前言 1
第一章 数学与人类文明 1
1.1.1 数学的内容 1
1.1.2 数学的特点 2
1.1.3 数学对人类文明的贡献 3
1.1.4 数学发展简史 4
1.1.5 现代数学发展的新趋向 12
1.1.6 计算机的影响 13
1.1.7 关于中等教育 13
第二章 数系 15
2.1 无理数的诞生 16
2.1.1 自然数 16
2.1.2 代数结构的出现 20
2.1.3 逆运算的作用 21
2.1.4 有理数的稠密性 22
2.1.5 有理数域 23
2.1.6 第一次数学危机 25
2.1.7 历史意义 27
2.1.8 第一次数学危机的消除 28
2.1.9 层次 28
2.1.10 反证法 29
习题 30
2.2 无限的比较 31
2.2.1 一段富有启发性的历史对话 31
2.2.2 对谈话的分析和解答 33
2.2.3 有理数集是可数的 36
2.2.4 实数集是不可数的 39
2.2.5 代数数 40
2.2.6 无限的算术 43
2.2.7 结语 44
习题 45
2.3 复数 46
2.3.1 复数的引进 46
2.3.2 复数的几何表示 46
2.3.3 复数的三角表示和指数表示 48
2.3.4 复数域 48
2.3.5 乘方与开方 50
2.3.6 单位根 52
2.3.7 复数的确认 56
习题 57
3.1 从祖冲之的圆周率谈起 58
3.1.1 辗转相除法 58
第三章 连分数及其在天文学上的应用 58
3.1.2 祖冲之的约率22/7和密率355/113 60
3.1.3 连分数 60
3.1.4 约率和密率的内在意义 67
习题 69
3.2 连分数在天文学上的应用 69
3.2.1 为什么四年一闰，而百年又少一闰 69
3.2.2 公历的改革 71
3.2.3 农历的月大月小、闰年闰月 74
3.2.4 二十四节气 75
3.2.5 闰月放在哪儿 76
3.2.6 日月食 77
3.2.7 日月合璧，五星联珠，七曜同宫 79
3.2.8 干支记年 80
3.3 连分数的性质 83
3.3.1 渐近分数的性质 83
3.3.2 渐近分数的表达式 84
3.3.3 渐近分数的极限 87
3.3.4 连分数的几何解释 89
3.3.5 最佳逼近 90
3.3.7 斐波那契级数 94
3.3.6 方程x2=ax+1的解 94
第四章 素数定理与哥德巴赫猜想 98
4.1 初等数论初步 98
4.1.1 数论是什么 98
4.1.2 数论的一个特点：表面简单，实际难 99
4.1.3 素数与合数 99
4.1.4 素数表 100
4.1.5 算术基本定理 102
4.1.6 另一种“算术” 104
4.1.7 最大公因数 105
4.1.8 函数［x］，{x} 105
4.1.9 费马素数 108
4.1.10 完全数与梅森数 110
4.1.11 高斯的功绩 116
习题 117
4.2 素数定理与哥德巴赫猜想 118
4.2.1 素数定理 118
4.2.2 哥德巴赫猜想 121
4.2.3 有关素数的12个问题 125
第五章 从勾股定理到费马大定理 126
引言 126
5.1 一次不定方程 128
5.1.1 通解公式 128
5.1.2 整数的模 130
5.1.3 可解的充要条件 132
5.1.4 如何求二元一次方程的解 133
5.1.5 二元一次方程的非负解 135
5.1.6 多元一次不定方程 138
习题 140
5.2 勾股定理 140
5.2.1 问题 140
5.2.2 第一个重要定理——勾股定理 140
5.2.3 勾股定理的几何方面 144
5.2.4 勾股定理的数论方面 145
5.2.5 初等方法 147
5.2.6 几何方法 149
5.2.7 高斯的复整数 151
5.2.8 类数问题 154
5.2.9 高斯复整数法 155
5.3 与勾股定理有关的问题 156
5.3.1 已知x边求本原三角形 156
5.3.2 已知y边求本原三角形 157
5.3.3 已知z边求本原三角形 158
习题 162
5.4.1 费马和费马大定理 163
5.4 费马大定理 163
5.4.2 无穷递降法 165
5.4.3 n=4的费马定理 166
5.4.4 n=3的情形 168
5.4.5 初等方法的结束 169
5.4.6 热尔曼的贡献 169
5.4.7 库默尔的工作和理想数 172
5.4.8 从丢番图到维尔斯 173
5.4.9 费马大定理的推广 176
6.1.1 欧氏几何的诞生 178
6.1 欧几里得几何 178
第六章 欧氏几何回顾 178
