第一章 集合与函数 1
第一节 集合 1
一、逻辑量词和符号 1
二、集合的概念 1
三、集合的运算 3
习题1-1 5
第二节 映射 6
一、映射的概念 6
二、映射的运算 7
三、集合的有限与无限 10
一、函数的概念 13
第三节 函数 13
习题1-2 13
二、函数的代数运算 14
三、反函数 15
四、初等函数 15
五、函数的基本特性 19
六、双曲函数 21
习题1-3 24
第二章 极限与连续 27
第一节 数列的极限 27
一、数列的概念 27
二、数列的性质 28
三、数列极限的定义 29
四、数列极限的性质 31
五、收敛准则 33
习题2-1 35
第二节 函数的极限 35
一、当x→∞时，函数f(x)的极限 35
二、当x→x0时，函数f(x)的极限 38
三、函数极限的性质 41
习题2-2 44
第三节 无穷小量与无穷大量 44
一、无穷小量及其运算 44
二、无穷大量 47
习题2-3 49
第四节 极限的运算法则 49
第七节 函数的连续性 54
习题2-4 54
一、夹逼定理 55
第五节 夹逼定理、两个重要极限 55
二、重要极限 56
三、重要极限 58
习题2-5 60
第六节 无穷小量的比较 61
一、无穷小量比较的概念 61
二、关于等价无穷小的性质和定理 62
习题2-6 64
一、函数连续性的概念 64
二、函数的间断点 67
三、连续函数的运算及其基本性质 69
四、初等函数的连续性 73
习题2-7 73
第八节 闭区间上连续函数的性质 74
习题2-8 78
第九节 常数项级数的概念和性质 78
一、无穷级数的概念 78
二、级数收敛的必要条件 80
三、级数的基本性质 81
习题2-9 82
第十节 常数项级数敛散性判别法 83
一、正项级数敛散性的判别法 83
二、交错级数及其敛散性判别法 88
三、任意项级数及其敛散性判别法 89
习题2-10 91
第三章 导数与微分 93
第一节 导数的概念 93
一、导数概念的引入 93
二、导数的定义 94
三、导数的几何意义 97
四、可导与连续的关系 98
习题3-1 99
第二节 求导法则 99
一、函数四则运算的求导法则 100
二、复合函数的求导法则(链导法则) 102
三、反函数的求导法则 104
四、基本导数公式 105
五、隐函数的求导法则 106
六、参数方程的求导法则 107
七、取对数求导法 108
习题3-2 109
第三节 高阶导数 110
习题3-3 114
第四节 微分及其运算 115
一、微分的概念 115
二、微分与导数的关系 116
三、微分的几何意义 116
四、微分的运算法则及高阶微分 117
一、罗尔中值定理 119
习题3-4 119
第五节 微分中值定理 119
二、拉格朗日中值定理 120
三、柯西中值定理 123
四、泰勒中值定理 124
习题3-5 128
第六节 幂级数 129
一、函数项级数 129
二、幂级数及其收敛性 130
三、函数展开成幂级数 135
习题3-6 140
一、函数的单调性 141
第一节 函数的单调性和曲线的凹凸性 141
第四章 导数的应用 141
二、曲线的凹凸性 142
习题4-1 146
第二节 函数的极值和最值 147
一、函数的极值 147
二、函数的最值 149
习题4-2 152
第三节 函数图形的描绘 153
一、渐近线 153
二、函数图形的描绘 154
习题4-3 157
一、0/0型不定式 158
第四节 罗必达法则 158
二、∞/∞型不定式 160
习题4-4 162
第五节 相关变化率、弧微分、曲率 163
一、相关变化率 163
二、弧微分 164
三、曲率 165
习题4-5 169
第五章 积分 170
第一节 定积分的概念和性质 170
一、定积分的概念 170
二、定积分的性质 173
习题5-1 177
第二节 定积分的基本定理 178
一、原函数与积分上限函数 178
二、微积分的基本公式 181
习题5-2 182
第三节 原函数的求法与不定积分 183
一、不定积分的概念和性质 183
二、求不定积分的方法 186
习题5-3 200
第四节 定积分的计算 201
一、换元法 202
二、分部积分法 204
三、部分分式法 206
习题5-4 208
第五节 广义积分 209
一、无穷积分 209
二、瑕积分 211
三、广义积分的收敛原理 215
四、广义积分的柯西主值 216
习题5-5 217
第六章 定积分的应用 219
第一节 建立定积分数学模型的微元法 219
第二节 平面图形的面积 220
一、直角坐标情形 220
二、极坐标情形 223
习题6-2 223
第三节 平面曲线的弧长 225
习题6-3 229
第四节 立体体积和旋转体侧面积 230
一、平行截面面积为已知的立体体积 230
二、旋转体的体积 231
三、旋转体的侧面积 232
习题6-4 233
第五节 功和静压力 234
一、变力作功 234
二、液体静压力 236
习题6-5 237
第六节 幂级数的和 238
一、质心 241
第七节 其它方面的应用 241
习题6-6 241
二、连续函数的平均值 243
习题6-7 246
第七章 常微分方程 248
第一节 微分方程的基本概念 248
一、微分方程及其模型 248
二、微分方程的基本概念 250
习题7-1 253
第二节 一阶微分方程 253
一、变量可分离方程 253
二、齐次方程 255
三、可化为齐次方程的方程 257
四、一阶线性微分方程 259
五、伯努利方程 261
习题7-2 263
第三节 可降阶的高阶微分方程 264
一、y~(n)＝f(x)型的微分方程 264
二、y~ ＝f(x，y~ )型的微分方程 265
三、y ＝f(y，y~ )型的微分方程 266
习题7-3 268
第四节 高阶线性微分方程 269
一、线性微分方程解的结构 269
二、常系数齐次线性微分方程 273
三、常系数非齐次线性微分方程 275
四、欧拉方程 279
习题7-4 280
第五节 幂级数解法与常系数线性微分方程组 282
一、微分方程的幂级数解法 282
二、常系数线性微分方程组解法举例 285
习题7-5 287
第六节 微分方程的差分方法 288
一、初值问题数值解的基本概念 288
二、欧拉方法 289
三、欧拉方法的变形和改进 290
四、龙格-库塔方法 291
习题7-6 293
附录 积分表 295
习题答案 305