第一部分 基础篇 3
第1章 预备知识 3
1.1 内积空间 3
1.2 矩阵的对角化 8
1.3 矩阵的等价分解 11
1.4 矩阵的Fitting分解 12
1.5 复矩阵的Jordan分解 13
1.6 复（实）矩阵的奇异值分解 15
1.7 实对称矩阵的惯性指数分解 15
习题 16
第2章 范数 18
2.1 范数的定义和例子 18
2.2 范数的等价性 23
2.3 矩阵范数 25
2.3.1 矩阵范数的相容性 26
2.3.2 从属范数 27
2.4 谱半径和条件数 30
习题 32
第3章 矩阵序列的极限与矩阵级数 34
3.1 矩阵序列的极限 34
3.2 矩阵级数 36
3.3 矩阵幂级数 37
习题 41
第4章 函数矩阵的微积分 43
4.1 函数矩阵对单变量的导数 43
4.2 纯量函数对矩阵变量的导数 46
4.3 函数矩阵对矩阵变量的导数 50
4.4 函数矩阵的微积分 51
习题 53
第5章 矩阵的列空间与核空间 55
5.1 矩阵的列空间与核空间的定义 55
5.2 列空间与核空间的性质和应用 56
5.3 列空间与核空间的和是直和的条件 59
习题 61
第6章 矩阵广义逆 62
6.1 矩阵｛i，j，…，k｝逆 62
6.1.1 矩阵｛i，j，…，k｝逆的定义及其存在唯一性 62
6.1.2 矩阵｛l｝逆和Moore-Penrose逆的性质 66
6.1.3 矩阵｛l｝逆的表示 67
6.1.4 矩阵｛l｝逆与矩阵方程的解 69
6.1.5 矩阵｛l，4｝逆与线性方程组的最小范数解 71
6.1.6 矩阵｛l，3｝逆与线性方程组的最小二乘解 72
6.1.7 矩阵M-P逆与线性方程组的最小范数最小二乘解 73
6.1.8 Schur补与分块矩阵的｛l｝逆 74
6.2 矩阵Drazin逆 76
6.2.1 矩阵Drazin逆的定义及其存在唯一性 76
6.2.2 矩阵Drazin逆的性质 77
6.3 矩阵群逆 80
习题 81
第7章 矩阵的Kronecker积和Hadamard积 84
7.1 矩阵的Kronecker积的定义和性质 84
7.2 矩阵的Kronecker积与线性矩阵方程的解 90
7.3 矩阵的Hadamard积 91
习题 93
第8章 幂等矩阵与投影算子 95
8.1 幂等矩阵 95
8.2 投影算子与投影矩阵 99
8.3 正交投影矩阵 102
习题 103
第9章 矩阵的特征值和奇异值不等式 104
9.1 Courant-Fischer定理 104
9.2 Courant-Fischer定理的应用 105
9.2.1 Sturm分离原理 105
9.2.2 Weyl型不等式 106
9.3 Kantorarich不等式 109
习题 111
第二部分 提高篇 115
第10章 非负矩阵 115
10.1 非负矩阵的定义及其性质 115
10.2 Perron定理 117
10.3 Perron-Frobenius定理 121
10.4 M矩阵 125
习题 129
第11章 线性矩阵不等式 131
11.1 Schur补引理及其应用 132
11.2 Dualization引理 134
11.3 Projection引理及其应用 136
11.4 含线性参数的线性矩阵不等式 142
11.5 鲁棒控制中的几个基础不等式 145
11.6 含范数有界不确定性的线性矩阵不等式 149
11.7 含线性分式不确定性的线性矩阵不等式 151
11.8 积分不等式 152
11.8.1 Jensen不等式及其推广 153
11.8.2 两个不等式的比较 160
习题 161
第12章 矩阵对的分解和标准型 163
12.1 （非）正则矩阵对的等价标准型 163
12.2 矩阵对的能控能观结构分解 170
12.3 能控矩阵对的规范形 175
12.4 满足秩条件的矩阵对的标准型 179
习题 186
第13章 矩阵对的广义特征值与特征向量链 188
13.1 矩阵对的广义特征值与广义特征向量链的定义 188
13.2 矩阵对的广义特征值与广义特征向量链的性质 189
第14章 矩阵测度 192
习题 197
第15章 Courant-Fischer定理的推广 198
15.1 一般情形 198
15.2 两个矩阵乘积的奇异值和特征值不等式 208
15.3 两个矩阵和的奇异值和特征值不等式 211
习题 213
第16章 代数Riccati矩阵方程 215
16.1 Lyapunov矩阵方程 215
16.1.1 矩阵对的能稳性和能检测性 215
16.1.2 连续Lyapunov矩阵方程 216
16.1.3 内矩阵 217
16.2 Hamilton矩阵 219
16.3 代数Riccati矩阵方程的实对称稳定解 221
16.4 H2范数与H2代数Riccati矩阵方程 226
16.4.1 H2范数的定义 226
16.4.2 H2范数的计算 228
16.4.3 H2代数Riccati矩阵方程的实对称半正定稳定解 230
16.5 H∞范数与H∞代数Riccati矩阵方程 231
16.5.1 H∞范数的定义 231
16.5.2 H∞范数与H∞代数Riccati矩阵方程 233
16.5.3 H∞范数的计算 238
习题 240
第17章 有理实函数矩阵的既约分解 242
附录A 非奇异M矩阵的等价性证明 250
A.1 预备知识 250
A.2 非奇异M矩阵的等价性证明 254
附录B 定理11.5.1的证明 265
参考文献 267