第1章 数值计算工具Mathematica 1
1.0 概述 1
1.1 Mathematica入门 1
1.1.1 Mathematica的启动 1
1.1.2 Mathematica的菜单项 2
1.1.3 从Mathematica获得信息 3
1.1.4 使用Mathematica的函数 4
1.2 强大的绘图功能 5
1.2.1 基本作图命令 5
1.2.2 绘图的参数 8
1.2.3 动画功能 10
1.3 对数组和矩阵作运算 12
1.3.1 数组与矩阵的构造方法 13
1.3.2 获取数组或矩阵元素 13
1.3.3 矩阵的运算 14
1.3.4 集合运算 15
1.4 数值计算 15
1.4.1 矩阵的分解 16
1.4.2 求解线性方程组 18
1.4.3 曲线拟合 18
1.4.4 函数插值 19
1.4.5 数值积分 20
1.4.6 非线性方程和非线性方程组的数值解法 21
1.4.7 微分方程数值解 23
1.5 Mathematica编程 24
1.5.1 用户自定义函数 24
1.5.2 循环结构 25
1.5.3 条件与分支结构 26
1.6 本章小结 28
习题1 28
第2章 科学计算的基本概念 30
2.0 概述 30
2.0.1 科学计算的对象 30
2.0.2 用数值方法计算数学问题的过程 31
2.0.3 构造算法的基本手段与研究算法的核心问题 32
2.1 误差的概念 33
2.1.1 绝对误差的概念 33
2.1.2 相对误差和相对误差限 33
2.1.3 近似数的有效数字位 34
2.2 浮点数与舍入误差 35
2.2.1 计算机中数的表示 35
2.2.2 浮点运算和舍入误差 36
2.3 误差的传播 37
2.3.1 基本算术运算的误差 37
2.3.2 函数求值的误差 38
2.4 计算方法与计算复杂性 38
2.4.1 两个相近的数相减造成的有效位数丢失 39
2.4.2 防止计算中大数“吃”小数 39
2.4.3 减少计算的次数 40
2.4.4 Mathematica中精度数的计算 40
2.5 问题的病态性和算法的稳定性 41
2.5.1 Wilkinson多项式根与系数的敏感性 41
2.5.2 病态方程组 42
2.5.3 算法的稳定性 43
2.6 本章小结 44
第2章实验 误差理论 45
习题2 45
第3章 线性代数方程组的解法 47
3.0 概述 47
3.1 高斯消元法 49
3.1.1 顺序消元法 49
3.1.2 列选主元高斯消元法 53
3.1.3 行尺度主元消元法 55
3.2 矩阵的三角分解 56
3.2.1 矩阵的LU分解 56
3.2.2 对称正定矩阵的平方根法 60
3.2.3 三对角方程组的追赶法 62
3.3 矩阵的条件数和直接方法的误差分析 63
3.3.1 向量和矩阵的范数 64
3.3.2 条件数 66
3.4 解线性方程组的迭代法 70
3.4.1 雅可比迭代法 71
3.4.2 高斯-赛德尔迭代法 73
3.4.3 松弛迭代法 75
3.4.4 迭代法的收敛性及误差估计 76
3.5 应用实例 81
3.5.1 用高斯消元法求矩阵的行列式和逆矩阵 81
3.5.2 投入产出模型 82
3.5.3 用逆矩阵编写密电码 83
3.6 本章小结 83
第3章实验 线性方程组的直接法和迭代法 84
习题3 89
第4章 函数插值 94
4.0 概述 94
4.1 牛顿插值 94
4.1.1 一般的牛顿插值 95
4.1.2 等距节点的牛顿插值 97
4.2 拉格朗日插值 99
4.2.1 拉格朗日插值多项式的构造方法 99
4.2.2 插值的误差估计 100
4.2.3 拉格朗日插值算法在计算机上的实现 103
4.2.4 插值函数收敛性的进一步分析 105
4.3 埃尔米特插值 105
4.3.1 两点三次埃尔米特插值 106
4.3.2 n＋1个节点埃尔米特插值 107
4.4 分段低次插值 108
4.4.1 分段线性插值 108
4.4.2 分段三次埃尔米特插值 110
4.4.3 保形插值 112
4.5 样条插值 113
