第1章 Bézīer曲线 1
1.1 自由曲线造型概论 1
1.1.1 样条函数插值的Hermite基表示 1
1.1.2 端点条件及追赶法 2
1.1.3 样条曲线 3
1.2 割角多边形序列的生成及收敛(Bézīer曲线的几何生成法I) 4
1.2.1 简单割角法 4
1.2.2 割角多边形序的两个性质 4
1.2.3 割角多边形序列的极限形式 6
1.3 Bézīer曲线的基本几何性质及几何生成法II和III 7
1.4 Bézīer曲线的离散构造与平面Bézīer曲线的保凸性质 10
1.4.1 离散公式的导出 10
1.4.2 离散公式的应用（平面Bézīer曲线的保凸性） 12
1.5 Bézīer曲线的包络性质(几何生成法IV)) 12
1.6 Bézīer曲线的代数性质 13
1.6.1 Bézīer曲线两种代数定义的等价性 13
1.6.2 Bézīer曲线的幂基表示 14
1.6.3 Hermite插值曲线的Bézīer表示 15
主要文献 16
参考文献 16
第2章 B样条曲线 18
2.1 B样条基函数的递推定义及其性质 18
2.2 B样条曲线的包络生成及几何定义 20
2.3 B样条曲线的基本几何性质及连续阶 21
2.4 B样条曲线求值和求导的de Boor算法 23
2.5 三次均匀B样条曲线的几何作图及设计技巧 24
2.6 带重节点的三次B样条曲线的基本性质 25
2.7 广义差商及B样条基函数的差商定义 27
2.8 嵌入一个节点改变B样条基函数和B样条曲线表示 28
2.9 连续嵌入同一个节点达K-1重时的B样条曲线 30
2.10 离散B样条及离散B样条曲线 31
2.11 平面B样条曲线的保凸性和变差缩减性(V.D.)性 32
主要文献 33
参考文献 33
第3章 有理Bézīer曲线 35
3.1 圆锥曲线的经典数学表示及其有理二次参数化 35
3.2 有理Bézīer曲线的定义及其基本几何性质 36
3.3 有理Bézīer曲线的离散构造及包络性 39
3.4 平面有理Bézīer曲线的隐式化 40
3.4.1 隐式方程的导出 40
3.4.2 平面n次代数曲线有理参数化的条件 41
3.5 有理二次Bézīer曲线的分类 42
主要文献 43
参考文献 43
第4章 有理B样条曲线 44
4.1 NURBS曲线的一般定义、递推求值及离散构造 44
4.2 平面NURBS曲线的保形性 46
4.3 NURBS曲线的包络生成及几何定义 47
4.3.1 包络的存在性 47
4.3.2 包络的唯一性 48
4.3.3 NURBS曲线的几何定义 50
4.4 NURBS曲线的显式矩阵表示 51
4.4.1 基于差商的系数矩阵显示表示 51
4.4.2 基于Marsden恒等式的系数矩阵显示表示 53
4.4.3 特殊NURBS曲线的系数矩阵显示表示 54
主要文献 55
参考文献 56
第5章 有理圆弧段与有理圆锥曲线段 57
5.1 圆弧曲线段的有理二次Bézīer表示 57
5.2 圆弧曲线段的有理三次Bézīer表示 58
5.2.1 充分条件和充要条件的导出 58
5.2.2 圆心角范围与顶点的几何作图 59
5.3 圆弧曲线段的有理四次Bézīer表示 60
5.3.1 充要条件的导出 60
5.3.2 圆心角范围 62
5.4 圆锥曲线段的有理三次Bézīer表示 63
5.4.1 有理三次Bézīer曲线的降价条件与有理保形参数变换下的不变量 63
5.4.2 有理三次圆锥曲线段向单位圆弧的转换 64
5.4.3 有理三次圆锥曲线段的充要条件 65
5.4.4 有理三次圆锥曲线段的分类条件 67
5.5 圆弧曲线段与整圆的有理B样条表示 68
主要文献 68
参考文献 69
第6章 几何样条插值、逼近及平面点列光顺 70
6.1 平面点列的双圆弧样条插值 71
6.1.1 最优切矢的确定 71
6.1.2 双圆弧插值的算法 72
6.2 平面点列光顺算法 72
6.2.1 多余拐点的去除 73
6.2.2 基于改进最小能量法的离散曲率光顺方法 74
6.3 平面曲线的圆弧样条逼近和空间曲线的圆柱螺线样条逼近 76
6.3.1 平面曲线的圆弧样条逼近 76
6.3.2 空间曲线的圆柱螺丝样条逼近 76
6.4 空间型值点位矢和单位切矢的双圆柱螺柱线插值 78
