1 微分学 1
1.1 预备知识 1
1.1.1 集合 1
1.1.2 实数与数轴 2
1.1.3 有序数组与直角坐标系 3
1.1.4 数学模型中的变量 4
1.2 函数 5
1.2.1 函数及其表示 6
1.2.2 复合函数与反函数 7
习题1.2 9
1.3.1 极限 10
1.3 极限 10
1.3.2 极限的运算法则 12
1.3.3 数量级与函数的有限展开 14
习题1.3 17
1.4 连续函数 19
习题1.4 20
1.5 可微函数 21
1.5.1 微分与导数 22
1.5.2 微分与导数的意义 24
1.5.3 微分法 25
1.5.4 高阶导数与高阶微分 28
习题1.5 29
1.6.1 拉格朗日(Lagrange)公式 31
1.6 泰勒(Taylor)展开式 31
1.6.2 Taylor展开式 33
1.6.3 函数的特性 36
习题1.6 38
1.7 函数的极值 39
1.7.1 函数的极大值与极小值 39
1.7.2 函数的最大值与最小值 40
习题1.7 42
1.8 多元函数微分学 43
1.8.1 多元函数的极限与连续 43
1.8.2 偏导数与全微分 44
1.8.3 隐函数的导数 47
1.8.4 Taylor展开式 49
习题1.8 50
1.9 多元函数的极值 51
1.9.1 多元函数的极值 51
1.9.2 条件极值 53
习题1.9 55
2 原函数与微分方程 57
2.1 原函数与不定积分 57
2.1.1 原函数与不定积分的概念 57
2.1.2 不定积分的性质及基本积分公式 58
习题2.1 59
2.2.1 换元积分法 60
2.2 基本积分法 60
2.2.2 分部积分法 63
习题2.2 65
2.3 简单微分方程 67
2.3.1 基本概念 67
2.3.2 变量分离方程 68
2.3.3 一阶线性微分方程 69
2.3.4 全微分方程 71
2.3.5 可降阶的二阶微分方程 72
2.3.6 二阶线性微分方程 74
习题2.3 79
3.1.1 定积分的概念 81
3 积分 81
3.1 定积分的概念和性质 81
3.1.2 定积分的性质 83
习题3.1 84
3.2 定积分的计算 85
3.2.1 微积分基本定理 85
3.2.2 定积分的换元积分法与分部积分法 86
习题3.2 88
3.3 微元法及其应用 89
3.3.1 微元法 89
3.3.2 平面图形的面积 89
3.3.3 体积 91
3.3.4 平面光滑曲线的弧长 92
3.3.5 其他方面的应用 93
习题3.3 95
3.4 广义积分 96
3.4.1 无限区间上的广义积分 96
3.4.2 有限区间上无界函数的广义积分 97
习题3.4 99
3.5 重积分 99
3.5.1 重积分的概念与性质 99
3.5.2 二重积分的计算 101
3.5.3 三重积分的计算 106
习题3.5 111
4 概率论 113
4.1 随机事件及其运算 113
4.1.1 随机试验 113
4.1.2 样本空间 114
4.1.3 随机事件 114
4.1.4 事件间的关系和运算 114
习题4.1 116
4.2 概率的概念与性质 117
4.2.1 概率的统计定义 117
4.2.2 概率的古典定义 118
4.2.3 概率的几何定义 119
4.2.5 概率的性质 120
4.2.4 概率的公理化定义 120
习题4.2 121
4.3 条件概率和事件的独立性 122
4.3.1 条件概率 122
4.3.2 事件的独立性 123
4.3.3 全概率公式 125
4.3.4 贝叶斯(Bayes)公式 126
4.3.5 贝努里(Bernoulli)概型 127
习题4.3 128
4.4.1 随机变量的概念及分类 129
4.4 随机变量及其概率分布 129
4.4.2 离散型随机变量及其分布 130
4.4.3 随机变量的分布函数 132
4.4.4 连续型随机变量及其分布 134
习题4.4 137
4.5 二维随机变量 138
4.5.1 二维随机变量及其分布函数 138
4.5.2 二维离散型随机变量 139
4.5.3 二维连续型随机变量 140
4.5.4 边缘分布 141
4.5.5 相互独立的随机变量 143
习题4.5 143
4.6.1 一维随机变量的函数 144
4.6 随机变量的函数及其分布 144
4.6.2 二维随机变量的函数 146
习题4.6 148
4.7 随机变量的数字特征 149
4.7.1 数学期望 149
4.7.2 方差 155
4.7.3 相关系数 157
习题4.7 158
4.8 大数定律和中心极限定理 160
4.8.1 大数定律 160
4.8.2 中心极限定理 161
习题4.8 163
5 线性代数 165
5.1 行列式 165
5.1.1 二阶和三阶行列式 165
5.1.2 n阶行列式 167
5.1.3 几种特殊的n阶行列式 168
5.1.4 行列式的基本性质 170
5.1.5 克莱姆法则 175
习题5.1 178
5.2 矩阵及其运算 179
5.2.1 矩阵的概念 179
5.2.2 矩阵的运算 181
习题5.2 184
习题5.3 185
5.3 逆矩阵 185
5.4 矩阵的秩 188
5.4.1 n维向量及其相关性 188
5.4.2 矩阵的秩 189
习题5.4 190
5.5 初等变换 191
5.5.1 初等变换 191
5.5.2 初等矩阵 192
习题5.5 195
5.6 线性方程组 195
5.6.1 齐次线性方程组 196
5.6.2 非齐次线性方程组 200
习题5.6 204
6 数学模型 205
6.1 概论 205
6.1.1 模型的概念、类别和特征 205
6.1.2 数学模型的构成 206
6.1.3 数学建模的一般过程 206
6.2 微分方程模型 207
6.2.1 稳定性理论简介 207
6.2.2 人口模型 209
6.2.3 捕鱼问题 210
6.2.4 伏尔泰拉弱肉强食模型 211
6.2.5 传染病模型 212
6.2.6 糖尿病诊断模型 214
6.3 随机性模型 216
6.3.1 血液化验问题 216
6.3.2 试用期问题 217
6.3.3 效率工资与高薪养廉 218
6.3.4 报童问题 219
6.3.5 零部件的预防性更换 220
6.4 动态优化模型 222
6.4.1 欧拉方程与汉密尔顿函数 222
6.4.2 生产设备的检修策略 224
6.4.3 广告投资问题 225
6.4.4 生产计划问题 226
6.4.5 最优消费计划 227
6.4.6 政治商业周期 228
6.4.7 人才最优分配问题 229
6.5 博弈模型 232
6.5.1 基本概念 232
6.5.2 寡头竞争与卡特尔之不稳定性 234
6.5.3 重复博弈与1959-1961年中国农业危机 236
6.5.4 工资合同问题 238
6.5.5 工作竞赛模型 240
6.5.6 拍卖模型 242
6.5.7 合作投资问题 243
6.5.8 夏普利值与费用分担问题 247
主要参考文献 247
习题参考答案 248