第一章 绪论 1
1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型 1
1.2 基本概念 9
第二章 一阶微分方程的初等解法 18
2.1 变量分离方程与变量变换 18
2.1.1 变量分离方程 18
2.1.2 可化为变量分离方程的类型 21
2.1.3 应用举例 27
2.2 线性方程与常数变易法 32
2.3 恰当方程与积分因子 39
2.3.1 恰当方程 39
2.3.2 积分因子 44
2.4 一阶隐方程与参数表示 51
2.4.1 可以解出 y(或 x)的方程 51
2.4.2 不显含 y(或 x)的方程 56
本章学习要点 59
第三章 一阶微分方程的解的存在定理 65
3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 66
3.1.1 存在唯一性定理 66
3.1.2 近似计算和误差估计 76
3.2 解的延拓 79
3.3 解对初值的连续性和可微性定理 88
3.4 奇解 93
3.4.1 包络和奇解 93
3.4.2 克莱罗(Clairaut)方程 97
本章学习要点 100
第四章 高阶微分方程 101
4.1 线性微分方程的一般理论 101
4.1.1 引言 101
4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构 102
4.1.3 非齐线性方程与常数变易法 107
4.2 常系数线性方程的解法 113
4.2.1 复值函数与复值解 114
4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程 117
4.2.3 非齐线性方程·比较系数法与拉普拉斯变换法 125
4.2.4 质点振动 136
4.3 高阶方程的降价和幂级数解法 146
4.3.1 可降阶的一些方程类型 147
4.3.2 二阶线性方程的幂级数解法 154
4.3.3 第二宇宙速度计算 163
本章学习要点 166
5.1 存在唯一性定理 168
5.1.1 记号和定义 168
第五章 线性微分方程组 168
5.1.2 存在唯一性定理 177
5.2 线性微分方程组的一般理论 185
5.2.1 齐线性微分方程组 185
5.2.2 非齐线性微分方程组 194
5.3 常系数线性微分方程组 203
5.3.1 矩阵指数 expA 的定义和性质 203
5.3.2 基解矩阵的计算公式 207
5.3.3 拉普拉斯变换的应用 226
本章学习要点 238
6.1 引言 240
第六章 非线性微分方程和稳定性 240
6.2 相平面 248
6.3 按线性近似决定微分方程组的稳定性 261
6.4 李雅普诺夫第二方法 268
6.5 周期解和极限圈 278
6.6 二次型 V 函数的构造与控制系统的绝对稳定性 288
本章学习要点 302
7.1 基本概念 304
第七章 一阶线性偏微分方程 304
7.2 一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系 306
7.3 利用首次积分求解常微分方程组 309
7.4 一阶线性偏微分方程的解法 313
7.5 柯西(Cauchy)问题 323
附录Ⅰ 拉普拉斯变换 331
附录Ⅱ 边值问题 343
习题答案 364