6.5 由散乱型值点构造插值曲面 78
主要文献 80
参考文献 80
第7章 矩形域和三角域上的参数函数曲面 82
7.1 插值算子布尔和与张量积 82
7.2 矩形域上的Bézīer曲面及其几何性质 84
7.3 三角域上的Bézīer曲面及其几何性质 86
7.3.1 三角域上的Bézīer参数曲面及其基本性质 86
7.3.2 三角域上Bézīer函数曲面的正性和凸性 90
7.4 矩形域上的的B样条曲面、有理Bézīer曲面与有理B样条曲面 94
7.5 旋转曲面的有理Bézīer表示 95
7.5.1 有理双二次Bézīer表示 95
7.5.2 有理双三次Bézīer表示 96
7.6 球面的有理参数表示 97
主要文献 97
参考文献 98
第8章 广义Ball曲线与广义Ball曲面 99
8.1 CONSURF系统中机身造型曲线的几何性质 100
8.2 两种广义Ball曲线 102
8.3 Wang-Ball基函数的性质 102
8.4 Said-Ball Wang-Ball曲线与Bézīer曲线的比较 103
8.4.1 递归求值 103
8.4.2 与Bézīer曲线的互化 105
8.4.3 升阶和降阶 107
8.5 利用广义Ball曲线曲面对Bézīer曲线曲面求值 109
8.6 三角Ball曲面 110
8.6.1 三角Wang-Ball基及三角Wang-Ball曲面 110
8.6.2 三角Wang-Ball曲面的升阶和递归求值 111
主要文献 112
参考文献 112
第9章 曲线曲面的插值与拟合 113
9.1 B样条曲线曲面的节点插值法 113
9.2 C2连续的三次B样条插值曲面 114
9.3 C1和C0连续的三次B样条插值曲线 116
9.3.1 选取二重节点和三重节点的准则 116
9.3.2 以重节点为界对插值曲线分段反求控制顶点的原理和算法 117
9.4 参数无重节点的双三次B样条插值曲面 118
9.5 参数有重节点的双三次B样条插值曲面 120
9.6 C2，C1和C0连续的三次Bézīer样条插值曲线 120
9.7 C2，C1和C0连续的双三次Bézīer样条插值曲面 122
9.8 构造插值样条曲面时型值点不一致分布的均匀性检查 124
9.9 带插值条件的B样条曲线光顺拟合 124
9.10 带插值条件的B样条曲面光顺拟合 125
9.11 带插值条件且与已知曲面作C1连续拼接的Bézīer曲面光顺拟合 126
主要文献 128
参考文献 128
第10章 曲线曲面的几何连续性 129
10.1 几何连续性概念的提出 129
10.2 曲线的几何连续性 131
10.2.1 曲线几何连续性的定义 131
10.2.2 曲线的有理连续性 134
10.2.3 有理连续性条件 136
10.3 几何光滑拼接曲线的构造 138
10.4 曲面的曲率连续 140
10.4.1 曲率连续的一般条件 140
10.4.2 矩形域上的有理Bézīer曲面的G2条件 142
10.4.3 曲率连续拼接的有理Bézīer曲面的构造 144
10.4.4 简单曲率连续拼接曲面的构造 147
10.5 曲面的任意阶几何连续 147
10.5.1 曲面Gn连续的定义 147
10.5.2 有于几何连续的一般条件 149
10.5.3 有理几何连续条件的求解 149
10.5.4 有理几何连续的简单形式 153
10.6 矩形域上有理Bézīer曲面的Gn拼接 154
10.6.1 有理Bézīer曲面几何连续拼接的判定 154
10.6.2 有理Bézīer曲面几何连续拼接的构造 155
10.7 三角域和矩形域上有理Bézīer曲面的拼接 156
主要文献 157
参考文献 157
第11章 参数曲线曲面的求交技术 159
11.1 B样条曲线转化为Bézīer曲线 160
11.2 B样条曲面转化为Bézīer曲线 161
11.3 Bézīer曲线曲面的高度分析 162
11.4 Bézīer曲线曲面离散层数的先验性公式 166
11.5 对Riesenfeld关于曲线离散终判准则的改进 167
11.5.1 三次Bézīer曲线的化直准则 168
11.5.2 n次有理Bézīer曲线的化直准则 168
11.5.3 一个极值问题 169
11.6 Bézīer曲线和B样条曲线的离散求交法 170
