前言页 1
第一章 Cauchy型积分 1
1.1 光滑曲线 1
1.1.1 光滑曲线的概念 1
1.1.2 光滑曲线的某些性质 3
1.2 H类函数及其基本性质 7
1.2.1 H？lder条件与H类函数 7
1.2.2 H类函数的基本性质 9
1.2.3 Lyapunov(Ляпyнов)曲线 12
1.3 分片解析函数 16
1.3.1 分片连续函数 16
1.3.2 分片解析函数 18
1.4 Cauchy型积分及其主值 19
1.4.1 Cauchy型积分的定义 19
1.4.2 Cauchy型积分的主值 22
1.5.1 Cauchy型积分的边界值 28
1.5 Coxoцkий-Plemelj公式 28
1.5.2 Coxoцkий-Plemelj公式 32
1.5.3 曲线上角点处的Plemelj公式 34
1.6 Cauchy型积分及其边界值的H？lder连续性 36
1.6.1 Cauchy型积分边界值的H?lder连续性 36
1.6.2 Cauchy型积分的H？lder连续性 39
1.6.3 Cauchy型积分边界值的微商 46
1.7 无穷直线上的Cauchy型积分 48
1.7.1 实轴上的Cauchy型积分 49
1.7.2 实轴上的Coxoцkий-Plemelj公式 53
1.7.3 实轴上的Cauchy型积分在无穷远点的性质 54
1.7.4 实轴上的Cauchy型积分的微商 55
1.8 复合曲线上的Cauchy型积分 57
1.8.1 复合曲线上的Plemelj公式 57
1.8.2 解析函数边界值的条件 59
1.8.3 亚纯函数边界值的条件 62
1.9.1 密度中含有参数的Cauchy主值积分的H？lder连续性 64
1.9 Poincaré--Bertrand积分换序公式 64
1.9.2 累次积分中一个积分为奇异的情况 67
1.9.3 Poincaré--Bertrand积分换序公式 69
1.9.4 闭曲线上Cauchy主值积分的反演公式 72
1.10 解析函数的实部和虚部之边界值的Hilbert公式 73
1.10.1 单位圆上的Schwarz核与Cauchy核的关系 73
1.10.2 Hilbert公式 74
1.11 Cauchy型积分与位势 76
习题一 78
第二章 基本边值问题 84
2.1 引言 84
2.1.1 指标的概念 84
2.1.2 辅助定理 86
2.1.3 Riemann边值问题的提法 87
2.1.4 跳跃问题及其解法 88
2.2.1 齐次R问题及其指标 89
2.2 齐次Riemann边值问题 89
2.2.3 单连域上齐次R问题的解 90
2.2.3 典则函数 94
2.2.4 多连域上齐次R问题的解 95
2.3 非齐次Riemann边值问题 100
2.3.1 非齐次R问题的解 100
2.3.2 相联R问题 102
2.3.4 具有有理系数的R问题 103
2.4 无穷直线上的Riemann边值问题 109
2.5 非正则型的Riemann边值问题 117
2.5.1 齐次R问题的解 117
2.5.2 非齐次R问题的解 118
2.6 单连域上的Hilbert边值问题 122
2.6.1 Hilbert边值问题的提法 122
2.6.2 单位圆内的函数在圆外的对称扩张 123
2.6.3 单位圆内的H问题 125
2.6.4 单连域上的H问题 138
2.6.5 半平面中的H问题 139
2.6.6 正则化因子·外区域上的H问题 145
习题二 153
第三章 具有Cauchy核与Hilbert核的奇异积分方程 158
3.1 Cauchy核的奇异积分方程与奇异算子 158
3.1.1 基本概念与记号 158
3.1.2 奇异积分算子的基本性质 161
3.2 特征方程及其相联方程的解 166
3.2.1 特征方程的解 166
3.2.2 特征方程的相联方程的解 171
3.2.3 特征方程的N？ether定理 173
3.2.4 特征方程在角点处的解 176
3.3 奇异积分方程的正则化及一般N?ether定理 178
3.3.1 奇异积分方程的正则化 178
3.3.2 Fredholm方程解的H？lder连续性 179
3.3.3 И.H.Bekya等价性定理 181
3.3.4 一般N？ether定理 183
3.3.5 奇异积分方程与Fredholm方程的对比 186
3.3.6 Carleman-Bekya正则化方法 188
3.4 共轭算子与共轭方程的等价正则化 190
3.4.1 共轭算子与共轭方程 190
3.4.2 非齐次奇异积分方程可解性条件的另一种形式 192
3.4.3 方程的等价正则化定理 193
3.4.4 例子 195
3.5 非正则型的奇异积分方程 200
3.5.1 特征方程的解 201