6.1.2《几何原本》的历史背景 180
6.1.3 欧氏几何的内容 180
6.1.4 欧氏几何的优缺点 182
6.1.5 欧氏几何的历史地位 184
6.1.6 几何学在中学数学教育中的地位 184
6.2 尺规作图问题 185
6.2.1 几何三大难题 185
6.2.2 用尺规可作什么图 186
6.2.3 有理数域的扩张 187
6.2.4 一般讨论 189
6.2.5 代数知识 191
6.2.6 三大难题的解 195
习题 198
6.3 正多边形作图 198
6.4 平行公设引起的思考 200
6.4.1 从《几何原本》诞生到18世纪 201
6.4.2 非欧几何的孕育时期 202
6.4.3 非欧几里得几何的诞生 205
6.4.4 罗巴切夫斯基的解答 206
6.4.5 非欧几何的相容性 207
6.4.6 黎曼的非欧几何 208
6.4.7 欧氏几何与非欧几何 209
6.4.8 爱尔兰根纲领 211
6.4.9 各种几何与物理空间 212
第七章 同余理论及其应用 215
7.1 同余式的性质 215
7.1.1 同余的定义 215
7.1.2 同余式的基本性质 216
7.1.3 同余式的四则运算 218
7.1.4 同余式的方幂 220
7.1.5 检查因数的方法 222
7.1.6 弃九法(验算整数计算结果的方法) 224
7.1.7 剩余类与完全剩余系 226
习题 228
7.2 中国剩余定理 229
7.2.1 同余式 229
7.2.2 中国剩余定理 232
7.2.3 程大位的口诀 235
习题 238
7.3 费马小定理和欧拉定理 238
7.3.1 费马小定理 238
7.3.2 简化剩余系与欧拉函数 241
7.3.3 欧拉定理 244
7.3.4 对循环小数的应用 245
习题 248
7.4 同余式的应用 249
7.4.1 在密码学上的应用 249
7.4.2 素数鉴别 258
7.4.3 星期数 261
7.4.4 公式的证明 263
7.4.5 循环程序排列 265
习题 266
8.1 漫游分形 267
8.1.1 引言 267
第八章 分形与混沌 267
8.1.2 海岸线的长度 269
8.1.3 科克曲线 270
8.1.4 皮亚诺曲线 271
8.1.5 分数维 273
8.1.6 几种基本的规则分形 275
8.1.7 自然界中的分形 278
8.2 奇妙的混沌 282
8.2.1 混沌的定义 282
8.2.3 蝴蝶效应 283
8.2.2 混沌的发现 283
8.2.4 线性与非线性 284
8.2.5 函数的迭代 285
8.2.6 人口模型 287
8.2.7 逻辑斯蒂映射 288
8.2.8 茹利亚集 293
8.2.9 芒德布罗集 295
第九章 一笔画和邮递路线问题 300
9.1.1 问题的提出 300
9.1.2 一笔画问题 302
9.1.3 哥尼斯堡七桥问题 303
9.1.4 网络 305
9.1.5 一笔画定理 307
9.1.6 多笔画 312
9.1.7 偶网络 313
9.1.8 再论邮递路线问题 314
9.1.9 奇偶点网上作业法 315
9.1.10 什么是拓扑学 321
9.1.11 欧拉公式 324
9.1.12 四色问题 326
9.1.13 争论与困惑 328
习题 329
第十章 代数方程式 331
10.1 三次方程与四次方程 332
10.1.1 什么是代数 332
10.1.2 二次方程 333
10.1.3 韦达公式 334
10.1.4 三次方程 336
10.1.5 实系数的三次方程 339
10.1.6 卡尔达诺公式小史 341
10.1.7 三次方程解法总结 341
10.1.8 四次方程 342
10.1.9 五次以上的代数方程 345
习题 347
10.2 代数基本定理 347
10.2.1 引言 347
10.2.2 代数基本定理的证明 348
10.3 多项式的根的分布问题 353
10.3.1 多项式的单根和重根 354
10.3.2 罗尔定理和它的推论 355
10.3.3 笛卡儿符号定则 356
10.3.4 辐角原理 359
10.4 实根的近似计算法 362
10.4.1 二分法 363
10.4.2 插值法 364
10.4.3 牛顿法 366
习题 368
第十一章 双曲几何的庞加莱模型 369
11.1 球极平面投影 370
11.1.1 直线与圆的复数形式 370
11.1.2 复数的球面表示 372
11.1.3 球极投影的公式 372