11.7 Bézīer曲面和B样条曲面的离散求交法 171
11.8 Bézīer曲面与平面的求交 172
11.9 有理Bézīer曲线曲面离散终判的先验性公式 172
11.10 离散差分跟踪求交法 175
11.10.1 多项式曲面的差分表示 175
11.10.2 Bézīer曲面的关分矩阵和差分表示 176
11.10.3 Bézīer曲面求交中跟踪子曲面片的选定 177
11.10.4 离散差分跟踪求交 178
11.11 曲面求交的活动仿射标架跟踪法 179
11.11.1 球变换 179
11.11.2 求交算法 180
11.12 Bézīer曲面的环检测 180
主要文献 181
参考文献 182
第12章 有理Bézīer曲线曲面的多项式逼近 183
12.1 有理Bézīer曲线的两类多项多逼近h(r,p)和H（r,p） 184
12.1.1 有理曲线Hermite逼近与Hybrid逼近的定义 184
12.1.2 用传统的逼近论方法求h(s,s)的收敛条件 185
12.1.3 h(r,p)逼近与H（r,p）逼近的关系 186
12.2 h(r,p)逼近与H（r,p）逼近的余项 188
12.3 h逼近曲线hr,p(t)与Hybrid曲线Hr,p(t) 189
12.4 h(s,s)逼近与H(s,s)逼近的收敛条件 192
12.5 低次h(s,s)逼近与H(s,s)逼近的收敛准则 193
12.5.1 一次有理曲线多项逼近收敛的充要条件 193
12.5.2 关于多项式根的几个引理 193
12.5.3 二次有理曲线多项式逼近的收敛准则 194
12.5.4 三次有理曲线多项式逼近的收敛准则 195
12.5.5 重新参数化技术对收敛条件的影响 195
12.6 h(s,o)逼近与H（s,o）逼近的收敛条件 196
12.7 （r/p）有定极限值的h(r,p)逼近与H（r,p）逼近的收敛条件 196
12.8 Hybrid曲线的移动控制顶点H（t）的界 196
12.8.1 对具有对称权因子的低次有理曲线求Hs,s(t)的界 197
12.8.2 利用矩阵方法对一般有理曲线求Hs,s(t)界 198
12.8.3 利用复平面上的围道积分求Hrp(t)-Hrp的界 200
12.9 一般情况下h(r,p)逼近与H（r,p）逼近收敛的充要条件 202
12.10 用新的观点研究有理Bézīer曲线的H（r,p）逼近 205
12.11 有理Bézīer曲面的Hybrid表示 208
12.12 有理Bézīer曲面的两类多项式逼近H（r,p,s,q）和h(h,p,s,q) 212
12.12.1 有理曲面Hybrid逼近与Hermite逼近的定义 212
12.12.2 H（r,p；s,q）逼近的余项 213
12.12.3 h(h,p；s,q)逼近与H（r,p；s,q）逼近的关系 213
12.13 Hybrid曲面Hr,p；s,q(u,v)的递推计算关系 216
12.13.1 一般情况 216
12.13.2 简化情况 219
12.14 有理Bézīer曲面H（r,p；s,q）逼近的收敛条件 221
12.14.1 H（r,p；s,q）逼近余项的界 221
12.14.2 H（s,s;s,s）逼近收敛的一个充分条件 222
12.14.3 H（r,p；s,q）逼近收敛的充要条件 222
主要文献 223
参考文献 223
第13章 有理Bézīer曲线曲面的求导和求积 224
13.1有理Bézīer倍式化速端曲线 224
13.1.1 Dir函数的定义和性质 224
13.1.2 倍式化速端曲线的导出 225
13.1.3 曲线导矢方向的界 226
13.1.4 曲线导矢大小的界 226
13.2有理Bézīer倍式化速端曲面 227
13.2.1 倍式化速端曲面的导出 227
13.2.2 曲面导矢方向的界 228
13.2.3 曲面导矢大小的界 229
13.3 动曲线轨迹的速端曲线 230
13.3.1 速端曲面的直接导出 230
13.3.2 曲面导矢界的估计 231
13.4 有理Bézīer曲面的法矢 232
13.4.1 Nrm函数的定义和性质 232
13.4.2 曲面法矢的计算 232
13.4.3 曲面法矢方向的界 233
13.5有理Bézīer曲线的高阶导矢 234