3.5.2 完全方程的正则化 204
3.6 具有Hilbert核的奇异积分方程 206
3.6.1 特征方程与Hilbert边值问题的联系 206
3.6.2 齐次特征方程的解 207
3.6.3 非齐次特征方程的解 210
3.6.4 常系数的特征方程 214
3.6.5 完全方程及其正则化 216
3.6.6 具有Hilbert核的方程的基本性质 218
习题三 219
第四章 边值问题的某些推广 224
4.1 单连域上的RH问题 224
4.1.1 RH问题的提法与转化 224
4.1.2 RH问题的解 227
4.2 带位移的Riemann边值问题 231
4.2.1 带位移的Riemann边值问题的解 231
4.2.2 保角粘合定理及SR问题向R问题的转化 241
4.3 有界单连域内的Carleman边值问题 248
4.3.1 问题的提法及可解条件 249
4.3.2 积分表示式·具有给定跳跃的C问题 251
4.3.3 保角粘合定理 257
4.3.4 闭曲线上的C问题化为开口弧段上的R问题 263
4.3.5 例子 267
4.4.1 核密度属于H类函数的情形 270
4.4 在积分曲线端点和在核密度的间断点上Cauchy型积分的性质 270
4.4.2 核密度具有第一类间断点的情形 273
4.4.3 H*类函数 274
4.4.4 核密度属于H*时Cauchy型积分的性质 278
4.4.5 核密度属于H*时Cauchy主值积分的性质 284
4.4.6 积分路线上具有结点的情形 286
4.5 开口弧段上的Riemann边值问题 287
4.5.1 问题的提法 287
4.5.2 齐次R问题的解 289
4.5.3 非齐次R问题的解 293
4.5.4 若干开口弧段上的R问题 295
4.6 具有间断系数的Riemann边值问题 296
4.6.1 带结点曲线上的R问题 296
4.6.2 带结点曲线的相联齐次R问题 300
4.6.3 具有间断系数的R问题 302
4.7 多连域上解析函数Haseman边值问题解的估计 306
习题四 316
第五章 解析向量边值问题与奇异积分方程组 322
5.1 基本概念·Plemelj公式 322
5.1.1 基本概念·术语和记号 322
5.1.2 Plemelj公式 323
5.2 解析向量的Riemann边值问题 325
5.2.1 解析向量的Riemann边值问题的提法 325
5.2.2 解析向量的跳跃R问题和齐次R问题 326
5.2.3 解析向量的齐次R问题的典则解组 328
5.2.4 解析向量的齐次R问题的指标与通解 333
5.2.5 解析向量的相联齐次R问题 335
5.2.6 解析向量的非齐次R问题 338
5.2.7 具有有理系数矩阵的R问题 340
5.3 解析向量的Hilbert边值问题 343
5.3.1 解析向量的Hilbert边值问题的提法 343
5.3.2 典则矩阵的一般表示 343
5.3.3 解析向量的齐次H问题 345
5.3.4 解析向量的非齐次H问题 350
5.4 解析向量的复合边值问题 351
5.5 奇异积分方程组 353
5.5.1 特征奇异积分方程组 353
5.5.2 特征方程组的相联方程组 356
5.5.3 完全奇异积分方程组及其正则化 358
5.5.4 奇异积分方程组的N？ether定理 361
5.5.5 奇异积分组的反演公式 363
习题五 365
第六章 一阶椭圆组与二维奇异积分算子 367
6.2 方程组的复形式 367
6.2 C-z类函数 368
6.2.1 Pompeiu意义下复函数的微商定义 368
6.2.2 C？类函数的一般积分表示式 371
6.2.3 Ocтрогpaдckий公式 375
6.2.4 C？类函数的连续性特征 376
6.3.1 复方程W？=AW的解 377
6.2.5 C？类函数的微商法则 377
6.3 方程组(6.1.1)的标准形式 377
6.3.2 方程组的标准形式 379
6.4 正则解的一种表示式及其某些性质 380
6.4.1 正则解的一种表示式 380
6.4.2 正则解的某些性质 381
6.5 正则解的积分表示式 383
6.6 Coболeв意义下的广义微商 386
6.6.1 基本函数类 387
6.6.2 Coболeв广义微商与Poupeiu微商的关系 390
6.6.3 积分Tf和Пf的基本性质 392
6.6.4 广义解析函数 395
6.7 Hilbert边值问题 396
6.7.1 Hilbert边值问题的提法 396
6.7.2 化H问题为积分方程 397
6.8.1 辅助关系式 401
6.8 Riemann边值问题 401
6.8.2 问题的提法·跳跃问题的解 403