4.6 应用实例 117
4.7 本章小结 118
第4章实验 函数插值 119
习题4 124
第5章 函数逼近与拟合 128
5.0 概述 128
5.1 最小二乘法与线性拟合 128
5.2 曲线拟合 132
5.3 正交多项式 136
5.3.1 内积空间 136
5.3.2 连续区间上的正交多项式 137
5.3.3 常用的正交多项式 139
5.3.4 离散点集上的正交多项式 141
5.4 最佳平方逼近 142
5.4.1 连续函数的最佳平方逼近 142
5.4.2 正交多项式拟合 144
5.5 应用实例 146
5.6 本章小结 149
第5章实验 拟合 149
习题5 153
第6章 数值积分与微分 156
6.0 概述 156
6.1 牛顿-科茨求积公式 157
6.1.1 插值型求积法 157
6.1.2 牛顿-科茨求积公式 158
6.1.3 牛顿-科茨公式的误差分析 160
6.2 复化求积公式 162
6.2.1 复化梯形求积公式 162
6.2.2 复化辛普森求积公式 163
6.2.3 事后误差估计 164
6.3 外推原理与龙贝格求积法 165
6.3.1 外推原理 165
6.3.2 龙贝格求积法 166
6.4 高斯求积公式 167
6.4.1 高斯求积公式的基本理论 167
6.4.2 常用高斯求积公式 169
6.4.3 高斯求积公式的余项与稳定性 171
6.5 数值微分 172
6.5.1 插值型求导公式 172
6.5.2 三次样条求导 174
6.5.3 数值微分的外推算法 174
6.6 应用实例 175
6.7 本章小结 177
第6章实验 数值积分计算 177
习题6 180
第7章 非线性方程和方程组的 数值解法 182
7.0 概述 182
7.1 方程求根的二分法 183
7.2 一元方程的不动点迭代法 184
7.2.1 不动点迭代法及其收敛性 184
7.2.2 局部收敛性和加速收敛法 187
7.3 一元方程的常用迭代法 190
7.3.1 牛顿迭代法 190
7.3.2 割线法与抛物线法 192
7.4 非线性方程组的数值解法 194
7.4.1 非线性方程组的不动点迭代法 194
7.4.2 非线性方程组的牛顿法 197
7.4.3 非线性方程组的拟牛顿法 199
7.5 应用实例 201
7.6 本章小结 202
第7章实验 非线性方程求解 202
习题7 206
第8章 矩阵特征值问题的数值解法 209
8.0 概述 209
8.1 特征值问题的性质与估计 209
8.2 乘幂法和反幂法 210
8.2.1 乘幂法和加速方法 210
8.2.2 反幂法和原点位移 212
8.3 雅可比方法 214
8.4 QR算法 217
8.4.1 化矩阵为海森伯格形 217
8.4.2 QR算法及其收敛性 220
8.4.3 带原点位移的QR算法 222
8.5 应用实例 224
8.6 本章小结 225
第8章实验 矩阵特征值与特征向量的计算 226
习题8 230
第9章 常微分方程初值问题的数值解法 232
9.0 概述 232
9.1 欧拉方法 232
9.1.1 欧拉方法及其有关的方法 232
9.1.2 局部误差和方法的阶 235
9.2 龙格-库塔方法 236
9.2.1 龙格-库塔方法的基本思想 236
9.2.2 几类显式龙格-库塔方法 237
9.3 单步法的收敛性和稳定性 240
9.3.1 单步法的收敛性 240
9.3.2 单步法的稳定性 241
9.4 线性多步法 243
9.4.1 基于数值积分的方法 243
9.4.2 基于泰勒展开的方法 245
9.4.3 预估-校正算法 247
9.5 一阶微分方程组的数值解法 249
9.5.1 一阶微分方程组和高阶方程 249
9.5.2 刚性方程组 250
9.6 边值问题的数值解法 252
9.6.1 打靶法 252
9.6.2 差分方法 255
9.7 应用实例 257
9.8 本章小结 258
第9章实验 常微分方程初值问题 258
习题9 262
部分习题参考答案 265
参考文献 278