13.5.1 高阶导矢的递推算法 234
13.5.2 导矢En-1表示的应用I：有理Bézīer曲线的弧长估计 236
13.5.3导矢En-1表示的应用II：有理Bézīer曲线端点处的三阶导矢的计算 236
13.5.4导矢En-1表示的应用II：有理Bézīer曲线的导矢界的估计 237
13.6 二次有理Bézīer曲线的精确求积 238
13.6.1 求积问题的提法与积分模型的简化 238
13.6.2 精确求积公式的导出 239
13.7 平面有理Bézīer曲线求积的多项式逼近 241
13.7.1 平面Bézīer曲线求积 241
13.7.2 平面有理Bézīer曲线求积的多项式逼近的误差界及其算法 242
13.8 平面有理Bézīer曲线求积的降价逼近 244
13.8.1 降价求积的误差估计 244
13.8.2 降阶求积的算法 247
13.9 二次和三次NURBS曲线求积 247
主要文献 247
参考文献 247
第14章 Bézīer曲线曲面的降价逼近 249
14.1 Bézīer曲线、Bézīer矩形片与Bézīer三角片的退化条件 250
14.2 Bézīer曲线降阶的B网扰动和约束优化法 251
14.2.1 降阶的显式算法和误差估计 251
14.2.2 离散/降阶算法 253
14.2.3 隆阶中的G1连续条件 253
14.3 Bézīer矩形片与Bézīer三角片降阶的B网扰动和约束优化法 254
14.3.1 Bézīer矩形片的降阶 254
14.3.2 Bézīer三角片的降阶 255
14.4 基于广义逆矩阵的Bézīer曲线一次性降多阶逼近 257
14.4.1 端点不保插值的降多阶逼近 257
14.4.2 保端点插值的降多阶逼近 258
14.4.3 误差分析及实例 258
14.5 保端点高阶插值的Bézīer曲线一次性降多阶逼近 259
主要文献 263
参考文献 263
第15章 曲线曲面形式之间的互化 264
15.1 二次NURBS曲线与二次有理Bézīer曲线之间的互化 265
15.2 双二次NURBS曲线与双二次有理Bézīer曲线之间的互化 266
15.3 三次NURBS曲线与三次有理Bézīer曲线之间的互化 267
15.4 Bézīer三角片到退化矩形片的转化 270
15.5 Bézīer三角片到三张非退化矩形片的转化 272
15.6 Bézīer矩形片用线性函数实现广义离散及其到三角片的转化 274
15.6.1 矩形参数域被分割为两块梯形域的广义离散算法 274
15.6.2 矩形参数域被分割为三边区域和五边区域的广义离散算法 275
15.6.3 Bézīer矩形片到两张三角片的转化 276
15.7 Bézīer矩形片用高次代数曲线实现广义离散并用于曲面拼接 277
15.7.1 矩形参数域被分割为两块曲边梯形域的广义离散算法 277
15.7.2 矩形参数域被分割为三边和五边曲边区域的广义离散算法 278
15.7.3 广义离散在几何连续接接和trimmed曲面参数表示中的应用 279
15.8 基于de Casteljau算法的有理二次Bézīer曲线隐式化 279
15.9 基于de Casteljau算法的平面有理n次Bézīer曲线隐式化 281
主要文献 285
参考文献 285
第16章 等距曲线与等距曲面 287
16.1 平面等距曲线 289
16.2 Pythagorean-hodograph(PH)曲线 291
16.2.1 定义和表示 291
16.2.2 三次PH曲线的构造、特征和性质 292
16.2.3 四次和五次PH曲线的构造 293
16.2.4 PH曲线的等距曲线和弧长 295
16.3 具有有理等距曲线的参数曲线（OR曲线） 295
16.3.1 参数曲线的复形式表示 295
16.3.2 参数曲线具有有理等距曲线的充要条件 297
16.3.3 具有有理等距曲线的低次Bézīer曲线 299
16.4 PH曲线和OR曲线的插值构造算法 300
16.4.1 平面五次PH曲线G2Hermite插值 300
16.4.2平面三次PH曲线偶的G1Hermite插值 300
16.4.3平面八次抛物-PH曲线的G2Hermite插值 301
16.5 基于法矢曲线逼近的等距曲线最佳逼近 302