6.8.3 齐次R问题的解 404
6.8.4 非齐次R问题的解 406
6.9 区域内的Bergman函数 409
6.9.1 区域内的Green函数与Schwarz算子 409
6.9.2 区域内的Neumann函数 412
6.9.3 Bergman空间·Bergman核函数 414
6.10 二维奇异积分算子的N？ether性及其应用 418
6.10.1 引言 418
6.10.2 某些二维奇异积分算子的N？ether性 420
6.10.3 平面上一般二阶椭圆型方程组的边值问题 427
6.11 二维高阶奇异积分及其应用 432
6.11.1 单奇点的二维高阶奇异积分 432
6.11.2 多奇点的二维高阶奇异积分 436
6.11.3 奇点位于边界时的二维高阶奇异积分 443
6.11.4 单位圆上的积分算子？n 448
6.11.5 单位圆上非负指标的Hilbert边值问题 450
第七章 斜微商边值问题 452
7.1 解析函数的高阶斜微商Hilbert型边值问题 452
7.1.1 边界条件具有等价性的不同形式的问题提法 452
7.1.2 解析函数的积分表示式 455
7.1.3 DmH型问题化为Fredholm积分方程 465
7.1.4 DmH型问题的可解性 468
7.1.5 DmH型问题的另一种解法 470
7.2 解析函数的高阶斜微商Riemann型边值问题 476
7.2.1 边值问题的提法 476
7.2.2 分片解析函数的积分表示式 477
7.2.3 Dn,pR型问题的解 480
7.2.4 Dn,pR型问题的新解法 483
7.2.5 奇异积分--微分方程 485
7.3.1 边值问题的提法 487
7.3 解析函数的斜微商Carleman边值问题 487
7.3.2 有界单连域内解析函数的积分表示式 488
7.3.3 DC问题化为奇异积分方程 491
7.3.4 DC问题的伴随问题 493
7.3.5 齐次问题解的个数与非齐次问题可解条件的个数之间的关系 494
7.4 解析函数的高阶斜微商Carleman型边值问题 501
7.4.1 边值问题的提法 501
7.4.2 HN解析函数的积分表示式 502
7.4.3 D1C型问题 505
7.4.4 DNC型问题(N>1) 513
7.5 广义解析函数的斜微商Hilbert边值问题 517
7.5.1 边值问题的提法 517
7.5.2 等价性定理 519
7.5.3 广义DH问题化为广义解析向量的H问题 520
7.5.4 广义DH问题的N？ether定理 523
7.5.5 含有实参数λ的广义DH问题(简介) 528
7.6.1 边值问题的一般提法 533
7.6 一阶拟线性椭圆组的斜微商Hilbert边值问题 533
7.6.2 等价性定理 534
7.6.3 线性的斜微商边界条件下边值问题的矩阵形式 535
7.6.4 非负指标下边值问题的可解性 536
7.6.5 负指标下边值问题的可解性 538
7.7 研究概述 539
7.7.1 广义解析函数的广义DnH(n>1)问题 540
7.7.2 广义解析函数的广义DmR(m>1)型问题 543
7.7.3 广义解析函数的带位移的广义DR型问题 548
7.7.4 广义解析函数的广义DC型问题 553
7.7.5 广义解析函数的斜微商复合边值问题 558
7.7.6 一阶线性椭圆组的广义DC型问题 563
7.7.7 广义解析函数的广义DR型问题的封闭解 568
第八章 三阶椭圆型方程组的广义解与边值问题 572
8.1 三阶椭圆型偏微分方程组的定义与分类 572
8.2.1 三阶线性椭圆型偏微分方程组的复形式 574
8.2 三阶椭圆型偏微分方程组的复形式 574
8.2.2 三阶非线性椭圆型偏微分方程组的复形式 578
8.3 加于三阶椭圆型复方程的条件 579
8.4 三阶椭圆型复方程解的表示式与存在定理 581
8.4.1 一个特殊三阶椭圆型复方程解的表示式 581
8.4.2 三阶椭圆型复方程解的表示式与存在定理 584
8.5 三阶非线性椭圆型复方程的斜微商Hilbert边值问题 589
8.5.1 三阶非线性椭圆型复方程H问题的提法 589
8.5.2 三阶非线性椭圆型复方程H问题解的表示式与解的估计式 591
8.5.3 三阶非线性椭圆型复方程H问题的可解性 594
8.6 三阶线性椭圆型复方程的斜微商Hilbert边值问题的可解性 595
8.7 一般三阶非线性椭圆型复方程的斜微商边值问题 598
8.7.1 三阶非线性椭圆型复方程的斜微商问题的提法 598
8.7.2 复方程(8.7.1)的斜微商问题的可解性 601
8.7.3 一般复方程(8.7.9)的斜微商问题的可解性 604
附录一 不动点原理 606
附录二 广义解析向量理论 610
参考文献 624