一、排列与逆序 356
二、n阶行列式的定义 357
1.2 性质、定理与公式 358
一、行列式的基本性质 358
二、行列式按行（列）展开定理 361
三、重要公式与结论 362
1.3 典型题型分析 362
题型一 抽象行列式的计算 362
题型二 低阶行列式的计算 363
题型三 n阶行列式的计算 365
1.4 杂例 370
习题一 372
第二章 矩阵 375
2.1 矩阵的概念与运算 375
一、矩阵的概念 375
二、矩阵的运算 375
2.2 逆矩阵 378
一、逆矩阵的概念 378
二、利用伴随矩阵求逆矩阵 379
三、矩阵的初等变换与求逆 380
四、分块矩阵及其求逆 381
2.3 典型题型分析 381
题型一 求逆矩阵 381
题型二 求矩阵的高次幂Am． 384
题型三 有关初等矩阵的命题 386
题型四 解矩阵方程 386
题型五 求矩阵的秩 388
题型六 关于矩阵对称、反对称命题的证明 390
题型七 关于方阵A可逆的证明 390
题型八 与A的伴随阵A＊有关联的命题的证明 391
题型九 关于矩阵秩的命题的证明 393
习题二 394
第三章 向量 400
3.1 基本概念 400
一、向量的概念与运算 400
二、向量间的线性关系 400
三、向量组的秩和矩阵的秩 401
四、向量空间 402
3.2 重要定理与公式 404
3.3 典型题型分析 404
题型一 讨论向量组的线性相关性 404
题型二 有关向量组线性相关性命题的证明 408
题型三 判定一个向量是否可由一组向量线性表示 414
题型四 有关向量组线性表示命题的证明 415
题型五 求向量组的极大线性无关组 417
题型六 有关向量组或矩阵秩的计算与证明 420
题型七 与向量空间有关的命题 424
习题三 425
第四章 线性方程组 429
4.1 概念、性质、定理 429
一、克莱姆法则 429
二、线性方程组的基本概念 430
三、线性方程组解的判定 430
四、非齐次组Ax＝b与齐次组Ax＝0解的关系 431
五、线性方程组解的性质 431
六、线性方程组解的结构 431
4.2 典型题型分析 433
题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构） 433
题型二 含有参数的线性方程组解的讨论 436
题型三 讨论两个方程组的公共解 441
题型四 有关基础解系的证明 443
题型五 综合题 444
习题四 449
第五章 特征值和特征向量 453
5.1 概念与性质 453
一、矩阵的特征值和特征向量的概念 453
二、特征值与特征向量的计算方法 453
三、相似矩阵及其性质 454
四、矩阵可相似对角化的充要条件 454
五、对称矩阵及其性质 454
5.2 重要公式与结论 455
5.3 典型题型分析 456
题型一 求数值矩阵的特征值与特征向量 456
题型二 求抽象矩阵的特征值、特征向量 457
题型三 特征值、特征向量的逆问题 458
题型四 相似的判定及其逆问题 460
题型五 判断A是否可对角化 462
题型六 综合应用问题 464
题型七 有关特征值、特征向量的证明题 470
习题五 472
第六章 二次型 475
6.1 基本概念与定理 475
一、二次型及其矩阵表示 475
二、化二次型为标准型 475
三、用正交变换法化二次型为标准形 476
四、二次型和矩阵的正定性及其判别法 476
6.2 典型题型分析 479
题型一 二次型所对应的矩阵及其性质 479
题型二 化二次型为标准形 480
题型三 已知二次型通过正交变换化为标准形，反求参数 483
题型四 有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明 485
习题六 488
第三篇 概率论与数理统计第一章 随机事件和概率 490
1 基本概念、性质与公式 490
一、随机试验和随机事件 490
二、事件的关系及其运算 490
三、事件的概率及其性质 493
四、条件概率与事件的独立性 493
五、重要概型 495
六、重要公式 495
2 典型题型分析 496
题型一 古典概型与几何概型 496
题型二 事件的关系和概率性质的命题 499
题型三 条件概率与积事件概率的计算 502
题型四 全概率公式与Bayes公式的命题 503
题型五 有关Bernoulli概型的命题 506
习题一 507
第二章 随机变量及其分布 511
1 基本概念、性质与公式 511
一、概念与公式一览表 511
二、重要的一维分布 514
三、重要的二维分布 515
2 典型题型分析 516
题型一 一维随机变量及其分布的概念、性质的命题 516
题型二 求一维随机变量的分布律、概率密度或分布函数 520
题型三 求一维随机变量函数的分布 523
题型四 二维随机变量及其分布的概念、性质的考查 526
题型五 求二维随机变量的各种分布与随机变量独立性的讨论 528
题型六 求两个随机变量的简单函数的分布 536
习题二 540
第三章 随机变量的数字特征 547
1 基本概念、性质与公式 547
一、一维随机变量的数字特征 547
二、二维随机变量的数字特征 549
三、几种重要的数学期望与方差 550
四、重要公式与结论 551
2 典型题型分析 551
题型一 求一维随机变量的数字特征 551
题型二 求一维随机变量函数的数学期望 555
题型三 求二维随机变量及其函数的数字特征 558
题型四 有关数字特征的证明题 568
题型五 应用题 569
习题三 571
第四章 大数定律和中心极限定理 575
1 基本概念与定理 575
一、切比雪夫不等式 575
二、中心极限定理 575
三、重要公式与结论 576
四、注意 576
2 典型题型分析 577
题型一 有关切比雪夫不等式与大数定律的命题 577
题型二 有关中心极限定理的命题 578
习题四 581
第五章 数理统计的基本概念 583
1 基本概念、性质与公式 583
一、几个基本概念 583
二、三个抽样分布——x2分布、t分布与F分布 584
三、正态总体下常用统计量的性质 584
四、重要公式与结论 585
2 典型题型分析 586
题型一 求统计量的数字特征或取值的概率、样本的容量 586
题型二 求统计量的分布 587
习题五 589
第六章 参数估计 591
1 基本概念、性质与公式 591
一、矩估计与极大似然估计 591
二、估计量的评选标准 592
三、区间估计 593
四、重要公式与结论 594
2 典型题型分析 595
题型一 求矩估计和极大似然估计 595
题型二 评价估计的优劣 599
题型三 区间估计或置信区间的命题 600
习题六 602
第七章 假设检验 605
1 基本概念与公式 605
一、显著性检验的基本思想 605
二、假设检验的基本步骤 605
三、两类错误 605
四、正态总体未知参数的假设检验 606
五、假设检验与区间估计的联系 606
2 典型题型分析 607
题型一 正态总体的均值和方差的假设检验 607
题型二 有关两类错误的命题 608
习题七 609