16.5.1 法矢曲线最佳多项式逼近的导出 302
16.5.2 具有端点约束的法矢曲线最佳逼近 303
16.5.3 Legendre级数与Jacobi级数的系数计算 304
16.5.4 NURBS曲线的等距曲线逼近 305
16.6 基于刘徽割圆术的等距曲线逼近算法 306
16.7 具有有理中心线的管道曲面 309
16.8 二次曲面的等距曲面 310
16.8.1 椭圆抛物面和双曲抛物面的等距曲面 311
16.8.2 椭球面的等距曲面 311
16.8.3 单叶双曲面的等距曲面 312
16.8.4 双叶双曲面的等距曲面 313
16.9 有理直纹面的等距曲面 313
16.10 基于球面三角网格逼近的等距曲面逼近算法 315
主要文献 315
参考文献 316
第17章 区间曲线与区间曲面 319
17.1 区间Bézīer曲线的边界 320
17.1.1 区间算术和区间点算术 320
17.1.2 区间Bézīer曲线及其中心表达形式 320
17.1.3 平面区间Bézīer曲线的边界 321
17.1.4 空间区间Bézīer曲线的边界 326
17.2 区间Bézīer曲线与Offset曲线之间的关系 330
17.3 区间Bézīer曲面及其中心表达形式和边界结构 331
17.4区间Bézīer曲面与Offset曲面之间的关系 333
17.5区间Bézīer曲面逼近 334
17.5.1区间Bézīer曲面对可微参数曲面作Taylor逼近 334
17.5.2区间Bézīer曲面对有理曲面作多项式逼近 335
主要文献 336
参考文献 336
第18章 基于切割磨光的曲线曲面离散造型 338
18.1 切割磨光空间多边形的迭代算法 339
18.2 切割磨光曲线的性质 341
18.2.1 逼近性 341
18.2.2 连续性 342
18.2.3 光滑性 344
18.2.4 几何性质 346
18.3 切割磨光曲面造型的原理和算法 347
18.4 切割磨光曲面造型的技巧和性质 351
18.4.1 切割磨光的技巧 351
18.4.2 切割磨光曲面的收敛性 352
18.4.3 切割磨光曲面的光滑性 355
18.5 任意拓扑网格的切割磨光法 358
18.5.1 原理和方法 358
18.5.2 切割磨光曲面的光滑性 359
18.6 Catmull-Clark曲面和Doo-Sabin曲面 362
18.6.1 Catmull-Clark曲面的生成 362
18.6.2 Catmull-Clark曲面的连续性分析 364
18.6.3 Doo-Sabin曲面的生成 366
18.7 非均匀Doo-Sabin曲面和非均匀Catmull-Clark曲面 367
18.7.1 非均匀Doo-Sabin曲面和非均匀Catmull-Clark曲面的生成 367
18.7.2 非均匀Doo-Sabin曲面的特征根分析 371
18.8 蜂窝细分 375
主要文献 376
参考文献 377
第19章 曲面的形状调配和变形 379
19.1 简单曲面变形的顶点对应算法 380
19.2 平面多边形的内在量及其调配算法 380
19.3 空间多边形的内在量及其调配算法MSI 381
19.3.1 内在变量集的定义及其与空间多边形的关系 381
19.3.2 空间多边形调配的内在解 382
19.4 空间四边形网格的形状调配算法 384
19.5 空间三角网格的形状调配算法 385
19.5.1 空间n次Bézīer三角网格的情形 385
19.5.2 一般空间三角网格的情形 386
19.6 自由曲线曲面的调配算法 387
19.7 Bézīer曲线形状调配中的平衡化几何连续条件 388
19.7.1 保持G1的曲线调配 389
19.7.2保持G2的曲线调配 389
主要文献 390
参考文献 390
第20章 曲面重建与简化 392
20.1 曲面重建与简化的基本概念 392
20.2 基于曲面网格的曲面重建技术 394
20.3 基于球面多边形逼近的曲面简化技术 395
20.4 医学序列图象三维重建的基本方法 396
20.5 人体下颌下腺淋巴管的三维重建 398
20.6 人喉的计算机三维重建及动态图形模拟 398
20.7 人体子宫螺旋血管的三维重建 398
主要文献 398
参考文献 399