11.1.4 球极投影的基本性质 374
11.2.1 线性变换 375
11.2 分式线性变换 375
11.2.2 反演变换 377
11.2.3 倒数变换 379
11.2.4 分式线性变换 381
11.2.5 保角性 381
11.2.6 单位圆到自身的分式线性变换 383
习题 384
11.3 非欧几何的庞加莱模型 384
11.3.1 非欧平面 385
11.3.2 非欧刚体运动 387
11.3.3 罗巴切夫斯基公理系统 389
11.3.4 三角形内角和小于180° 391
11.3.5 真理性讨论 391
第十二章 微积分前期史 395
12.1 积分学的早期史 397
12.1.1 欧多克索斯的穷竭法 397
12.1.2 阿基米德的平衡法 399
12.1.3 不可分素方法 402
12.1.4 不可分素方法的进一步发展 404
12.1.5 刘徽的贡献 404
12.1.6 祖暅原理 406
12.2 微分学的早期史 407
12.2.2 费马求极大、极小值的方法 408
12.2.1 费马以前的工作 408
12.2.3 费马求切线的方法 410
12.2.4 费马在积分学方面的贡献 411
12.2.5 巴罗的贡献 413
12.2.6 前期史小结 415
12.3 牛顿和莱布尼兹 416
12.4 光辉的诞生 420
第十三章 实数理论 422
13.1 第二次数学危机 422
13.1.1 英雄世纪 422
13.1.2 第二次数学危机 423
13.1.3 柯西的功绩 425
13.1.4 魏尔斯特拉斯的规划 426
13.2 实数集合的基本性质 428
13.2.1 从有理数谈起 428
13.2.2 戴德金分划 431
13.2.3 实数的性质 433
13.2.4 实数集合的有序化 434
13.2.5 实数集合的连续性 435
13.2.6 确界的存在定理 437
13.3.1 实数和的定义 439
13.3 实数的四则运算 439
习题 439
13.3.2 对称数 441
13.3.3 实数减法的定义 442
13.3.4 实数的绝对值 442
13.3.5 实数的积的定义 443
13.3.6 实数的商的定义 444
13.4 根的存在性 445
13.4.1 具有有理指数的乘幂 445
13.4.2 任何实指数的乘幂 447
习题 447
14.1 极限论 448
第十四章 极限、连续与积分 448
14.1.1 单调序列 449
14.1.2 区间套定理 451
14.1.3 收敛原理 453
14.1.4 有限覆盖定理 457
14.1.5 极限思想辩证剖析 457
14.1.6 函数的极限 458
14.1.7 小结 459
14.2 函数的连续性 460
14.2.1 中间值定理 460
14.2.2 函数的最大、最小值定理 463
14.2.3 一致连续性 464
14.3 黎曼积分 467
14.3.1 黎曼积分 467
14.3.2 达布和 469
14.3.3 达布和的性质 469
14.3.4 积分存在的条件 471
14.3.5 可积函数类 472
第十五章 数学模型 476
15.1.1 何谓悖论 478
15.1.2 选举悖论 478
15.1 选票分配 478
15.1.3 选票分配问题 480
15.1.4 亚拉巴马悖论 482
15.2 体育训练问题 484
15.3 指数增长与衰减问题 487
15.3.1 一个简单的微分方程 487
15.3.2 人口模型 488
15.3.3 再论人口模型 490
15.3.4 三论人口模型 495
习题 498
15.3.5 新产品销售模型 498
15.3.6 牛顿冷却定律 499
15.4 在考古学中的应用 501
15.4.1 放射性年龄测定法 501
15.4.2 范·米格伦伪造名画案 504
小结 510
习题 512
第十六章 外微分 513
16.1.1 场论的三个基本公式 513
16.1.2 曲面的定向 514
16.1.3 外乘积 515
16.1.4 微分形式和它的外微分 520
16.1.5 在场论中的应用 523
习题 526
第十七章 数学的真理性 527
17.1.1 数学的证明和科学的证明 527
17.1.2 数学的公理化 528
17.1.3 天衣有缝 529
17.1.4 希尔伯特和他的23个问题 530
17.1.5 罗素的悖论和第三次数学危机 536
17.1.6 20世纪初的一场大辩论 538
17.1.7 哥德尔的不完全性定理 540
答案与提示 542
参考文献 551