第四章 度量空间 1
1 度量空间的基本概念 2
1．引言 2
2．距离的定义 4
3．极限的概念 6
4．常见度量空间 7
习题 13
2 线性空间上的范数 15
1．线性空间 15
2．例 19
3．赋范线性空间 20
4．凸集 24
5．商空间 26
习题 27
3 空间 Lp 29
1．Lp 上的范数 29
2．平均收敛与依测度收敛的关系 34
3．空间 L∞（E，μ） 35
4．数列空间 Lp 38
习题 39
4 度量空间中的点集 40
1．内点，开集 40
2．极限点、闭集 43
3．子空间的开集和闭集 48
4．联络点集、区域 49
5．点集间的距离 51
6．n 维欧几里得空间中的 Borel 集 51
7．赋范线性空间中的商空间 52
习题 54
5 连续映照 56
1．连续映照和开映照 56
2．闭映照 59
3．连续曲线 62
习题 63
6 稠密性 64
1．稠密性的概念 64
2．可析点集 66
3．疏朗集 68
习题 69
7 完备性 70
1．完备性的概念 70
2．某些完备空间 73
3．完备空间的重要性质 77
4．度量空间的完备化 80
习题 84
8 不动点定理 85
1．压缩映照原理 85
2．应用 92
3．习题 95
9 致密集 97
1．致密集的概念 97
2．致密集和完全有界集 100
3．某些具体空间中致密点集的特征 104
4．紧集 108
5．紧集上的连续映照 110
6．有限维赋范线性空间 111
7．凸紧集上的不动点定理 117
习题 119
10 拓扑空间和拓扑线性空间 121
1．拓扑空间 121
2．拓扑线性空间 129
第五章 有界线性算子 132
1 有界线性算子 132
1．线性算子与线性泛函概念 132
2．线性算子的有界性与连续性 136
3．有界线性算子全体所成的空间 141
习题 147
2 连续线性泛函的表示及延拓 150
1．连续线性泛函的表示 150
2．连续线性泛函的延拓 158
3．泛函延拓定理的应用 166
4．测度问题 174
习题 177
3 共轭空间与共轭算子 180
1．二次共轭空间 180
2．算子序列的收敛性 182
3．弱致密性（弱列紧性） 187
4．共轭算子 189
习题 191
4 逆算子定理和共鸣定理 193
1．逆算子定理 193
2．共鸣定理 201
3．共鸣定理的应用 204
习题 210
5 线性算子的正则集与谱，不变子空间 214
1．特征值与特征向量 214
2．算子的正则点与谱点 218
3．不变子空间 233
习题 239
6 关于全连续算子的谱分析 241
1．全连续算子的定义和基本性质 241
2．全连续算子的谱 247
3．全连续算子的不变闭子空间 255
习题 261
第六章 Hilbert 空间的几何学与算子 263
1 基本概念 263
1．内积与内积空间 264
2．Hilbert 空间 266
习题 270
2 投影定理 272
1．直交和投影 272
2．投影定理 274
习题 279
3 内积空间中的直交系 281
1．就范直交系 281
2．直交系的完备性 286
3．直交系的完全性 291
4．线性无关向量系的直交化 293
5．可析 Hilbert 空间的模型 295
习题 297
4 共轭空间和共轭算子 300
1．连续线性泛函的表示 300
2．共轭空间 301
3．共轭算子 302
4．有界自共轭算子 308
习题 309
5 投影算子 312
1．投影算子的定义和基本性质 312
2．投影算子的运算 316
3．投影算子与不变子空间 323
习题 326
6 双线性 Hermite 泛函与自共轭算子 328
1．双线性 Hermite 泛函 328
2．有界二次泛函 333
习题 335
7 谱系、谱测度和谱积分 336
1．几个例 336
2．谱测度 339
3．谱系 347
4．谱系和谱测度的关系 351
习题 355
8 酉算子的谱分解 357
1．酉算子的定义 357
2．酉算子的谱分解 359
3．相应于酉算子的谱测度 369
4．L2-Fourier 变换 371
5．平稳随机序列 374
6．平移算子 376
习题 382
9 自共轭算子的谱分解 384
1．引言 384
2．共轭算子 386
3．对称算子与自共轭算子 390
4．Cayley 变换 394
5．无界函数谱积分 402
6．自共轭算子的谱分解定理 406
7．函数模型 412
8．全连续自共轭算子 417
习题 418
10 正常算子的谱分解 421
1．正常算子 421
2．乘积谱测度 423
3．正常算子的谱分解 428
4．算子代数 430
习题 432
11 算子的扩张与膨胀 432
1．闭扩张 433
2．半有界算子的自共轭扩张 438
3．广义谱系的扩张谱系 446
4．压缩算子的酉膨胀 461
习题 462
第七章 广义函数 466
1 基本函数与广义函数 466
1．引言 466
2．基本函数空间 468
3．局部可积函数空间 471
4．广义函数空间 474
习题 477
2 广义函数的性质与运算 478
1．广义函数的导函数和广义函数列的极限 478
2．广义函数的原函数 484
3．广义函数的乘法运算 485
4．广义函数的支集 486
5．有限级广义函数的构造 487
6．自共轭算子的广义特征展开 491
习题 493
3 广义函数的 Fourier 变换 494
1．基本函数的 Fourier 变换 494
2．Z 空间上的连续线性泛函 498
3．广义函数的 Fourier 变换的概念 501
4．广义函数的卷积 504
5．常系数线性偏微分方程的基本解 507
6．基本函数空间 S 515
7．广义函数空间 S＇ 519
习题 522
参考文献 523
索引 526